2022年高中数学导数知识点归纳总结 2.pdf

精品文档导数主要内容导数的背影 ?导数的概念 ?多项式函数的导数 ?利用导数研究函数的单调性和极值?函数的最大值和最小值. 考试要求： (1) 了解导数概念的某些实际背景. ( 2) 理解导数的几何意义.( 3) 掌握函数， y=c(c 为常数卜 y=xn(n ? N+)的导数公式，会求多项式函数的导数. (4) 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值?(5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值 . 4.导数知识要点1. 导数( 导函数的简称 ) 的定义：设X0是函数 y f(x)定义域的一点，如果自变量x在X0处 有增量X ,则函数值 y 也引起相应的增量y f (x0 x) f(x0); 比值 丄 竺_x)f(X0)称为函数 y f(x)在点xo到 xo x 之间的平均变化率；如果极限x xlim ylim f(xo- x)_f (xo)存在，则称函数y f (x) 在点x0处可导，并把这个极限叫做x 0 x x 0 xy f (x) 在xo处的导数，记作f (xo)或 y |x x，即f (xo) = lim ylim 卫 - x).x 0 x x 0 x注： x 是增量，我们也称为改变量”，因为x 可正，可负，但不为零.2. 函数 y f (x) 在点xo处连续与点xo处可导的关系：函数 y f(x) 在点x0处连续是 y f (x) 在点x0处可导的必要不充分条件可以证明，如果y f(x)在点xo处可导，那么 y f(x)点xo处连续 .事实上，令 x x0 x，则 x x0相当于x 0. 以知函数 y f(x)定义域为 A , yf(x)的定义域为 B，则 A 与 B 关系为 A B.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品文档于是 lim f (x) lim f(xo x) lim f (x xo) f (xo) f (xo) x xo x 0 x 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品文档例：f (-) |-| 在点-0 0 处连续，但在点 -0 0 处不可导，因为丄 L0，当 - 0 时, - - 1 ；当-v0 时，y1，故 lim -不存在 . - - x -注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数 y f (-)在点X0处的导数的几何意义就是曲线y f (-) 在点(X0,f(x) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y f(x)在点 P (-0, f(-) 处的切线的斜率是f(x。), 切线方程为y y0 f (x)( X0). 注：U,v必须是可导函数 .若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.一、 2 2 例如：设f (-) 2si nx , g(-) cos- ，贝 V f (-), g(-) 在-0 处均不可导，但它们和- - f(x) g(x) sinx cos- 在-0 处均可导 . fx ( (x) f (u) (x)或y X y U U x 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6. 函数单调性：函数单调性的判定方法：设函数 y f(x)在某个区间内可导，如果f (x) 0,则 y f(-)为增函数；如果f(x) v 0, 贝 U y f (-) 为减函数 . 常数的判定方法；如果函数 y f(x)在区间I内恒有f (x) =0，则 y f(-)为常数 . 注： f (-) 0 是 f (x) 递增的充分条件，但不是必要条件，如y 2x3在(,)上并不是f(X0 x) f(xo) lim0 - x f (Xo) X 如果 y f(x)点-o处连续，那么ylim f(-0 x) f(-o)-0 - 0 limo f(-o) 0 f(-o) 0 f(-o) f(-o). f(-)在点Xo处可导，是不成立的(U V)U v y fi (x)f2(X)(uv)1 1 1VU V U (cv)1c v cv1U1 1VUv U ,2 (v0)Vvfn(x) y fl (x) f2 (x) . fn(x) cv ( c为常数 ) 5.复合函数的求导法则: 4.求导数的四则运算法则: 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品文档都有 f (-) 0 , 有一个点例外即-=0 时 f (-) = 0, 同样 f(x) 0 是 f (-) 递减的充分非必名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品文档无理函数或形如y xX这类函数，如y xX取自然对数之后可变形为ln y xln x ，对两边要条件 ?一般地，如果f (X)在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正 ( 或负) ，那么f( X) 在该区间上仍旧是单调增加( 或单调减少 )的7. 极值的判别方法： ( 极值是在xo附近所有的点，都有f(x) v f(xo), 则 f(xo)是函数 f(x) 的极大值，极小值同理 ) 当函数 f (x)在点xo处连续时，如果在X0附近的左侧f(x) 0, 右侧f(x) v 0, 那么 f(X0)是极大值；如果在X。附近的左侧f(x) v0, 右侧f(x) 0, 那么 f(xo)是极小值 .也就是说X0是极值点的充分条件是X0点两侧导数异号，而不是f(x)=0?此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小( 函数在某一点附近的点不同) 注：若点X0是可导函数 f(x)的极值点，贝y f(x) =0.但反过来不一定成立?对于可导函数，其一点X0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零例如：函数y f(X) X3, X 0 使f (x)=0, 但 X 0 不是极值点 .例如：函数y f(x) |x| ，在点 x 0 处不可导，但点x 0 是函数的极小值点8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：III.求导的常见方法： 常用结论： (ln |x|) 1. X 形如 y (x a1 )(x a2).(x an)或 y (X a1)(x_a2).(x啦 两边同取自然对数，可转化(X b1)(X b2).(x bn) 求代数和形式I.C 0 ( C 为常数 ) (sin x) cosx (arcsin x) n n 1 / 、(x ) nx ( n R)(cos x) sin x (arccos x) 1 x21 II. (ln x)- X 1 (log a x) - loga e X 1 (arctan x) x21 X X (e ) e (ax) ax In a (arc cot x) 1 x21 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 精品文档求导可得y inx x1y x y yln x y y xxln x xx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -