2022年高一数学解题思想方法 .pdf

高中数学解题思想方法高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 常用数学思想： 函数与方程思想、 数形结合思想、 分类讨论思想、 转化（化归）思想等。一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方 ）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、 “配”与“凑”的技巧 ，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a b)2a22abb2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2b2(ab)22ab(ab)22ab；a2abb2(a b)2ab(ab)23ab(a b2)2（32b）2；a2b2c2abbcca12(a b)2(b c)2(c a)2 例题 1： 函数 y)352(log221xx的单调递增区间是（）. A. （ , 45 B. 45,+ ) C. (21,45 D. 45,3) 二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元 ，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元的方法有： 局部换元、三角换元、均值换元等。 局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为设 2xt （t0） ，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 均值换元，如遇到xyS形式时，设 xS2t ，yS2t 等等。我们使用换元法时， 要遵循有利于运算、 有利于标准化的原则， 换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。例题 2： 设 f(x21) )4(log4xa（a1） ， 则 f(x) 的值域是 _ 。例题 3：方程33131xx的解是 _ 。例题 4： 不等式 log2(2x1) log2(2x 12) 2 的解集是 _ 。三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等， 也就是利用了多项式 f(x)g(x) 的充要条件是：对于一个任意的a 值，都有 f(a)g(a) ；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。 使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数， 转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有， 就可以用待定系数法求解。 例如分解因式、拆分分式、求函数式等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；由恒等的概念用数值代入法列方程；利用定义本身的属性列方程；利用几何条件列方程。例题 5：二次不等式 ax2bx20的解集是)31,21(，则 ab 的值是 _。四、定义法所谓定义法，就是 直接用数学定义解题 。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。（可能是选择题最后两题出现，所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 以要根据题目给的定义为突破口）例题 6：. 已知集合 A中有两个元素，集合B中有 7 个元素， AB的元素个数为n，则_。A. 2 n9 B. 7n9 C. 5n9 D. 5n7 五、反证法反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立， 所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的， 这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定推理否定” 。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是 “否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是： 否定结论 推导出矛盾 结论成立 。实施的具体步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时， 如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒， 才能推断原结论成立， 这种证法又叫“穷举法”。在数学解题中经常使用反证法， 牛顿曾经说过： “反证法是数学家最精当的武器之一” 。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、 “唯一” 、 “无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题 7. 已知函数 f(x) 在其定义域内是减函数，则方程f(x) 0 _。A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根例题 8. 已知 a0,1bab ab2 B. ab2aba C. aba ab2 D. ab ab2a 六、数形结合（重）数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段， 数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化， 它可以使代数问题几何化， 几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。例题 9：若 loga2logb20，则_。A. 0ab1 B. 0bab1 D. ba1 例题 10：如果奇函数f(x) 在区间 3,7 上是增函数且最小值是5，那么 f(x) 的-7,-3上是_。A.增函数且最小值为 5 B.增函数且最大值为 5 C.减函数且最小值为 5 D.减函数且最大值为 5 七、分类讨论（重）在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想， 同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、 积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a| 的定义分 a0、a0、a2 时分 a0、a0 和 a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围； 其次确定分类标准， 正确进行合理分类， 即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复） ；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。例题 11. 集合 Ax|x|4,x R，Bx|x3| a，xR，若 AB，那么 a的范围是 _。A. 0 a1 B. a1 C. a1 D. 0a0 且 a1，ploga(a3a1)，qloga(a2a1)，则 p、q 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 大小关系是 _。A. p q B. pq D.当 a1时，pq；当 0a1时，pq 例题 13：. 函数xxy1的值域是 _。A. 2,+ ) B. (-,-2 2,+ ) C. (-,+ ) D. -2,2 八、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手， 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。 一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是： f(x) 、f1(x) 的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。 我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析； 含有多个变量的数学问题中， 选定合适的主变量， 从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；例题 14：如果函数 f(x) x2bxc 对于任意实数 t ，都有 f(2 t) f(2 t) ，那么_。A. f(2)f(1)f(4) B. f(1)f(2)f(4) C. f(2)f(4)f(1) D. f(4)f(2)f(1) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -