2022年高中数学论文：一道三角习题的探究性学习 .pdf

一道三角习题的探究性学习波利亚认为：“一个有责任心的教师与其穷于应付繁琐的教学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力。”而课本习题大多具有典型性、启发性、指导性，是理解巩固概念、培养掌握基本技能、启迪应用基本方法、深化拓宽基本思想的好素材。因此，教学中若能借“题”发挥、小“题”大作，进行多角度、全方位、深层次的思维发散，则可大大激发学生的创造性思维，激起智慧的火花。本文以全日制普通高级中学教课书（必修）数学第一册（下）第四章三角函数习题4.6 的第 16 题为例，谈谈探究性学习。题目： 已知31sinsin，21coscos，求)cos(的值。这是三角函数的一道典型习题，大家都知道只需“两式平方相加”，就可以得到答案，解题过程如下：191sinsin2221coscos2（1）+（2）可得：1811cos22367cos但在实际教学中，我发现学生并不能既快又准的找到这种简便方法，而是运用各式各样的方法得到不同的结论。于是我就趁机将题变为：变式： 已知10coscoscos20sinsinsin由此你能得到哪些结论（要求结论的内容不限，越多越好）。整理了学生的各种方法最后可得以下两类结论。思考角度一：直接将两式相加减或分别平方后加减（1）+（2）得：04sin4sin4sin 结论 1（2）（ 1）得：04sin4sin4sin 结论 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 2221得：0)sinsin(sin)coscos(cos22展开整理可得：23)cos()cos()cos(结论 32221得：0)sinsin(sin)coscos(cos22展开整理可得：0)cos(2)cos(2)cos(22cos2cos2cos 结论 421得：0)sinsin(sin)coscos(cos2展开整理可得：0)sin(2)sin(2)sin(22sin2sin2sin 结论 5思考角度二：条件变形为basinsinsincoscoscos，再两式平方后加减。22ba得：21)cos(将,在ba ,中位置轮换，同理可得：21)cos()cos()cos(结论 6将上式中三个函数式相乘得到：81)cos()cos()cos(结论 722ba得：2cos)cos(2cos2cos即：2cos)cos(2)cos()cos(2将结论 6 代入得：2coscos将,在ba ,中位置轮换，同理可得：2cos)cos(,2cos)cos(,2coscos 结论 8将上式中三个函数式相加并代入结论4 得到：0)cos()cos()cos(2cos2cos2cos结论 9对结论 9 利用倍角公式可得：23sinsinsincoscoscos222222 结论 10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - ba得：)sin(2sin),sin(2sin),sin(2sin 结论 11将上式中三个函数式相加并代入结论5 得到：0)sin()sin()sin(2sin2sin2sin 结论 12ba可得：tan2tan,tan2tan,tan2tan 结论 13整理后大致有这么13 种结果，课后我思索是否运用其他知识还可以得到其他结论呢？经过一番演算后，又得出两种，供大家参考。思考角度三：将已知等式中的正弦与余弦作为一些点的坐标构成几何图形，采用解析法来讨论。设点)sin,(cos),sin,(cos,sin,cosCBA，显然 A、B、C是单位圆上的三点，原点 O为ABC的外心，根据重心公式得，重心点M的坐标0)coscos(cos31xM，0)sinsin(sin31yM，所以 M点与原点 O重合，所以ABC为正三角形，不妨设20，则有32结论 14思考角度四：用已知等式中的正弦与余弦构造复数，采用复数运算方法来讨论设sincos1iZ，sincos2iZ，sincos3iZ，则有0321ZZZ，即得)(321ZZZ。于是有：321323222332233323323332313)(333)(ZZZZZZZZZZZZZZZZZZ所以得到：)cos(33cos3cos3cos)sin(33sin3sin3sin结论 15经历探究过程以获得理智和情感体验、建构知识、掌握解决问题的方法，这是探究学习要达到的三个目标：“记录在纸上的思想就如同某人留在沙上的脚印，我们也许能看到他走过的路径，但若想知道他在路上看到了什么东西，就必须用我们自己的眼睛。”德国哲学家叔本名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 华的这番话很好地道出了探究学习的重要价值。在平时的教学中，教师应积极地引导学生进行探究学习。这样，有利于深化学生对数学知识和方法的理性认识，促进其创造性思维能力的发展，从而充分发挥学生的智能和潜能。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -