等差数列的性质ppt课件.pptx

等差数列等差数列 定义公差通项AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数. . . . . . . . . . .【说明说明】 数列数列 a an n 为等差数列为等差数列d d= =a an n+1+1- -a an n公差是公差是 唯一唯一 的，是一个常数。的，是一个常数。知识回顾知识回顾an=a1+(n-1)d an- -an- -1=d （d是常数是常数，n2，nN*） 或或 an+1- -an=d （d是常数是常数，nN*）dmnaamn)( 或mnaadmn 推广的等差数列通项公式例1 等差数列an中，如果a511，a85，求数列的通项公式q qp pn n则则a ad d) ), ,( (a aq qd d, ,设设p pd d) )，( (a ad dn n1 1) )d d- -( (n na aa an n1 11 11 1n n是是均均匀匀排排开开的的一一群群孤孤点点q q的的图图像像上上, ,p px x) )在在一一次次函函数数y ya a即即（n n, ,是是关关于于n n的的一一次次函函数数，0 0时时，a a0 0，即即d dp pn nn n的的一一群群孤孤立立的的点点线线上上的的均均匀匀分分布布于于x x轴轴（或或x x轴轴）的的直直q q的的图图像像上上，是是平平行行即即在在常常值值函函数数y y列列，0 0时时，等等差差数数列列为为常常数数即即d d0 0, ,p p性质一、性质一、1、若一个数列的通项公式为、若一个数列的通项公式为n的一次函数的一次函数an=pn+q,则这个数列为则这个数列为等差数列等差数列,p=公差公差d . 2、非常数列非常数列的等差数列通项公式是关于的等差数列通项公式是关于n的一次函数的一次函数. 常数列常数列的等差数列通项公式为常值函数。的等差数列通项公式为常值函数。an=3n+5a1=8，d=313414811217an=12-2na1=10，d=-2134846210y=3x+5y=12-2x诱思探究诱思探究 成立吗？为什么？则若是等差数列已知）（呢？成立吗？）（qpnmnaaaaNqpnmqpnmaaaaaaaaa),(, 21*73644251已知等差数列已知等差数列2，4，6，8，10, 12，14，16， qpnmnaaaaNqpnmqpnma),(*是等差数列，则等差数列等差数列性质二性质二等差数列等差数列性质二的性质二的推论推论 knmnaaaNknmknma2),(2*是等差数列，则“若下标和相等，则对应项的和相等”等差数列中：1152143138a +a =a +a =a +a =2a如如(奇数项有中项)11621531489a +a =a +a =a +a =a +a如如(偶数项没有中项)13162513a +a +a =a +a +a如如数列数列an是等差数列，是等差数列，m、n、p、qN+，且且m+n=p+q，则，则am+an=ap+aq。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a35434aaa(5)a判断：判断：可推广到三项，可推广到三项，四项等四项等注意：等式两注意：等式两边作和的项数边作和的项数必须一样多必须一样多123121knknnnaaaaaaaan13a a2,20a已知数列是等差数列，且它的前五项和为，求2121nnSna例1.例例2 .在等差数列在等差数列an中中(1) 已知已知 a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20分析：由分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及及 a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10例题分析例题分析(2)已知已知 a3+a11=10，求，求 a6+a7+a8(3) 已知已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求求a14及公差及公差d.分析：分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知又已知 a3+a11=10， a6+a7+a8= （a3+a11）=1532分析：分析： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 又又 a4a7=187 ， 解解 、 得得a4= 17a7= 11 a4= 11a7= 17 或或d= _2或或2, 从而从而a14= _3或或313：在等差数列an中，若a350，a530，则a7_.10练习1：如果数列an是等差数列，则()BAa1a8a4a5Ba1a8a4a5Da1a8a4a5 2：在等差数列an中，a1a910，则)Aa5 的值为(A5C8B6D104、等差数列an中，a1+a2+a101=0,则有 A、a1+a1010 B、a2+a1000 C、a3+a99=0 D、a51=51C5、已知等差数列an中，a5+a6+a7=15,a5a6a7=45,求数列an的通项公式解：a5+a6+a7=15,a6=5,a5+a7=10,a5a7=9,a5=1或9d=4或-4an=1+4(n-5)=4n-19或an=9-4(n-5)=29-4n跟踪训练7.在等差数列an中，(1)已知 a2a3a23a2448，求a13；(2)已知 a2a3a4a534，a2a552，求公差d.9如果在等差数列an中，a3a4a512，那么 a1a2a7()CA14B21C28D3510已知数列an是等差数列，若a1a5a9a13a17117，求 a3a15 的值解：a1a17a5a13，a1a5a9a13a17(a1a17)(a5a13)a9a9117.a3a152a92117234.已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为da1，a2，a3，an（1）将前）将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？am+1，am+2，an是等差数列是等差数列首项为首项为am+1，公差为，公差为d，项数为，项数为n-m已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等）取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？a1，a3，a5，是等差数列是等差数列首项为首项为a1，公差为，公差为2d取出的是所有偶数项呢？取出的是所有偶数项呢？a2，a4，a6，是等差数列是等差数列首项为首项为a2，公差为，公差为2d已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，ana7，a14，a21，是等差数列是等差数列首项为首项为a7，公差为，公差为7d取出的是所有取出的是所有k倍数的项呢？倍数的项呢？ak，a2k，a3k，是等差数列是等差数列首项为首项为ak，公差为，公差为kd（3）取出数列中所有项是）取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差是多少？ 已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为a1，公差为，公差为d，a1，a2，a3，an（4）数列）数列a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差是等差数列吗？公差是多少？数列吗？公差是多少？a1+a2，a3+a4，a5+a6，是等差数列，公差为是等差数列，公差为4d 数列数列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是是等差数列吗？公差是多少？等差数列吗？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5是等差数列，是等差数列，公差为公差为3d。等差数列等差数列的的性质三性质三1) 等差数列an的子数列也成等差数列。K1,k2,k3,kn成等差数列123nkkkka ,a ,a ,a成等差数列 等差数列的下标成等差数列，则下标所对的项也成等差数列。如147258369aaa;aaa;aaa;、成等差数列。即等差数列的间隔相等的连续等长片断和序即等差数列的间隔相等的连续等长片断和序列任是等差数列列任是等差数列1在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833，则a3a6a9的值为()A30 B27C24 D21答案：B1、若数列、若数列an为等差数列，公差为为等差数列，公差为d，则，则kan也为等差数列，公差为也为等差数列，公差为 _ 。4、若数列、若数列an与与bn分别是分别是公差为公差为d1、d2等等差差数列，则数列，则an+bn也为等差数列，也为等差数列，an-bn也为等也为等差数列差数列，pan+qbn也为等差数列。也为等差数列。kd2、can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列；的等差数列；3、can(c为任一常数为任一常数)是公差为是公差为_的等差数列的等差数列dcd性质四、性质四、几个等差数列的线性组合仍为等差数列nn119898202020201.a b a34,b66,a85,b15,ab例 等差数列和中，求2nnnn 12k 1n2.( )1(1)c;(2);(3);(4);(5)naaaaaaa已知数列是等差数列，则下列是等差数列的是在一个数列中在一个数列中, ,从第从第2 2项起项起, ,每一项每一项( (有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外) )都是它前一项与后一项的等差中项都是它前一项与后一项的等差中项. .如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列, ,那么那么A A叫叫a a与与b b的等差中项的等差中项. .如如: :数列数列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中, ,1532 3752 5972 593111137222 3719522 241532aaaaa 35261742aaaaaaa 即：即：等差数列的性质等差数列的性质(五五)例题例题.已知已知三个数成等差数列的和是三个数成等差数列的和是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数. :, ,.12484422ad a adadaadadaadaadd 解 设这三个数为解 设这三个数为或或设数技巧设数技巧已知三个数成等差已知三个数成等差 数列，且和为已知时数列，且和为已知时常常利用对称性利用对称性设三数设三数为：为：a-d , a ,a+da-d , a ,a+d四个数怎么设？四个数怎么设？(1)若有三个数成等差数列，则一般设为若有三个数成等差数列，则一般设为ad，a，ad；(2)若有四个数成等差数列，则一般设为若有四个数成等差数列，则一般设为a3d，ad，ad，a3d；(3)若有五个数成等差数列，则一般设为若有五个数成等差数列，则一般设为a2d，ad，a，ad，a2d.等差数列的设法及求解等差数列的设法及求解练习练习1、等差数列、等差数列an的前三项和为的前三项和为12，前三项积为前三项积为48，求，求an。三个数等差的设法：三个数等差的设法：a-d，a，a+d练习练习2、成等差数列的四个数之和为、成等差数列的四个数之和为26，第二，第二个与第三个数之积为个与第三个数之积为40，求这四个数。，求这四个数。四个数等差的设法：四个数等差的设法： a-3d，a-d，a+d，a+3d 公差为公差为2d。 练习2、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这4个数。解：设此四数为a-3d, a-d, a+d, a+3d4a=26a-da+d =40解之得13a=23d=2此四数为2,5,8,11或11,8,5,2跟踪训练