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1 2013 年福建省高中数学竞赛暨 2013 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间： 2013 年 9 月 7 日上午 9：0011：30，满分 160 分）一、填空题（共10小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1已知数列na满足132a，12nnaan（*nN） ，则nan的最小值为。【答案】313【解答】 由132a，12nnaan知，12(1)nnaan，122(2)nnaan，, ，212 1aa，132a。上述 n个等式左右两边分别相加，得(1)32nan n。321nannn，又5n时，525nan；6n时，313nan。6n时，nan取最小值313。2 对 于 函 数( )yfx，xD， 若 对 任 意 的1xD ， 存 在 唯 一 的2xD ， 使 得12() ()f xf xM ，则称 函数( )f x在D上的几 何平均 数为M。已 知32( )1f xxx，1 2x， ，则函数32( )1f xxx在 1 2， 上的几何平均数M。【答案】5【解答】当12x时，2( )32(32)0fxxxxx，32( )1f xxx在区间 1 2， 上为增函数，其值域为1 5， 。根据函数( )f x几何平均数的定义知，5M。3若三个非零且互不相等的实数a 、b、c满足112abc，则称 a、b、 c是调和的；若满足2acb，则称 a、b、c是等差的。已知集合2013MxxxZ，集合P是集合M的三元子集，即 Pa b cM，。若集合P中元素 a、b、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”。则不同的“好集”的个数为。【答案】 1006【解答】 若 a、b、 c既是调和的，又是等差的，则1122abcacb，2ab，4cb。即“好集”为形如24b bb，（0b）的集合。由“好集”是集合M的三元子集知，201342013b，bZ，且0b。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 503503b，bZ，且0b。符合条件的b可取 1006 个值。“好集”的个数为1006。4 已 知 实 数 x ，y满 足14xyxy， 且1x， 则(1 ) (2xy的 最 小 值为。【答案】27【解答】 由14xyxy知，411xyx。413 (1 ) ( 21 )(1) (2 )(1 ) (2 )11xxxxyxxx。设1xt，则0t，3(1)(21)3(2)(21)1(1)(2)6()15271xxttxytxtt。当且仅当1tt，即1t，2x，7y时等号成立。(1) (2 )xy的最小值为 27。5如图，在四面体ABCD中， ABBCD平面，BCD是边长为 3 的等边三角形。若2AB，则四面体ABCD外接球的面积为。【答案】16【解答】 如图，设正BCD的中心为1O ，四面体ABCD外接球的球心为O。则1OOBCD平面，1OOAB，1233332BO。取AB中点E。由OAOB知，OEAB，1OEO B，11OOEB。于是，2OAOB。四面体ABCD外接球半径为 2，其面积为16。6在正十边形的10 个顶点中，任取4 个点，则以这 4 个点为顶点的四边形为梯形的概率为。【答案】27【解答】 设正十边形为1210A AA 。则以12A A 为底边的梯形有12310A A A A 、1249A A A A 、1258A A A A 共 3 个。同理分别以23A A 、34A A 、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 45A A 、, 、910A A 、101A A 为底边的梯形各有3 个。这样，合计有30个梯形。以13A A 为底边的梯形有13410A A A A 、1359A A A A 共 2 个。同理分别以24A A 、35A A 、46A A 、, 、91A A 、102A A 为底边的梯形各有2 个。这样，合计有 20 个梯形。以14A A 为底边的梯形只有14510A A A A 1 个。同理分别以25A A 、36A A 、47A A 、 , 、92A A 、103A A为底边的梯形各有1 个。这样，合计有10 个梯形。所以，所求的概率41030201027PC。7方程1sin222xxx在区间 0 2，内的所有实根之和为。 （符号x 表示不超过 x的最大整数）。【答案】12【解答】 设222xxx，则对任意实数 x ，012x。原方程化为1sin22xx。 若1022x，则1sin022xx，xk（kZ） 。xk（kZ） 。结合0 2x，知，0 x，1，2，3，4，5，6。经检验，0 x，2，4，6 符合要求。 若1122x，则1sin122xx，122xk（kZ） 。122xk（kZ） 。结合0 2x，知，12x，52，92。经检验，12x，52，92均不符合要求。符合条件的 x为 0，2，4，6，它们的和为 12。8 已知( )f x为R上增函数，且对任意xR， 都有( )34xff x， 则( 2 )f。【答案】 10【解答】 依题意，( )3xf x为常数。设( )3xf xm，则()4f m，( )3xf xm。34mm，340mm。易知方程340mm有唯一解1m。()31xf x，2(2)3110f。9已知集合A的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为 200。且除 1 以外，A中每一个数都等于A中某两个数 （可以相同） 的和。则 A 的最小值为。 （符号A表示集合A中元素的个数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 【答案】10【解答】 易知集合1 2 3 5 10 20 40 80 160 200A， ， ， ，符合要求。此时，10A。下面说明9A不符合要求。假设集合12345671200Axxxxxxx， ， ， ， ， ， ， ，1234567xxxxxxx 符合要求。则11 12x，2224x，38x，416x，532x，664x，7128x。由于6764128192200 xx，因此，77200 xx ，7100 x。同理，由56326496100 xx，知，766100 xxx ，650 x。由4516324850 xx，知，65550 xxx ，525x。由348162425xx，知，54425xxx ，4252x与4x 为整数矛盾。9A不符合要求，9A。同理，8A也不符合要求。因此，A 的最小值为 10。10已知函数*( )1xxf xqqxp qNp qpqpp，若为无理数， 若， 其中， 且、互质，则函数( )fx在区间78()89，上的最大值为。【答案】1617【解答】 若 x为有理数，且78()89x，。设78()89axa，（ a，*N） ，由7889aa知，988778aaaa，78a。当1时， a不存在；当2时，存在唯一的15a，此时1517x，16( )17f x。当3时，设7am，其中11m，且*mN，此时71( )8mf xm。1 67191 7()( 81 7 )01 781 7 ( 8)1 7 ( 8)mmmmmm，若 x为有理数，则1517x时，( )f x取最大值1617。又 x为无理数，且78()89x，时，816( )917fxx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 综合以上可知，( )f x在区间78()89，上的最大值为1617。二、解答题（共5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）11 将各项均为正数的数列na排成如下所示的三角形数阵 （第 n行有 n个数，同一行中，下标小的数排在左边）。nb 表示数阵中，第 n 行、第 1 列的数。已知数列nb为等比数列，且从第 3 行开始，各行均构成公差为d的等差数列（第 3 行的 3 个数构成公差为d的等差数列；第 4 行的 4 个数构成公差为d的等差数列， , ） ，11a，1217a，1834a。（1）求数阵中第 m 行、第 n列的数()A m n，（用 m、 n表示） 。（2）求2013a的值；（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。【解答】 （1）设nb的公比为q。依题意，12a 为数阵中第 5 行、第 2 列的数；18a 为数阵中第 6 行、第 3 列的数。11b，1nnbq，41217aqd，518234aqd。, 5分2q，1d，12nnb。1()(1)21mmA mnbndn，。 10分（2）由123621953，12362632016，2013195360知，2013a为数阵中第 63 行，第 60 列的数。622013259a。 15分（3）假设 2013 为数阵中第 m行、第 n列的数。第 m 行中，最小的数为12m，最大的数为121mm，112201321mmm, 。由于10m时，1921295122013mm，因此10m不符合；由于11m时，1102210242013m，因此11m不符合；上述不等式无正整数解。2013 不在该数阵中。 20分1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 12已知A、B为抛物线C：24yx上的两个动点， 点A在第一象限， 点B在第四象限。1l 、2l 分别过点A、B且与抛物线C相切，P为1l 、2l 的交点。（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上， 并求此直线方程；（2）设C、D为直线1l 、2l 与直线4x的交点，求PCD面积的最小值。【解答】 （1）设211()4yAy，222()4yBy，（120yy ） 。易知1l 斜率存在，设为1k ，则1l 方程为2111()4yyykx。由21112()44yyyk xyx得，221111440k yyyk y,由直线1l 与抛物线C相切，知21111164(4)0kyk y。于是，112ky，1l 方程为11212yxyy。同理，2l 方程为22212yxyy。联立1l 、2l 方程可得点P坐标为1212()42y yyyP， 5 分12221212444AByykyyyy，AB方程为211124()4yyyxyy，AB过抛物线C的焦点(1 0)F，。211124(1)4yyyy，124y y。1214Py yx，点P在定直线1x上。 10 分或解： 设11()A xy，22()B xy，则1l 方程为112()y yxx，2l 方程为222()y yxx。 5 分设00()P xy，则10012()y yxx，20022()y yxx。点11()A xy，22()B xy，坐标满足方程002()yyxx 。直线AB方程为002()yyxx 。由直线AB过点(1 0)F，知002(1)x。01x。点P在定直线1x上。 10 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 （2）由（ 1）知，C、D的坐标分别为1181(4)2Cyy，、2281(4)2Dyy，。1212121212(16)()8181()()222y yyyCDyyyyy y。12121212(16)()14242PCDy yy yyySy y。 15分设212y yt （0t） ，12yym，由2222121212()()440yyyyy ymt知，2mt，当且仅当120yy时等号成立。222222222221(1 6 )(1 6 )2(1 6 )(1 6 )42421 61 68P C DttmmttttStttt。设22(16)( )8tf tt，则22222222(16) 2(16)(316)(16)( )88tt ttttfttt。4 303t时，( )0ft；4 33t时，( )0ft。( )f t在区间4 303，上为减函数；在区间4 33，上为增函数。4 33t时，( )f t取最小值12839。当120yy，12163y y，即143y，243y时，PCD面积取最小值12839。 20分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 13如图，在ABC中，90B，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD、ED。（1）求证：FPEPFDED；（2）若PEBC，求证：PCPF。【解答】 （1）由条件知，AFPADF，又FAPFAD。AFPADF，APFPAFDF。 5分同理，由AEPADE，PAEEAD知，AEPADE，EPAPDEAE。AFAE，EPAPAPFPDEAEAFDF。F PE PF DE D。 10分（2）P EB C，PEDEDCDPECED。DPECDE。EPPDEDDC 15分结合（ 1）可知，FPDPFDDC。又PFDPDC，PFDPDC，PCBPDFPFA。P、F、B、C四点共圆。又90B，90FPC，PCPF。 20分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 14已知1( )2ln(1)1(1)f xxx x。（1）求( )f x在区间 1，上的最小值；（2）利用函数( )f x的性质，求证：2(1)ln1ln 2ln 3ln2nnn（*nN，且2n） ；（3）求证：422223(1)ln 1ln2ln 3ln4nnn（*nN，且2n） 。【解答】 （1）3232222222212221(21)2 (1)( )1(1)(1)(1)xxxxxx xfxxxxxxxx。1x时，( )0fx，即( )f x在区间 1，上为增函数。( )f x在区间 1，上的最小值为1(1)2ln 22f。 5分（2）由（ 1）知，对任意的实数1x，112ln(1)12ln 20(1)2xx x恒成立。对任意的正整数k，12ln(1)10(1)kk k，即112ln(1)1()1kkk恒成立。 10分112ln 21()12，112ln 31()23，, ，112ln1()1nnn。1111112ln 22ln 32ln1()1()1()12231nnn。21(1 )2 l n 22 l n 32 l n1( 1)nnnnn。*nN，且2n时，2(1)ln1ln 2ln 3ln2nnn。 15分（3）由柯西不等式知，222222222(ln 1ln 2ln 3ln)(1111 )(ln1ln2ln3ln )nn。结合（ 2）的结论可知，当*nN，且2n时，442222231(1)(1)ln 1ln2ln 3ln44nnnnnn。 20分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 15 已知集合327776Pxxabca b c， 其中， ， 为不超过的正整数。1x ，2x ，3x ，, ，nx 为集合P中构成等差数列的 n个元素。求 n的最大值。【解答】 （1）显然 1，2，3，4，5，6 这 6 个数在集合P中，且构成等差数列。 5分（2）下面证明集合P中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。用反证法。设1x ，2x ，3x ，, ，7x 为集合P中构成等差数列的7 个不同的元素， 其公差为d，0d。由集合P中元素的特性知，集合P中任意一个元素都不是7 的倍数。由抽屉原理知，1x ，2x ，3x ，, ，7x 这 7 个数中，存在 2 个数，它们被 7 除的余数相同， 其差能被 7 整除。 设ijxx（1 2 3 4 5 6 7ij，ij） 能被 7 整除。 则 7 ()ji d 。7 d。 10分设7dm（m为正整数），设321123777xaaa （1a ，2a ，3a 为不超过 6 的正整数）。则321237777(1)ixaaaim，其中2i，3，, ， 7。3277676 76x，32771 71 7 17(71)xm，16m，即公差d只能为71，72，, ，76。 15分16m，(7)1m，。m，2m，, ，6m除以 7 以后的余数各不相同，分别为1，2，, ， 6 中的一个。因此，存在1 2 3 4 5 6k，使得2akm能被 7 整除，设27ak mt （t 为正整数）。则323232112312313777777()77()7kxaaakmaakmaata这样，1kx的 7 进制表示中， 7 的系数（即从左到右第2位）为 0，与1kxP矛盾。集合P中任意 7 个不同的数都不能构成等差数列。n的最大值为 6。 20分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -