2022年高三数学一轮复习必备精品：函数模型应用 .pdf

1 第 7 讲函数模型应用一 【课标要求】1利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。二 【命题走向】函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。预测 2010 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象三 【要点精讲】1解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型： 将变量 y 表示为 x 的函数， 在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示：2解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用四 【典例解析】实际问题函数模型实际问题的解函数模型的解抽象概括还原说明运用函数性质名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2 题型 1：正比例、反比例和一次函数型例（ 1）(2009 山东卷理 ) （本小题满分12 分）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城A 与城 B的影响度之和，记 C点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城A 和城 B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城 B 的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城 B 的总影响度为0.065. （1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（ 1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城 B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离 ;若不存在，说明理由。解法一 :（1）如图 ,由题意知 ACBC,22400BCx,224(020)400kyxxx其中当102x时，y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为2249(020)400yxxx（2）2249400yxx,42232232289(2)188(400)(400)(400)xxxyxxxx,令0y得422188(400)xx,所以2160 x,即410 x,当0410 x时, 422188(400)xx,即0y所以函数为单调减函数,当4620 x时, 422188(400)xx,即0y所以函数为单调增函数.所以当410 x时, 即当 C 点到城 A 的距离为410时, 函数2249(020)400yxxx有最小值 . 解法二 : （1）同上 . （2）设22,400mxnx, 则400mn,49ymn,所以494914911()13()(1312)40040040016mnnmymnmnmn当且仅 当49nmmn即240160nm时取 ” =” . 下面证明函数49400ymm在(0,160)上为减函数 , 在(160,400)上为增函数 . 设 0m1m2160,则1211224949()400400yymmmmA BC x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 3 12124499()()4 0 04 0 0mmmm211212124 ()9 ()( 4 0 0) ( 4 0 0)mmmmmmmm21121249()(400)(400)mmm mmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmm mmmm mmm, 因为 0m1m242402409 m1m29 160160 所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmm mm mmm, 所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmm mmmm mmm即12yy函数49400ymm在(0,160)上为减函数. 同理,函数49400ymm在(160,400)上为增函数,设160m1m2400,则1211224949()400400yymmmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmm mmmm mmm因为 1600m1m2400,所以 412(400)(400)mm9160160 所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmm mm mmm, 所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmm mmmm mmm即12yy函数49400ymm在(160,400)上为增函数 . 所以当 m=160 即410 x时取 ” =” ,函数 y 有最小值 , 所以弧上存在一点，当410 x时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城 B的总影响度最小. 【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. （2） 某地区 1995 年底沙漠面积为95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90 万公顷？观测时间1996年底1997年底1998年底1999年底2000年底该地区沙漠比原有面积增0.20000.40000.60010.79991.0001名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 4 加数（万公顷）解析： （1）由表观察知， 沙漠面积增加数y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次函数y=kx+b 的图象将 x=1，y=0.2 与 x=2，y=0.4，代入 y=kx+b，求得 k=0.2，b=0，所以 y=0.2x（xN） 。因为原有沙漠面积为95 万公顷，则到2010 年底沙漠面积大约为95+0.515=98（万公顷）。（2）设从 1996 年算起，第x 年年底该地区沙漠面积能减少到90 万公顷，由题意得95+0.2x0.6(x5)=90，解得 x=20（年）。故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到90 万公顷。点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、 “成反比例”等条件要应用好例 2(2009 湖南卷理 )（本小题满分13 分）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256 万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元。（）试写出y关于 x 的函数关系式；（）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？解 （）设需要新建n 个桥墩，(1)1mnxmx， 即 n=所以(2)mmxx xxxy=f(x)=256n+(n+1)(2+)x=256(-1)+2562256.xmxmx（）由（）知，2332222561()(512).22mmfxmxxxx令()0fx，得32512x，所以 x =64当 0 x 64 时()fx0. ()fx在区间（ 64，640）内为增函数，所以()fx在 x =64 处取得最小值，此时，640119.64mnx故需新建9 个桥墩才能使y最小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 5 题型 2：二次函数型例 3一辆中型客车的营运总利润y（单位：万元）与营运年数x（xN）的变化关系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大（A）4 （B）5 （C） 6 （ D）7x 年468,cbxaxy2（万元）7117,解析：表中已给出了二次函数模型cbxaxy2，由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7） ， （ 6，11） ， （8，7） ，则.887,6611,447222cbacbacba。解得 a=1，b=12，c=-25，即25122xxy。而取“ =”的条件为xx25，即 x=5，故选（ B） 。点评： 一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。例 4 （2009 福州八中）某造船公司年造船量是20 艘，已知造船x艘的产值函数为R( x)=3700 x+45x2-10 x3（单位： 万元） ， 成本函数为C( x)=460 x+5000 （单位：万元） ， 又在经济学中， 函数 f ( x)的边际函数Mf( x)定义为 Mf( x)= f( x+1)- f ( x) 。（）求利润函数P(x) 及边际利润函数MP ( x) ； （提示：利润 =产值成本）（）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（）求边际利润函数MP ( x) 单调递减时x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解（）P( x)= R( x)- C( x)=-10 x3+45x2+3240 x-5000,( xN*,且1x20); MP ( x)=P( x+1)- P( x)=-30 x2+60 x+3275，( xN*, 且 1x19) （）)9)(12(3032409030)(2xxxxxP. 当 0 x12 时)( xP 0, 当 x12 时，)(xP0. x=12，P （ x）有最大值 . 即年造船量安排12 艘时，可使公司造船的年利润最大（） MP （ x）=-30 x2+60 x+3275=-30( x-1)2+3305, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 6 所以，当x1 时， MP （x）单调递减， x 的取值范围为 1,19，且 xN* ()M P x是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少例 5 （2008 湖南理 21 ）已知函数43219()42fxxxxcx有三个极值点（I）证明：275c；（II）若存在实数c，使函数)(xf在区间,2a a上单调递减，求a 的取值范围。解： （I）因为函数43219()42fxxxxcx有三个极值点 , 所以32()390fxxxxc有三个互异的实根. 设32()39,gxxxxc则2()3693(3)(1),gxxxxx当3x时，()0,gx()g x在(,3)上为增函数 ; 当31x时，()0,gx()gx在(3,1)上为减函数 ; 当1x时，()0,gx()gx在(1,)上为增函数 ; 所以函数()gx在3x时取极大值 ,在1x时取极小值 . 当(3)0g或(1)0g时,()0gx最多只有两个不同实根. 因为()0g x有三个不同实根, 所以(3)0g且(1)0g. 即2727270c,且 1390c, 解得27,c且5,c故275c. （II）由（ I）的证明可知，当275c时, ()fx有三个极值点 . 不妨设为123xxx，（123xxx） ，则123()()()().fxxxxxxx所以()fx的单调递减区间是1(x，,23,xx若)( xf在区间,2a a上单调递减，则,2a a1(x，, 或,2a a23,xx, 若,2a a1(x，,则12ax.由（ I）知，13x,于是5.a若,2a a23,xx,则2ax且32ax.由（ I）知，231.x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 7 又32()39,fxxxxc当27c时，2()(3)(3)fxxx; 当5c时，2()(5)(1)fxxx. 因此 , 当275c时，313.x所以3,a且23.a即31.a故5,a或31.a反之 , 当5,a或31a时，总可找到(27, 5),c使函数)(xf在区间,2a a上单调递减 . 综上所述 , a 的取值范围是(5)(3,1)，. 题型 3：分段函数型例 6 （2009 福建省） 已知某企业原有员工2000 人 , 每人每年可为企业创利润3.5 万元. 为应对国际金融危机给企业带来的不利影响, 该企业实施 “优化重组 , 分流增效” 的策略 , 分流出一部分员工待岗. 为维护生产稳定, 该企业决定待岗人数不超过原有员工的5, 并且每年给每位待岗员工发放生活补贴O.5 万元 .据评估 ,当待岗员工人数x 不超过原有员工1时 , 留岗员工每人每年可为企业多创利润(1-x10081) 万元；当待岗员工人数 x 超过原有员工1时 , 留岗员工每人每年可为企业多创利润O.9595 万元 . 为使企业年利润最大, 应安排多少员工待岗? 解设重组后 , 该企业年利润为y 万元 . 20001%=20,当 0 x20 且 xN时, y=(2000- x)(3.5+1-x10081)-0.5 x=-5( x+x324)+9000.81. x 20005% x100, 当 20 x100 且 xN时, y=(2000- x)(3.5+0.9595)-0.5x=-4.9595 x+8919. N).10020(,89199595.4N),200( ,81.9000)324(5xxxxxxxy且且当 0 x20 时 , 有y=-5( x+x324)+9000.81 -5 2324+9000.81=8820.81, 当且仅当x=x324, 即 x=18 时取等号 , 此时 y 取得最大值 . 当 20 x 100 时, 函数 y=-4.9595x+8919为减函数 , 所以 y0 .3 分故(1)()fxfx单调递减当7x时，掌握程度的增长量(1)()fxfx总是下降 .6 分（2）由题意可知0.1+15ln6aa=0.85.9 分整理得0.056aea解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,1271eae .13 分由此可知，该学科是乙学科.14 分例 10 （2008 湖北，文、理19）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 10 （本不题满分12 分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm） ，能使矩形广告面积最小？解法 1：设矩形栏目的高为a cm，宽为 b cm，则 ab=9000. 广告的高为a+20，宽为 2b+25，其中 a 0，b0. 广告的面积S(a+20)(2b+25) 2ab+40b+25a+50018500+25a+40b18500+2ba4025=18500+.245001000 ab当且仅当25a40b 时等号成立，此时b=a85,代入式得a=120，从而 b=75. 即当 a=120，b=75 时 ,S取得最小值24500. 故广告的高为140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小. 解法 2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x20，,225y其中 x20，y25 两栏面积之和为2(x20)18000225y,由此得 y=,252018000 x广告的面积S=xy=x(252018000 x)252018000 xx, 整理得 S=.18500)20(2520360000 xx因为 x200，所以 S 2.2450018500)20(2520360000 xx当且仅当)20(2520360000 xx时等号成立，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 11 此时有 (x20)2 14400(x20)，解得 x=140，代入 y=2018000 x+25,得 y175，即当 x=140， y175 时， S取得最小值24500，故当广告的高为140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小. 点评：本题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力。以及函数概念、性质和不等式证明的基本方法。题型 6：指数、对数型函数例 11有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V 立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合用)0()0()(perpgrptgtvr，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物的克数（我们称其湖水污染质量分数） ，)0(g表示湖水污染初始质量分数。（1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数；（2）分析rpg)0(时，湖水的污染程度如何。解析：（1）设210tt，因为)(tg为常数，)()(21tgtg，即0)0(21tvrtvreerpg，则rpg)0(；（2）设210tt，)()(21tgtg)0(21tvrtvreerpg=2112)0(ttvrtvrtvreeerpg因为0)0(rpg，210tt，)()(21tgtg。污染越来越严重。点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数1,10aa两种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题。譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻”例 12现有某种细胞100 个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1 个细胞分裂成2 个细胞 ， 按 这 种 规 律 发 展 下 去 ， 经 过 多 少 小 时 ， 细 胞 总 数 可 以 超 过1010个 ？ （ 参 考 数 据 ：lg 30.477, lg 20.301）.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 12 解析：现有细胞100 个，先考虑经过1、2、3、4 个小时后的细胞总数，1 小时后，细胞总数为1131001002100222；2 小时后，细胞总数为13139100100210022224；3 小时后，细胞总数为191927100100210024248；4 小时后，细胞总数为127127811001002100282816；可见，细胞总数y与时间 x （小时）之间的函数关系为：31002xy，xN由103100102x，得83102x，两边取以10 为底的对数，得3lg82x，8lg 3lg 2x，8845.45lg 3lg 20.4770.301，45.45x. 答：经过46 小时，细胞总数超过1010个。点评：对于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合理的解析。（2008 广东文 17）（本小题满分12 分）某单位用2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层 2000 平方米的楼房 .经测算，如果将楼房建为x(x10) 层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元） . 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用购 地 总 费 用建 筑 总 面 积）【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则2 1 6 01 0 0 0 01 0 8 0 05 6 04 85 6 04 82000fxxxxx1 0 ,xxZ21080048fxx, 令0fx得15x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 13 当15x时，0fx；当015x时，0fx因此当15x时， f（x）取最小值152000f；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15 层。五 【思维总结】1将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。2怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实际问题。解答此类题型主要有如下三种方法：（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；（2）列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较；（3）描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -