2022年高中数学函数的种求值域法 .pdf

高中数学函数的12 种求值域法商丘中学顾杨杰（郭成坤）整理一.观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例 1 求函数 y=3+(2-3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(2 -3x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(2 -3x)0 ，故 3+(2-3x)3 。函数的值域为y y3 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：(1)被开方数的非负性，(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数y=x(0 x5)的值域。 (答案：值域为：0 ，1，2，3，4，5) 二.反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例 2 求函数 y=(x+1)/(x+2) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2) 的反函数为 :x=(1-2y)/(y-1), 其定义域为y1的实数 ,故函数y 的值域为 y y1,y R。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10 x+10-x)/(10 x-10-x)的值域。 (答案：函数的值域为y y1) 三.配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例 3：求函数y=( -x2+x+2) 的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由 -x2+x+20,可知函数的定义域为x-1， 2。此时 -x2+x+2=-(x-1/2)2+9/40，9/4 0 -x2+x+23/2,函数的值域是 0,3/2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x- 5+15-4x 的值域 .(答案 :值域为 y y3)四.判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例 4 求函数 y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0(*) 当 y2 时,由 =(y -2)2-4(y-2)x+(y-3)0 ，解得： 2 当 y=2 时,方程 (*) 无解。函数的值域为2 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0 ，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及 y=ax+b(cx2+dx+e) 的函数。练习：求函数y=1/(2x2-3x+1) 的值域。 (答案：值域为y -8 或 y0)。五.最值法对于闭区间 a,b 上的连续函数y=f(x), 可求出 y=f(x) 在区间 a,b内的极值 ,并与边界值f(a).f(b)作比较 ,求出函数的最值,可得到函数y 的值域。例 5 已知 (2x2-x- 3)/(3x2+x+1) 0, 且满足 x+y=1, 求函数 z=xy+3x 的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x 的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解： 3x2+x+10 ，上述分式不等式与不等式2x2-x- 30 同解，解之得-1x3/2 ，又 x+y=1 ，将 y=1-x 代入 z=xy+3x 中，得 z=-x2+4x(- 1x3/2),z=-(x-2)2+4且 x-1,3/2, 函数 z 在区间 -1,3/2 上连续，故只需比较边界的大小。当 x=-1 时， z=-5;当 x=3/2 时， z=15/4。函数 z 的值域为 z -5z15/4 。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若 x 为实数，则函数y=x2+3x-5 的值域为 () A.(- ， + )B.-7，+ C.0，+ )D.-5，+) ；(答案： D)。六.图象法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。例 6 求函数 y=x+1 +(x-2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。解：原函数化为-2x+1(x1)y=3(-12) 显然函数值y3, 所以，函数值域3，+。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七.单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例 1 求函数 y=4x- 1 -3x(x 1/3) 的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)=- 1 -3x,y=f(x)+g(x) ，其定义域为x1/3 ，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解： 设 f(x)=4x,g(x)=- 1 -3x,(x 1/3), 易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x-1 -3x 在定义域为x1/ 3 上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3, 因此，所求的函数值域为y|y 4/3。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+4-x 的值域。 (答案： y|y 3 ) 八.换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例 2 求函数 y=x- 3+2x+1的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设 t= 2x+1(t 0),则x=1/2(t2-1) 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-41/2 -4=-7/2. 所以，原函数的值域为y|y -7/2。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=x -1 x 的值域。 (答案： y|y -3/4九.构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 3 求函数 y=x2+4x+5+x2-4x+8 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)= (x+2)2+1+(2-x)2+22 作一个长为4、宽为3的矩形ABCD ，再切割成12个单位正方形。设HK=x, 则ek=2-x,KF=2+x,AK= (2 -x)2+22,KC= (x+2)2+1 。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5。当 A、K、C 三点共线时取等号。原函数的值域为y|y 5 。点评：对于形如函数y=x2+a(c-x)2+b(a,b,c 均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=x2+9+(5 -x)2+4 的值域。 (答案： y|y 52) 十.比例法对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例 4 已知 x,yR，且 3x-4y-5=0, 求函数 z=x2+y2 的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0 转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由 3x-4y-5=0 变形得， (x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数 ) x=3+4k,y=1+3k, z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。当 k=-3/5 时， x=3/5,y=-4/5 时， zmin=1 。函数的值域为 z|z 1 . 点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 练习：已知x,yR，且满足4x-y=0, 求函数 f(x,y)=2x2-y的值域。 (答案： f(x,y)|f(x,y)1) 十一 .利用多项式的除法例 5 求函数 y=(3x+2)/(x+1) 的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解： y=(3x+2)/(x+1)=3-1/(x+1)。1/(x+1) 0，故 y3 。函数 y 的值域为y3的一切实数。点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d) 的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y=(x2-1)/(x- 1)(x 1) 的值域。 (答案： y2)十二 .不等式法例 6 求函数 Y=3x/(3x+1) 的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为y=log3x/(1-x),由对数函数的定义知x/(1-x)0 ，1-x0 。解得： 0 x1 或 y0) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -