2022年高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题 .pdf

1 直线与圆的方程一、直线的方程1、倾斜角：L ，范围 0，若xl /轴或与x轴重合时，=00。2、斜率：k=tan与的关系：=0=0 已知 L 上两点 P1（x1,y1）002kP2（x2,y2）=2不存在k=1212xxyy022当1x=2x时，=900，不存在。当0时，=arctank，0时，=+arctank 3、截距（略）曲线过原点横纵截距都为0。4、直线方程的几种形式已知方程说明几种特殊位置的直线斜截式K、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平于 y 轴的直线x 轴： y=0 点斜式P1=(x1,y1) k y-y1=k(x-x1) 不含 y 轴和平行于 y 轴的直线y 轴： x=0 两点式P1(x1,y1) P2(x2,y2) 121121xxxxyyyy不 含 坐 标 辆 和平 行 于 坐 标 轴的直线平行于x 轴： y=b 截距式a、b 1byax不含坐标轴、平行 于 坐 标 轴 和过原点的直线平行于y 轴： x=a 过原点： y=kx 一般式Ax+by+c=0 A、 B 不同时为0 两个重要结论：平面内任何一条直线的方程都是关于x、y 的二元一次方程。任何一个关于x、y 的二元一次方程都表示一条直线。5、直线系：（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值， k 为参数 y-y0=k（x-x0）特别： y=kx+b ，表示过（ 0、b）的直线系（不含y 轴）（ 2）平行直线系：y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系BX-AY+ 入=0 表示与 AX+BY+C垂直的直线系（ 3）过 L1,L2交点的直线系A1x+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含 L2）6、三点共线的判定：ACBCAB，KAB=KBC，写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。二、两直线的位置关系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - - 2 1、L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0 L2：A2X+B2Y+C2=0 L1与 L2组成的方程组平行K1=k2且 b1b2 212121CCBBAA无解重合K1=k2且 b1=b2212121CCBBAA有无数多解相交K1k22121BBAA有唯一解垂直K1 k2=-1 A1A2+B1B2=0 （说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）2、L1到 L2的角为 0，则12121tankkkk（121kk）3、夹角：12121tankkkk4、点到直线距离：2200BAcByAxd（已知点（ p0(x0,y0)，L：AX+BY+C=0 ）两行平线间距离：L1=AX+BY+C1=0 L2：AX+BY+C2=02221BAccd与 AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C 022BAd与 AX+BY+C1=0 和 AX+BY+C2=0 平行且距离相等的直线方程是0221CCBYAX5、对称：（1）点关于点对称：p(x1,y1)关于 M（x0,y0）的对称)2 ,2(1010YYXXP（2）点关于线的对称：设p(a、b) 对称轴对称点p对称轴对称点pX 轴)(bap、Y=-x )(abp、Y 轴)(bap、X=m(m 0) )2(bamp、y=x )(abp、y=n(n0) )2(bnap、一般方法：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - - 3 如图： (思路 1)设 P点关于 L 的对称点为P0(x0,y0) 则Kpp0KL=1 P, P0中点满足L 方程解出 P0(x0,y0) （思路 2）写出过PL 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P0(x0,y0)的坐标。P y L P0 x （3）直线关于点对称L：AX+BY+C=0关于点 P（X0、Y0）的对称直线l：A（2X0-X）+B （2Y0-Y）+C=0 （4）直线关于直线对称几种特殊位置的对称：已知曲线f(x 、y)=0 关于 x 轴对称曲线是f(x 、-y)=0 关于 y=x 对称曲线是f(y、x)=0 关于 y 轴对称曲线是f(-x 、y)=0 关于 y= -x 对称曲线是f(-y、-x)=0 关于原点对称曲线是f(-x 、-y)=0 关于 x=a 对称曲线是f(2a-x、y)=0 关于 y=b 对称曲线是f(x 、2b-y)=0 一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。三、简单的线性规划L Y 不等式表示的区域O X AX+BY+C=0 约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。要点：作图必须准确（建议稍画大一点）。线性约束条件必须考虑完整。先找可行域再找最优解。四、圆的方程1、圆的方程：标准方程22)(rbyax，c（a、b）为圆心， r 为半径。一般方程：022FEYDXyx，2,2EDC，2422FEDr当0422FED时，表示一个点。当0422FED时，不表示任何图形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - - 4 参数方程：c o sraxsinrby为参数以 A（X1，Y1） ，B（X2，Y2）为直径的两端点的圆的方程是（X-X1） （ X-X2）+（Y-Y1） （Y-Y2）=0 2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d，然后与 r 比较大小。3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定： 联立方程组， 消去一个未知量，得到一个一元二次方程： 0相交、 0相切、 0相离利用圆心c (a、b)到直线 AX+BY+C=0的距离 d 来确定：dr相交、 dr相切 dr相离（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt）4、圆的切线：（1）过圆上一点的切线方程与圆222ryx相切于点（ x1、y1）的切线方程是211ryyxx与圆222)()(rbyax相切于点（ x1、y1）的切成方程为：211)()(rbybyaxax与圆022FEYDXyx相切于点（ x1、y1）的切线是0)2()2(1111FyyExxDyyxx（ 2 ） 过 圆 外 一 点 切 线 方 程 的 求 法 ： 已 知 ： p0(x0， y0) 是 圆222)()(rbyax外一点22121)()(rbyax设切点是p1(x1、y1)解方程组221010)()(rbybyaxax先求出 p1的坐标，再写切线的方程设切线是)(00 xxkyy即000ykxykx再由rkykxbka1200，求出 k，再写出方程。（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于x 轴的切线）已知斜率的切线方程：设bkxy（b 待定），利用圆心到L 距离为 r，确定 b。5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）6、圆系名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - - 5 同心圆系：222)()(rbyax， （a、b 为常数， r 为参数）或：022FEYDXyx（D、E 为常数， F 为参数）圆心在x 轴：222)(ryax圆心在 y 轴：222)(rbyx过原点的圆系方程2222)()(babyax过两圆0:111221FYEXDyxC和0:222222FYEXDyxC的交点的圆系方程为0(2222211122FYEXDyxFYEXDyx入（不含C2） ，其中入为参数若 C1与 C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。类型一：圆的方程例 1 求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为222)()(rbyax圆心在0y上，故0b圆的方程为222)(ryax又该圆过)4,1(A、)2,3(B两点22224)3(16)1(rara解之得：1a，202r所以所求圆的方程为20)1(22yx解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A、)2,3(B两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - - - - - - - 6 13124ABk，故l的斜率为1，又AB的中点为)3,2(，故AB的垂直平分线l的方程为：23xy即01yx又知圆心在直线0y上，故圆心坐标为)0,1(C半径204)11 (22ACr故所求圆的方程为20)1(22yx又点)4,2(P到圆心)0,1(C的距离为rPCd254)12(22点P在圆外说明： 本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 2 求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程分析： 根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解解： 则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rbyaxC：圆C与直线0y相切，且半径为4，则圆心C的坐标为)4,(1aC或)4,(2aC又已知圆042422yxyx的圆心A的坐标为)1,2(，半径为3若两圆相切，则734CA或134CA(1)当)4,(1aC时，2227) 14() 2(a，或2221) 14()2(a(无解 )，故可得1022a所求圆方程为2224)4()1022(yx，或2224)4()1022(yx(2)当)4,(2aC时，2227) 14()2(a，或2221)14()2(a(无解 )，故622a所求圆的方程为2224)4()622(yx，或2224) 4()622(yx说明： 对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0y相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(aC，且方程形如名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - - 7 2224)4()(yax又圆042422yxyx，即2223)1()2(yx，其圆心为) 1,2(A，半径为 3若两圆相切，则34CA故2227) 14()2(a，解之得1022a所以 欲求圆 的 方 程为2224)4()1022(yx， 或2224)4()1022(yx上述误解只考虑了圆心在直线0y上方的情形， 而疏漏了圆心在直线0y下方的情形 另外，误解中没有考虑两圆内切的情况也是不全面的例 3 求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程分析： 欲确定圆的方程需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A，故只需确定圆心坐标又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上解： 圆和直线02yx与02yx相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02yx和02yx的距离相等5252yxyx两直线交角的平分线方程是03yx或03yx又圆过点)5,0(A，圆心C只能在直线03yx上设圆心)3,(ttCC到直线02yx的距离等于AC，22)53(532tttt化简整理得0562tt解得：1t或5t圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55所求圆的方程为5)3() 1(22yx或125)15()5(22yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - 8 说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法例 4、 设圆满足： (1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程分析： 要求圆的方程， 只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程解法一： 设圆心为),(baP，半径为r则P到x轴、y轴的距离分别为b和a由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为r2222br又圆截y轴所得弦长为2122ar又),(baP到直线02yx的距离为52bad2225badabba4422)(242222baba1222ab当且仅当ba时取“ =”号，此时55mind这时有1222abba11ba或11ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - - 9 又2222br故所求圆的方程为2) 1() 1(22yx或2)1() 1(22yx解法二： 同解法一，得52baddba522225544dbdba将1222ba代入上式得：01554222dbdb上述方程有实根，故0)15(82d，55d将55d代入方程得1b又1222ab1a由12ba知a、b同号故所求圆的方程为2) 1() 1(22yx或2)1() 1(22yx说明： 本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线解： 点42，P不在圆O上，切线PT的直线方程可设为42xky根据rd21422kk解得43k名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - - 10 所以4243xy即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条切线为2x说明： 上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0 解决（也要注意漏解） 还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0 x、0y的值来解决，此时没有漏解例6 两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC ：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程分析： 首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解： 设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx0202022020FyExDyx得：0)()(21021021FFyEExDDA、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程又过A、B两点的直线是唯一的两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD说明： 上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧， 从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识它的应用很广泛例 7、过圆122yx外一点)3 ,2(M，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。练习：1求过点(3,1)M，且与圆22(1)4xy相切的直线l的方程 解：设切线方程为1(3)yk x，即310kxyk，圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - - 11 22|31|21kkk，解得34k，切线方程为31(3)4yx，即34130 xy，当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为3x，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线3x也适合题意。所以，所求的直线l的方程是34130 xy或3x2、过坐标原点且与圆0252422yxyx相切的直线的方程为解：设直线方程为kxy，即0ykx.圆方程可化为25) 1()2(22yx，圆心为（ 2，-1） ，半径为210.依题意有2101122kk，解得3k或31k，直线方程为xy3或xy31. 3、已知直线0125ayx与圆0222yxx相切，则a的值为. 解：圆1) 1(22yx的圆心为（1， 0） ， 半径为 1， 1125522a， 解得8a或18a. 类型三：弦长、弧问题例 8、求直线063:yxl被圆042:22yxyxC截得的弦AB的长 . 例 9、直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得， 弦心距3d，故弦长2222drAB，从而 OAB 是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为3AOB. 例 10、求两圆0222yxyx和522yx的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例 11、已知直线0323yx和圆422yx，判断此直线与已知圆的位置关系. 例 12、若直线mxy与曲线24xy有且只有一个公共点，求实数m的取值范围 . 解：曲线24xy表示半圆)0(422yyx，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是22m或22m. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 26 页 - - - - - - - - - 12 例 13 圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆9)3() 3(22yx的圆心为) 3,3(1O，半径3r设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1 的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意又123dr与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为043myx，则1431122md，511m，即6m，或16m，也即06431yxl ：，或016432yxl ：设圆9)3() 3(221yxO：的圆心到直线1l、2l的距离为1d、2d，则34363433221d，143163433222d1l与1O相切，与圆1O有一个公共点；2l与圆1O相交，与圆1O有两个公共点即符合题意的点共3 个说明： 对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d圆1O到01143yx距离为 1 的点有两个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - 13 显然，上述误解中的d是圆心到直线01143yx的距离，rd，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断练习1：直线1yx与圆)0(0222aayyx没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有aa21，解得1212a.0a，120a. 练习 2：若直线2kxy与圆1)3()2(22yx有两个不同的交点，则k的取值范围是. 解：依题意有11122kk，解得340k，k的取值范围是)34,0(. 练习 3、圆034222yxyx上到直线01yx的距离为2的点共有（） （A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个分析：把034222yxyx化为82122yx，圆心为21，半径为22r，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于2，所以选 C练习 4、过点43，P作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆42122yxC：有公共点，如图所示分析： 观察动画演示，分析思路解：设直线l的方程为34xky即043kykx根据rd有214322kkk整理得0432kkP E O y x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - - 14 解得340k类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例 14、判断圆02662:221yxyxC与圆0424:222yxyxC的位置关系，例 15：圆0222xyx和圆0422yyx的公切线共有条。解：圆1) 1(22yx的圆心为)0, 1(1O，半径11r，圆4)2(22yx的圆心为)2,0(2O， 半径22r， 1,3,5122121rrrrOO.212112rrOOrr，两圆相交 .共有 2 条公切线。练习1：若圆042222mmxyx与圆08442222mmyxyx相切，则实数m的取值集合是. 解：圆4)(22ymx的圆心为)0 ,(1mO，半径21r，圆9)2()1(22myx的圆心为)2, 1(2mO，半径32r，且两圆相切，2121rrOO或1221rrOO，5)2() 1(22mm或1)2()1(22mm，解得512m或2m，或0m或25m，实数m的取值集合是 2,0,25,512. 2：求与圆522yx外切于点)2, 1(P，且半径为52的圆的方程 . 解：设所求圆的圆心为),(1baO，则所求圆的方程为20)()(22byax.两圆外切于 点P，131OOOP， ),(31)2, 1(ba，6,3 ba， 所 求圆的方程为20)6() 3(22yx. 类型六：圆中的对称问题例 16、圆222690 xyxy关于直线250 xy对称的圆的方程是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - - 15 例 17自点33，A发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆074422yxyxC：相切（1）求光线l和反射光线所在的直线方程（2）光线自A到切点所经过的路程分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为33 ，其次设过A的圆C的切线方程为33xky根据rd，即求出圆C的切线的斜率为34k或43k进一步求出反射光线所在的直线的方程为0334yx或0343yx最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为0334yx或0343yx光路的距离为MA，可由勾股定理求得7222CMCAMA说明： 本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解类型七：圆中的最值问题例 18：圆0104422yxyx上的点到直线014yx的最大距离与最小距离的差是解：圆18)2()2(22yx的圆心为（ 2，2） ，半径23r，圆心到直线的距离rd25210，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是262)()(rrdrd. 例 19(1)已知圆1)4() 3(221yxO：，),(yxP为圆O上的动点， 求22yxd的最大、最小值(2)已知圆1)2(222yxO ：，),(yxP为圆上任一点求12xy的最大、最小值，求yx2的最大、最小值分析： (1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解： (1)(法 1)由圆的标准方程1)4()3(22yxG O B N M y A x 图C A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - - 16 可设圆的参数方程为,sin4,cos3yx（是参数）则2222sinsin816coscos69yxd)cos(1026sin8cos626（其中34tan） 所以361026maxd，161026mind(法 2)圆上点到原点距离的最大值1d等于圆心到原点的距离1d加上半径1， 圆上点到原点距离的最小值2d等于圆心到原点的距离1d减去半径1所以6143221d4143222d所以36maxd16mind(2) (法 1)由1)2(22yx得圆的参数方程：,sin,cos2yx是参数则3cos2sin12xy令t3cos2sin，得tt32cossin，tt32)sin(121)sin(1322tt433433t所以433maxt，433mint即12xy的最大值为433，最小值为433此时)cos(52sin2cos22yx所以yx2的最大值为52，最小值为52(法 2)设kxy12，则02kykx由于),(yxP是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - - 17 两条切线的斜率分别是最大、最小值由11222kkkd，得433k所以12xy的最大值为433，最小值为433令tyx2，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值由152md，得52m所以yx2的最大值为52，最小值为52例 20：已知)0 ,2(A，)0,2(B，点P在圆4)4() 3(22yx上运动， 则22PBPA的最小值是. 解：设),(yxP，则828)(2)2()2(222222222OPyxyxyxPBPA.设圆心为)4 ,3(C，则325minrOCOP，22PBPA的最小值为268322. 练习：1：已知点),(yxP在圆1) 1(22yx上运动 . （1）求21xy的最大值与最小值； （2）求yx2的最大值与最小值. 解： （1）设kxy21，则k表示点),(yxP与点（ 2，1）连线的斜率 .当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值.由1122kk，解得33k，21xy的最大值为33，最小值为33. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - - 18 （2）设myx2，则m表示直线myx2在y轴上的截距 . 当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.由151m，解得51m，yx2的最大值为51，最小值为51. 2 设点),(yxP是圆122yx是任一点，求12xyu的取值范围分析一： 利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决解法一： 设圆122yx上任一点)sin,(cosP则有cosx，siny)2,01cos2sinu，2sincosuu)2(sincosuu即2)sin(12uu（utan）1)2()sin(2uu又1)sin(1122uu解之得：43u分析二：12xyu的几何意义是过圆122yx上一动点和定点)2,1(的连线的斜率，利用此直线与圆122yx有公共点，可确定出u的取值范围解法二： 由12xyu得：)1(2xuy，此直线与圆122yx有公共点，故点)0,0(到直线的距离1d1122uu解得：43u另外，直线)1(2xuy与圆122yx的公共点还可以这样来处理：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - - 19 由1)1(222yxxuy消去y后得：0)34()42()1(2222uuxuuxu，此方程有实根，故0)34)(1(4)42(2222uuuuu，解之得：43u说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便3、 已知点)2, 4(),6,2(),2,2(CBA， 点P在圆422yx上运动，求222PCPBPA的最大值和最小值. 类型八：轨迹问题例 21、基础训练：已知点M与两个定点)0,0(O，)0, 3(A的距离的比为21，求点M的轨迹方程 . 例 22、已知线段AB的端点B的坐标是（ 4，3） ，端点A在圆4)1(22yx上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程 . 例 23 如图所示，已知圆422yxO：与y轴的正方向交于A点，点B在直线2y上运动，过B做圆O的切线，切点为C，求ABC垂心H的轨迹分析： 按常规求轨迹的方法，设),(yxH，找yx ,的关系非常难 由于H点随B，C点运动而运动，可考虑H，B，C三点坐标之间的关系解： 设),(yxH，),(yxC，连结AH，CH，则BCAH，ABCH，BC是切线BCOC，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - - 20 所以AHOC /，OACH /，OCOA，所以四边形AOCH是菱形所以2OACH，得.,2xxyy又),(yxC满足422yx，所以)0(4)2(22xyx即是所求轨迹方程说明： 题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识采取代入法求轨迹方程做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法类型九：圆的综合应用例 24、 已知圆0622myxyx与直线032yx相交于P、Q两点，O为原点，且OQOP，求实数m的值分析： 利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解解法一：如图，在矩形APBQ中， 连结AB，PQ交于M， 显然ABOM，PQAB，在直角三角形AOM中，若设),(yxQ，则)2,2(byaxM由222OAAMOM，即22222)()(41)2()2(rbyaxbyax，也即)(222222baryx，这便是Q的轨迹方程解法二： 设),(yxQ、),(11yxA、),(22yxB，则22121ryx，22222ryx又22ABPQ，即)(22)()()()(2121222122122yyxxryyxxbyax又AB与PQ的中点重合，故21xxax，21yyby，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - - 21 )(22)()(2121222yyxxrbyax，有)(222222baryx这就是所求的轨迹方程解法三： 设)sin,cos(rrA、)sin,cos(rrB、),(yxQ，由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有coscosrrax，sinsinrrby，又由PBPA有1cossincossinarbrarbr联立、消去、，即可得Q点的轨迹方程为)(222222baryx说明：本题的条件较多且较隐含，解题时， 思路应清晰， 且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中本题给出三种解法其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法解法二涉及到了1x、2x、1y、2y四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆222ryx的参数方程， 只涉及到两个参数、，故只需列出三个方程便可上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解练习：1、由动点P向圆122yx引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，APB=600，则动点P的轨迹方程是. 解 ：设),(yxP.APB=600，OPA=300.APOA， 22OAOP， 222yx，化简得422yx，动点P的轨迹方程是422yx. 练习巩固： 设)0)(0,(),0 ,(ccBcA为两定点， 动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值)0(aa，求P点的轨迹 . 解：设动点P的坐标为),(yxP.由)0(aaPBPA，得aycxycx2222)()(，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - - 22 化简得0)1()1(2)1()1(2222222acxacyaxa. 当1a时，化简得01)1(222222cxaacyx，整理得222222)12()11(aacycaax；当1a时，化简得0 x. 所以当1a时，P点的轨迹是以)0,11(22caa为圆心，122aac为半径的圆；当1a时，P点的轨迹是y轴. 2、已知两定点)0 ,2(A，)0, 1(B，如果动点P满足PBPA2，则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是),(yx.由PBPA2，得2222) 1(2)2(yxyx，化简得4)2(22yx，点P的轨迹是以（ 2，0）为圆心， 2 为半径的圆，所求面积为4. 4、 已 知 定 点)0 ,3(B， 点A在 圆122yx上 运 动 ，M是 线 段AB上 的 一 点 ， 且MBAM31，问点M的轨迹是什么？解：设),(),(11yxAyxM.MBAM31，),3(31),(11yxyyxx，yyyxxx31)3(3111，yyxx3413411.点A在圆122yx上运动， 12121yx，1)34()134(22yx，即169)43(22yx，点M的轨迹方程是169)43(22yx. 例 5、已知定点)0, 3(B，点A在圆122yx上运动，AOB的平分线交AB于点M，则点M的轨迹方程是. 名师资料总结 - 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