2022年高中函数解法 .pdf

高中函数解1、直接 观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1 求函数 y=3-的值域。解：0 - 0 3- 3 故函数的值域是： - ，3 2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 2、求函数 y=-2x+5，x-1 ，2 的值域。解：将函数配方得： y=（x-1 ）+4，x-1 ，2 ，由二次函数的性质可知：当 x=1 时，y =4 当 x=-1，时=8 故函数的值域是： 4 ，8 3、判别式法例 3 求函数 y=的值域。解：原函数化为关x 的一元二次方程（ y-1 ）-x+（y-1 ）=0 （1）当 y1 时，xR,=(-1)-4(y-1)(y-1) 0 解得： y （2）当 y=1，时， x=0, 而 1, 故函数的值域为 ，例 4 求函数 y=x+的值域。解：两边平方整理得： 2-2（y+1）x+y=0（1）xR，=4（y+1）-8y0 解得： 1-y1+ 但此时的函数的定义域由x（2-x ）0，得： 0 x2。由0，仅保证关于 x 的方程： 2-2（y+1）x+y=0在实数集 R有实根，而不能确保其实根在区间 0 ，2 上，即不能确保方程（ 1）有实根，由 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 ，。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。0 x2，y=x+0，=0，y=1+代入方程（ 1），解得： =0，即当 =时，原函数的值域为： 0 ，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法直接求函数的值域困难时， 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 5 求函数 y=值域。解：由原函数式可得： x= 则其反函数为： y= 其定义域为： x故所求函数的值域为：（-，）5、函数有界性法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 直接求函数的值域困难时， 可以利用已学过函数的有界性， 反客为主来确定函数的值域。例 6 求函数 y=的值域。解：由原函数式可得： = 0，0 解得： -1y0，故原函数的值域为 (0, 。 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。 换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 9 求函数 y=x+的值域。解：令 x-1=t ，（t0 ）则 x=+1 y=+t+1=+，又 t0 ，由二次函数的性质可知当 t=0 时，y=1，当 t 0 时，y+。故函数的值域为 1 ，+） 8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 10 求函数 y=+的值域。解：原函数可化简得： y=x-2 +x+8上式可以看成数轴上点P（x）到定点 A（2），B（-8 ）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段 AB上时，y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2 +x+8AB =10 故所求函数的值域为： 10 ，+ 例 11 求函数 y=+ 的值域解：原函数可变形为： y=+ 上式可看成 x 轴上的点 P （x，0）到两定点 A （3，2），B （-2 ，-1）的距离之和，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y=AB =，故所求函数的值域为 ，+ 。例 12 求函数 y=-的值域解：将函数变形为： y=- 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 B（-2，1）到点 P（x，0）的距离之差。即： y=AP - BP 由图可知：（ 1）当点 P在 x 轴上且不是直线 AB与 x 轴的交点时，如点P1，则构成 ABP1 ，根据三角形两边之差小于第三边，有 AP1 - BP1 AB = 即：-y （2）当点 P恰好为直线 AB与 x 轴的交点时，有 AP -BP =AB = 。综上所述，可知函数的值域为：（- ，- ）。注：由例 11，例12 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B两点坐标分别为：（ 3，2），（ -2，-1），在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B两点坐标分别为：（ 3，2），（ 2，-1），在 x 轴的同侧。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法， 一般优先考虑直接法， 函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -