2022年高中数学论文：对一道高考轨迹题的探究与推广 .pdf

对一道高考轨迹题的探究与推广普通高中数学课程标准指出：“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式” ， “高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动， 让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”下面通过对一道高考题（05 年江苏卷）的反思、探究、推广，介绍自己在这方面所做的一次尝试。考题：如图1，圆 O1与圆 O2的半径都是1，O1O2=4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM 、PN（M、N 分别为切点） ，使得2.PMPN试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程本题是由一动点出发的两条线段之比为定值的点的轨迹一个很自然的想法是将题中的比改为和，点P的轨迹还是圆吗？探究一若将题中的条件PNPM2改为mPNPM，其他条件不变，则P 点的轨迹将是什么呢？解：以 O1O2所在直线为x 轴, O1O2的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系(下同 ),设 P(x,y), 则mPNPM即22222)1(2)1xyxym（化简并整理得222222464412mxm ymm?若2 2m时, 则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.?若2 2m时, 则表示两个点(-1,0)、 （ 1，0）. ?若2 22 3m时, 则表示焦点在x 轴的双曲线的一段(如图 2). ?若2 3m时, 则表示两条线段,333322yxx(如图 3).?若2 34m时, 则表示焦点在y 轴的双曲线的一段(如图 4). ?若4m时, 则表示两条线段,122yx(如图 5)?若42 6m时, 则表示椭圆的一段(如图 6)?若2 6m时, 则表示椭圆2239xy(如图 7).?若2 6m时, 则表示椭圆(如图 8).图1O2O1yxNMPO图2O2O1yx图3O2O1yxO图4O2O1yx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 探究二若将题中的一个圆改为一定直线，即把圆O2改为直线x=2，其他条件不变, 则 P点的轨迹又将是什么呢？解: 设 P(x,y), 则mPNPM(如图 9) 即222)12xyxm（222)1xy（= 2xm2x2xm2x化简并整理得222441ymxmm化简并整理得222441ymxmm?若3m时, 则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）. ?若3m时, 则表示一个点(-1,0). ?若315m时, 表示抛物线在直线2xm的右边一段，不表示任何图形，则表示抛物线在直线2xm的右边一段 (如图 10)?若15m时, 表示抛物线在直线215x的右边一段，表示一个点 (2,0) ，此点在抛物线上，则表示抛物线在直线215x的右边一段 (如图 11).?若154m时, 表示抛物线在直线2xm的右边一段，表示抛物线在直线2x的右边一段，则表示抛物线在直线2xm的右边一段和抛物线在直线2x的右边一段围成的半封闭图形(如图 12).?若4m时, 表示两条线段,122yx, 表示抛物线21633yx在 直 线2x的 右 边 一 段 , 则 两 条 线段,122yx和抛物线21633yx在直线2x的右边一段围成的半封闭图形(如图 13).O图5O2O1yxO图6O2O1yxO图8O2O1yx图7O2O1yxONMPO2O1xy图9OO2O1xy图10OO2O1xy图11OO2O1xy图12OO2O1xy图13名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - ?若45m时, 表示抛物线在其中一段22mx，表示抛物线在直线2x的右边一段，则表示、围成的半封闭图形(如图 14).? 若5m时 , 表 示抛 物 线 226yx在 直线2x的 左 边 ， 表示 抛 物 线 21846yx在直线2x的右边，则表示、围成的封闭图形(如图 15).?若5m时, 表示抛物线在直线2x的左边一段，表示抛物线在直线2x的右边一段，则表示、围成的封闭图形(如图 16).探究三若将题中的一个圆改为一定点，即把圆O2改为定点（ 2，0） ，其他条件不变, 则 P点的轨迹又将是什么呢？解:设 P(x,y), 则2PMPOm(如图 17) 即22222)1(2)xyxym（化简并整理得222242464164141mxxm ymm?若3m时, 则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）.?若3m时, 则表示一个点(-1,0).?若34m时, 则表示双曲线左支的一段(如图 18)?若4m时, 则表示抛物线2641633yx的一段 (如图 19). ?若45m时, 则表示椭圆的一段(如图 20)?若5m时, 则表示椭圆22942569xxy(如图 21)?若5m时, ,则表示椭圆(如图 22)O2O1Oyx图19O2O1Oyx图20OO2O1yx图21O2O1Oyx图22探究四若将题中的一个圆改为一定点，即把圆O1改为定点（ -2，0） ，再将题中的一个圆改为一定直线，即把圆O2改为直线 x=2，其他条件不变, 则 P点的轨迹又将是什么呢？OO2O1xy图14OO2O1xy图15OO2O1xy图16MPO2O1Oyx图17O2O1Oyx图 18名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 解: 设 P(x,y), 则1POPNm(如图 23) 即222)2xyxm（222)xy（= 2xm2x112xm2x1211 化简并整理得22244ymxmm1312 化简并整理得22244ymxmm14?若4m时, 则不表示任何图形（也即P的轨迹不存在）. ?若4m时, 则表示线段O1O2(如图 24). ?若4m时, 11 表示抛物线13 在直线2x的左边一段，12 表示抛物线14 在直线2x的右边一段，则表示抛物线13 、抛物线14 围成的封闭图形(如图 25). NP图23yxO2O1OO2图24yxO1O图25yxO2O1O 6318名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -