2022年高三数学复习对数与对数函数 .pdf

2.8 对数与对数函数知识梳理1.对数（1）对数的定义：如果 ab=N（a0，a1） ，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作logaN=b. （2）指数式与对数式的关系：ab=NlogaN=b（a0，a1，N0）. 两个式子表示的a、 b、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: loga（MN）=logaM+logaN. logaNM=logaMlogaN. logaMn=nlogaM.（M 0，N0，a 0，a1）对数换底公式：logbN=bNaaloglog（a0，a1，b0，b1，N0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义函数 y=logax （ a0，a1）叫做对数函数， 其中 x 是自变量， 函数的定义域是 （0，+）. （2）对数函数的图象Oxyy=l ogx aOxy aay =l ogxa11110()底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称 . （3）对数函数的性质: 定义域：（0，+） . 值域： R. 过点（ 1，0） ，即当 x=1 时， y=0. 当 a1 时，在（ 0，+）上是增函数；当0a1 时，在（ 0，+）上是减函数. 点击双基1.函数 f（x）=|log2x|的图象是111- 111111xxxxyyyyOOOOABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析： f（x）=.10,log, 1,log22xxxx答案： A 2.若 f1（x） 为函数 f （x） =lg （x+1） 的反函数， 则 f1（x） 的值域为 _. 解析： f1（x）的值域为f（x） =lg（x+1）的定义域 . 由 f（x）=lg（x+1）的定义域为（1，+） ，f1（ x）的值域为（1，+） . 答案： （ 1， +）3.已知 f（x）的定义域为0，1 ，则函数y=flog21（3x） 的定义域是_. 解析：由 0log21（3 x） 1 log211log21（3x） log2121213x12 x25. 答案： 2，254.若 logx7y=z，则 x、y、z之间满足A.y7=xzB.y=x7zC.y=7xzD.y=zx解析：由 logx7y=zxz=7yx7z=y，即 y=x7z. 答案： B 5.已知 1mn，令 a=（lognm）2， b=lognm2，c=logn（lognm） ，则A.abc B.acbC.bacD.cab解析： 1mn， 0lognm1. logn（lognm） 0. 答案： D 典例剖析【例 1】 已知函数 f（x）=,4),1(,4,)21(xxfxx则 f（2+log23）的值为A.31B.61C.121D.241剖析： 32+log234，3+log234，f（2+log23）=f（3+log23）=（21）3+log23=241. 答案： D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 【例 2】 求函数 ylog2x的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解： x 0，函数的定义域是x xR 且 x0 .显然 ylog2x是偶函数，它的图象关于y轴对称 .又知当 x0 时， ylog2xylog2x.故可画出 ylog2x的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（，0） ，递增区间是（0，） . 1- 1 Oxy评述：研究函数的性质时，利用图象更直观. 深化拓展已知 y=log21a2x+2（ ab）xb2x+1 （a、bR+） ，如何求使y 为负值的x 的取值范围 ? 提示：要使y0，必须 a2x+2（ab）xb2x+11，即 a2x+2（ab）xb2x0. b2x0，（ba）2x+2（ba）x10. （ba）x21 或（ba）x21（舍去） . 再分ba1，ba=1，ba1 三种情况进行讨论. 答案： ab 0时， xlogba（21） ；a=b 0时， xR；0ab 时， xlogba（2 1）. 【例 3】 已知 f（ x）=log313（ x1）2 ，求 f（x）的值域及单调区间. 解：真数3（ x1）23，log313（x1）2log313=1，即 f（x）的值域是 1，+）.又 3（x1）20，得 13 x1+3， x（ 13，1时， 3（ x1）2单调递增，从而f（x）单调递减； x 1，1+3）时， f（x）单调递增 . 特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域. 闯关训练夯实基础1.若函数f（x）=logax（ 0a1）在区间 a，2a上的最大值是最小值的3 倍，则a等于A.42B.22C.41D.21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析： 0a1， f（x） =logax 是减函数 . logaa=3 loga2a.loga2a=31. 1+loga2=31.loga2=32. a=42. 答案： A 2.函数 ylog2ax1（ a 0）的对称轴方程是x 2，那么 a 等于A. 21B.21C.2 D.2 解析： y=log2|ax1|=log2|a（xa1）|，对称轴为x=a1，由a1=2 得 a=21. 答案： B 评述：此题还可用特殊值法解决，如利用 f （0） =f （4） ， 可得 0=log2|4a1|.|4a+1|=1. 4a+1=1 或 4a+1=1. a0， a=21. 3.设 f 1（x）是 f（ x）=log2（x+1）的反函数，若1+ f 1（a） 1+ f 1（b） =8，则 f（a+b）的值为A.1 B.2 C.3 D.log23 解析： f1（x）=2x1， 1+ f1（a） 1+ f1（b） =2a2b=2a+b.由已知2a+b=8，a+b=3. 答案： C 4.（ 2004 年春季上海）方程lgx+lg （x+3） =1 的解 x=_. 解析：由 lgx+lg（ x+3）=1，得 x（x+3）=10，x2+3x10=0. x=5 或 x=2. x0， x=2. 答案： 2 5.已知 y=loga（3ax）在 0，2上是 x 的减函数，求a 的取值范围 . 解： a0 且 a1， t=3 ax 为减函数 .依题意a1，又 t=3ax 在 0， 2上应有 t0， 32a0.a23.故 1 a23. 6.设函数 f（ x）=lg（1 x） ，g（x）=lg（1+x） ，在 f（x）和 g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与 |g（x） |的大小 . 解： f（x） 、g（x）的公共定义域为（1，1）. |f（x）|g（x）|=|lg（1x）|lg（1+x）|. （1）当 0 x1 时， |lg（1x）|lg（1+x）|=lg（1x2） 0；（2）当 x=0 时， |lg（1x）|lg（1+x）|=0；（3）当 1 x0 时， |lg（ 1x）|lg（ 1+x）|=lg（1x2） 0. 综上所述，当0 x1 时， |f（x） |g（x） |；当 x=0 时， |f（x）|=|g（x）|；当 1x0 时， |f（x）|g（x）|. 培养能力7.函数 f（x）=log2|x|，g（x）=x2+2，则 f（x） g（x）的图象只可能是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - Ox y Ox y Ox y Ox y A B C D解析： f（x）与g（x）都是偶函数，f（x） g（x）也是偶函数，由此可排除A、D. 又由 x+时， f（x） g（x），可排除B. 答案： C 8.若 f（x）=x2x+b，且 f（log2a）=b，log2f（a） =2（a1）. （1）求 f（log2x）的最小值及对应的x 值；（2）x 取何值时， f（log2x） f（ 1）且 log2f（x） f（1）？解： （1） f（x）=x2x+b，f（log2a）=log22alog2a+b. 由已知有 log22alog2a+b=b，（ log2a1）log2a=0. a1， log2a=1.a=2. 又 log2f（a） =2， f（a） =4. a2a+b=4，b=4a2+a=2. 故 f（x）=x2x+2，从而 f（log2x）=log22xlog2x+2=（log2x21）2+47. 当 log2x=21即 x=2时， f（log2x）有最小值47. （2）由题意2)2(log22loglog22222xxxx21102xxx或0 x1. 探究创新9.已知函数f（x）=3x+k（ k 为常数）， A（ 2k，2）是函数y= f1（x）图象上的点 . （1）求实数 k 的值及函数f1（x）的解析式；（ 2）将 y= f1（ x）的图象按向量a=（ 3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f1（x+m3） g（x） 1 恒成立，试求实数m 的取值范围 . 解： （1） A（ 2k， 2）是函数y= f1（x）图象上的点，B（ 2， 2k）是函数y=f（x）上的点 . 2k=32+k.k=3. f（x）=3x 3. y= f1（x）=log3（x+3） （x 3）. （2）将 y= f1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x0） ，要使 2 f1（ x+m3） g（ x） 1 恒成立，即使2log3（x+m） log3x1 恒成立，所名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 以有 x+xm+2m3 在 x0 时恒成立，只要（x+xm+2m）min3. 又 x+xm2m（当且仅当x=xm， 即 x=m时等号成立）， （ x+xm+2m）min=4m，即 4m 3.m169. 思悟小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的. 2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时， 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1 比较分出大于1 还是小于1，然后在各类中间两两相比较 . 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 教师下载中心教学点睛1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数，所以它们有许多类似的性质，掌握对数函数的性质时，与掌握指数函数的性质一样，也要结合图象理解和记忆. 2.由于在对数式中真数必须大于0，底数必须大于零且不等于1，因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时，要强化这方面的意识. 拓展题例【例 1】 求函数 y=2lg（x 2） lg（x3）的最小值 . 解：定义域为x3，原函数为 ylg3)2(2xx. 又3)2(2xx3442xxx31)3(2)3(2xxx（ x3）31x24，当 x4 时， yminlg4. 【例2】在f1（x）=x21，f2（ x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=log21x 四个函数中， x1x21 时，能使21f（x1）+f（x2） f（221xx）成立的函数是A.f1（ x）=x21B.f2（x）=x2C.f3（x）=2x D.f4（x）=log21x解析：由图形可直观得到：只有f1（x）=x21为“上凸”的函数. 答案： A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -