2022年高中数学必修《圆的标准方程》教案 .pdf

【教案设计】课题：圆的标准方程教材：普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修2 4.1.1 一、教学目标：(1) 知识目标：掌握圆的标准方程；会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据不同条件写出圆的标准方程；利用圆的标准方程解决简单的实际问题. (2) 能力目标：进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；增强学生用数学的意识. (3) 情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识；在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点(1) 重点 : 圆的标准方程的求法及其应用. (2) 难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程；选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题. 三、教学方法与手段1. 教学方法采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入. 2. 教学手段多媒体课件进行辅助教学. 四、教学过程整个教学过程是由八个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：创设情境启迪思维深入探究获得新知应用举例巩固提高反馈训练形成方法小结反思拓展引申（一）创设情境启迪思维问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7m，高为 3m的货车能不能驶入这个隧道？通过对这个实际问题的探究，根据半圆的对称性建立平面直角坐标系, 构建数学模型 .把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程求D点的纵坐标来解决同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4 的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题【设计意图】用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移. 通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节. （二）深入探究获得新知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 问题二 1 根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？2如果圆心为( , )a b，半径为时圆的方程又如何呢？这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，由勾股定理得到圆心在原点、半径为4 的圆的标准方程2224xy后，引导学生归纳出圆心在原点、半径为r 的圆的标准方程222xyr. 然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究. 我预设了三种种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、勾股定理法、图形变换法. 坐标法：引导学生根据圆的定义，圆上的点到圆心的距离等于常数 , 即两点距离公式推导圆心不在原点的标准方程. 推导过程：圆是这样一些点的集合P=M|MC =r已知圆心( , )a b半径 r 根据两点间的距离公式，圆上任意一点M的坐标（ x, y ）满足的关系式22xaybr化简，得到圆的标准方程222xaybr图形变换法 : 借助多媒体的演示, 让学生体会平移的过程，让学生了解利用图像平移的知识也可推导圆心不在坐标原点的标准方程. 得出圆的标准方程后, 我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节. （三）应用举例巩固提高I 直接应用内化新知问题三1写出下列各圆的标准方程：（1）圆心在原点，半径为3；（2）经过点 P(5,1) ，圆心在点C(8,3). 2写出圆22(2)36xy的圆心坐标和半径. 我设计了两个比较简单的小问题，可以安排学生口答完成. 【设计意图】目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为形成待定系数法求圆的标准方程打下基础, 并为后续探究圆的切线问题作准备. II 灵活应用提升能力问题四求过原点 O和点 P(1,1) ，且圆心在直线l:2310 xy上的圆的标准方程. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 设计这一题难度明显增大，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆. 教学中应该突出对问题的分析过程，在分析过程中，要强调图形在分析问题中的辅助作用，引导学生根据题意画出图形.根据确定圆的要素- 圆心位置和半径长, 借助图形 , 结合题设条件可以发现关键是找出圆心位置. 圆心位置一旦确定, 就可以利用距离公式确定半径大小, 从而求出圆的标准方程. 让学生自主探究出圆心位置，最后可得出：直线l 与线段 OP垂直平分线l 的交点即为圆心位置. 解题过程： O （ 0，0） ，P（1，1）线段 OP的中点的坐标为1 1,2 2直线 OP的斜率10110opk因此线段OP的垂直平分线l 的方程是111022yxxy即组102310 xyxy圆心C 的坐标是方程的解得43xy所以圆心C的坐标是(4,3)解 此 方 程 组 ，2240305rOC圆 的半 径所求圆的标准方程是224325xy【设计意图】有利于培养学生逻辑思维能力和加深对数形结合思想的理解, 提高分析问题、解决问题的能力，养成良好的解题习惯, 并且对数学思维的严谨性具有良好的效果. 再一次为学生的发散思维创设了空间, 又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮. III实际应用回归自然问题五如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度 AB=20m ，拱高 OP=4m ，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱22A P的长度（精确到 0.01m）. y x O P l l OP l 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 由于圆拱是圆的一段弧, 引导学生根据对称性建立直角坐标系, 构建数学模型 , 再应用待定系数法求出圆的三个参数a、b、r, 继而确定圆的方程, 从而求出点2P的纵坐标 . 要想求出22A P的长度 , 还要求出 O点的纵坐标 . 这样问题就会迎刃而解. 但为使求解过程简单, 圆心最好设在坐标原点. 解题过程 : 由题意建立直角坐标系, 设圆心 C在坐标原点 , 如图所示设圆的半径为r 即 CA=r 由已知得AO=10 ，CO=r-OP=r-4 222RtCA =CO +AOCAO在中，2222941014.52rrr即解得222C14.5y圆 的方程 x2P点的横坐标为 -2 ，代入圆 C方程可得2P点纵坐标为14.36 CO=14.5-4=10.5 即2A点的纵坐标为10.5 22A P =14.36-10.5=3.86所以 , 支柱22A P的长度大约为3.86 米. 【设计意图】问题五同时与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生数学建模的习惯和用数学的意识.在教学中 , 我力求从生活走进数学，使数学回归生活. （四）反馈训练形成方法问题六求以点 C(1 ,3)为圆心，并且和直线3470 xy相切的圆的标准方程. 【设计意图】接下来是第四环节反馈训练. 这一环节中，我设计一个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地, 一个展示自己的舞台. 让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心. （五）小结反思拓展引申1课堂小结问题七通过本节的学习，你学到了哪些内容？最大的体验是什么？掌握了哪些学习数学的方法？【设计意图】为了发挥学生的主体作用, 通过三个小问题让学生从知识、方法、体验三方面 , 自己对圆的标准方程的形式加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法. 2分层作业（A）巩固型作业：教材P120：练习 1.（B）思维拓展型作业：已知圆的方程为2225xy，求过圆上一点A(4,-3)的切线方程 . 3激发新疑问题八 1 把圆的标准方程展开后是什么形式？2方程2268200 xyxy表示什么图形？【设计意图】在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了. 在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情. 另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备. ( 六) 板书设计【设计意图】遵循简洁、明显, 突出重点的设计意图, 板书演示如下 : 五、教学反思问题二问题四投影y x O P l 4.1.1 圆的标准方程O P A B C y x 2P2A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 在教学中尝试采用创设问题情景，以问题驱动、层层铺垫，帮助学生实现从被动接受知识变为主动获取知识；同时也试图改进学生的学习方式，以小组合作的方式展开，在合作中相互配合 . 灵活融合引导启发、数形结合、激励评价、多媒体辅助等教学方式，更好地实现教学目标 . 这堂课展示了一个完整的数学探究过程，提出问题、自主探究，让学生经历了知识再发现的过程，促进了个性化学习. 在教学过程中，不失时机的进行数学文化渗透，除了能激发学生的学习兴趣、增强学习信心外，更是体现出了数学探索原貌，让学生看到数学探索的艰难和有趣，更客观的认识圆及现实意义，这对接受和理解圆的方程大有裨益！【教案说明】（一） 突出重点抓住关键突破难点求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点，为此我布设了由浅入深的学习环境，先让学生熟悉圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时突破了难点. 第二个教学难点就是解决实际应用问题，这是学生固有的难题，为此我首先用一道题目简洁、贴近生活的实例进行引入，同时我借助多媒体课件的演示，引导学生真正走入问题的情境之中，并从中抽象出数学模型，从而消除畏难情绪，增强了信心. 最后再形成应用圆的标准方程解决实际问题的一般模式，并尝试应用该模式分析和解决第二个应用问题问题五 .这样的设计，使学生在解决问题的同时，形成了方法，难点自然突破. （二） 学生主体教师主导探究主线本节课的设计用问题做链，环环相扣，使学生的探究活动贯穿始终. 从圆的标准方程的推导到应用都是在问题的指引、我的指导下，由学生探究完成的. 另外，我重点设计了两次思维发散点，分别是问题二和问题四，要求学生分组讨论，合作交流，为学生设立充分的探究空间，学生在交流成果的过程中，既体验了科学研究和真理发现的复杂与艰辛，又在我的适度引导、侧面帮助、不断肯定下顺利完成了探究活动，高效的完成本节的学习任务. （三） 培养思维提升能力激励创新为了培养学生的理性思维，我在问题一中，设计了由特殊到一般的学习思路，培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中，分层次探究，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神. 本节是一个“动眼观察，动脑思考，动手做题，共同提高”的动态生成过程. 对生成性课堂的突出事件,因势利导 , 随机应变 , 适当调整教学环节；同时, 教学反应性评价与反馈性评价相结合 , 促进学生的自我评价, 勇于贯彻“成功教育，一贯教育”的理念，把握评价时机、评价主体和形式的多样化，从而结合课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -