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第十章第十章 动量定理动量定理10-1 10-1 动量和冲量动量和冲量10-2 10-2 动量定理动量定理10-3 10-3 质心运动定理质心运动定理动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述动力学普遍定理包括：动量定理、动量矩定理和动能定理。动力学普遍定理包括：动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理：描述质点或质点系的动量与外力之间的关系。动量定理：描述质点或质点系的动量与外力之间的关系。动量矩定理：描述质点或质点系的动量矩与外力矩之间的关系。动量矩定理：描述质点或质点系的动量矩与外力矩之间的关系。动能定理：描述质点或质点系的动能与力的功之间的关系。动能定理：描述质点或质点系的动能与力的功之间的关系。注意：注意：1 1、这三个定理建立的都是物体的运动量与力的作用量之间、这三个定理建立的都是物体的运动量与力的作用量之间的关系。的关系。2 2、这三个定理都可以由动力学基本方程导出，因而都仅适、这三个定理都可以由动力学基本方程导出，因而都仅适用于惯性参考系。用于惯性参考系。注意：注意：(1)动量是矢量，方向与质点运动的速度方向相同。动量是矢量，方向与质点运动的速度方向相同。(2)动量是瞬时量。动量是瞬时量。(3)动量的单位是动量的单位是:1、动量、动量 s/mkg mv质点的动量质点的动量： 或或Ns动量是表征物体机械运动强弱的一个物理量。动量是表征物体机械运动强弱的一个物理量。101 动量和冲量动量和冲量故有：故有： iiCmmpvviim pv质点系的动量质点系的动量：质点系中各质点动量矢的矢量和。：质点系中各质点动量矢的矢量和。 ddddCiimmtt rr质心位置质心位置：i iCmmrrCi imm rr改写为：改写为：即即Ciimm vv均质物体的质心与重心重合均质物体的质心与重心重合质点系的动量在直角坐标轴上的投影：质点系的动量在直角坐标轴上的投影：xiixCxyiiyCyziizCzpmvmvpmvmvpmvmv即：质点系的动量在某一轴上的投影等于质点系的质量与其即：质点系的动量在某一轴上的投影等于质点系的质量与其质心速度在该轴上投影的乘积。质心速度在该轴上投影的乘积。例例 下图中三个均质物体的质量都是下图中三个均质物体的质量都是m，求它们的动量。，求它们的动量。w ww wOOO vOAlr（a）（b）（c）2lpmw0p Opmvpmlwpmrw例：均质圆盘在例：均质圆盘在OA杆上纯滚动，杆上纯滚动，m20kg， R100mm， OA杆的角速度为杆的角速度为 ，圆盘相对于，圆盘相对于OA杆转杆转 动的角速度为动的角速度为 ， 。rad/s11wrad/s42wmm3100OB求：此时圆盘的动量。求：此时圆盘的动量。OAB1w2w 解：圆盘作平面运动，以圆盘与杆接触点解：圆盘作平面运动，以圆盘与杆接触点B为基点。为基点。OAB1w2wBvCBvCBvCvmm/s31001OBvBwmm/s300)(12RvCBwwmm/s320022CBBCvvv6.93N sCpmvm20kg， R100mm，rad/s11wrad/s42wmm3100OB例例 已知已知: w 为常量为常量,均质杆均质杆OA = AB = l ，两杆质量皆为，两杆质量皆为m1,滑块滑块 B 质量质量m2 。 求求:质心运动方程、轨迹方程及系统动量。质心运动方程、轨迹方程及系统动量。OABj jw wxy解解: :设设 ，质心运动方程为，质心运动方程为twj消去消去t 得轨迹方程得轨迹方程22121211212() /(2)/(2)CCxymm lmmm lmmtlmmmmtmmlmlmlmxCwwcos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmyCwwsin2sin222211211OABj jw wxytlmmxmmvpCCxxwwsin)(221tlmymmvpCCyywwcos1tmtmmlpppyxwww221222122cossin)(4系统动量在系统动量在x, y轴的投影为轴的投影为:系统动量的大小为系统动量的大小为:12122()cos2Cmmxltmmw112sin2Cmyltmmw2、冲量、冲量 冲量可以度量力对物体的作用效应在时间中的累积。冲量可以度量力对物体的作用效应在时间中的累积。 力对物体的作用效应不仅与力有关，还与力作用的时间力对物体的作用效应不仅与力有关，还与力作用的时间长短有关。长短有关。tIF常力的冲量常力的冲量ddtIF 变力的元冲量变力的元冲量 21dtttIF12tt在在 内的冲量内的冲量 注意注意冲量是矢量冲量是矢量冲量单位冲量单位N s 或或kg m/s冲量在直角坐标轴上的投影冲量在直角坐标轴上的投影212121dddtxxttyyttzztIF tIF tIF t作用在物体上力系合力的冲量作用在物体上力系合力的冲量221112d(+)dttnittttIFF FFI在任一时段内，合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。在任一时段内，合力的冲量等于所有分力的冲量的矢量和。1、质点的动量定理、质点的动量定理d()dmtvF称为称为微分形式的质点动量定理微分形式的质点动量定理，即质点动量对时间的导数即质点动量对时间的导数等于作用于质点上的所有力的合力矢。等于作用于质点上的所有力的合力矢。ddmmtvaF质点动力学基本方程：质点动力学基本方程：将将m放入微分号内，得放入微分号内，得注意：质点动力学基本方程与微分形式动量定理的区别及各注意：质点动力学基本方程与微分形式动量定理的区别及各自的适用范围。自的适用范围。102 动量定理动量定理2、质点系的动量定理、质点系的动量定理eiF外力外力:内力性质内力性质:i0iF（1）i()0OiMF（2）对对Mi质点质点:eid()diiiimtvFFFeid()diiiimtvFF内力内力: iiF 设质点系由设质点系由n个质点组成，作用于任一质点个质点组成，作用于任一质点Mi上的力可以分上的力可以分为系统的外力和内力。为系统的外力和内力。i1、2、nn个方程相加：个方程相加：eddit pF即即称为称为微分形式的质点系动量定理微分形式的质点系动量定理, ,即质点系动量对时间即质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力矢的矢量和。的导数等于作用于质点系的外力矢的矢量和。eid()diiiimtvFFed()diiimtvFeddxxpFt eddyypFt eddzzpFt 动量定理微分形式的投影式动量定理微分形式的投影式将将改写为改写为eddit pF两边积分两边积分2211eddtittpppF得得21ee21dtiitt ppFIeddit pF称为称为积分形式的质点系动量定理积分形式的质点系动量定理,即任一时段内质点系动即任一时段内质点系动量的增量，等于作用于质点系的所有外力在同一时段内的量的增量，等于作用于质点系的所有外力在同一时段内的冲量矢的矢量和。冲量矢的矢量和。动量定理积分形式的投影式动量定理积分形式的投影式21ee21dtxxixixtppFtI 21ee21dtyyiyiytppFtI 21ee21dtzziziztppFtI 3、质点系动量守恒定律、质点系动量守恒定律e0F若若若若e0 xF则则 p 为恒矢量为恒矢量则则 px 为恒量为恒量例例 质量为质量为m1的机车，以速度的机车，以速度v1撞接质量为撞接质量为m2的静止车厢。的静止车厢。不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。不计轨道摩擦。试求撞接后这一列车的速度。解解: 取机车和车厢为质点系。取机车和车厢为质点系。由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有由于撞接过程中，水平方向没有外力作用，故有Px常量常量撞接前撞接前撞接后撞接后11 10 xpm v212()xpmm v故有故有1 112()m vmm v1 112()m vvmm 撞接过程中机车损失的动量等于车厢增加的动量撞接过程中机车损失的动量等于车厢增加的动量,发生了机发生了机械运动的传递。械运动的传递。1 112m vm vm v讨论：讨论：1.1 112()m vmm v2. 机车和车厢各自动量的变化是由什么力引起的机车和车厢各自动量的变化是由什么力引起的?Fy例例 质量为质量为 m0.2kg 的垒球，初速度的垒球，初速度 v140.3m/s，受到垒球，受到垒球棒的打击后，其速度棒的打击后，其速度 v266.7m/s，方向如图。，方向如图。若打击时间为若打击时间为t0.05s，求垒球受到的平均打击力。，求垒球受到的平均打击力。FxWv1v230解：取垒球研究。解：取垒球研究。xy应用动量定理积分形式的投影式应用动量定理积分形式的投影式e21xxixppI 21(cos30 )xmvmvFt e21yyiyppI 2sin300()ymvFmgt得得21(cos30)392.26Nxm vvFt2sin30133.4N+1.96N=135.36NymvFmgt22414.96NxyFFF垒球受到的平均打击力为垒球受到的平均打击力为讨论讨论 棒击垒球是碰撞问题，碰撞问题的特点是碰撞经历时间棒击垒球是碰撞问题，碰撞问题的特点是碰撞经历时间极短。故在碰撞问题中可以作两点假设：极短。故在碰撞问题中可以作两点假设： 1、普通力忽略不计。在碰撞极短的时间内，物体的速、普通力忽略不计。在碰撞极短的时间内，物体的速度发生有限的改变，因此加速度很大，因而碰撞力很大，普度发生有限的改变，因此加速度很大，因而碰撞力很大，普通力如重力、弹性力、摩擦力等可以不计。通力如重力、弹性力、摩擦力等可以不计。 本例若不计重力，则垒球受到的平均打击力为本例若不计重力，则垒球受到的平均打击力为414.32N，它的大小是球重力的它的大小是球重力的211倍倍。 2、物体位置不发生改变。碰撞过程中，虽然速度是有、物体位置不发生改变。碰撞过程中，虽然速度是有限量，但是碰撞历时极短，因此可以认为碰撞过程中物体的限量，但是碰撞历时极短，因此可以认为碰撞过程中物体的位置不发生改变。位置不发生改变。例例 电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质量为m1，转，转子质量为子质量为 m2。定子和机壳质心。定子和机壳质心O1，转子质心，转子质心 O2 ，O1 O2e，角，角速度速度w w 为常量。求基础的水平及铅直约束力。为常量。求基础的水平及铅直约束力。temgmmFywwcos)(2221temFxwwsin22得得解解: : 应用动量定理求解应用动量定理求解12ddyypFm gm gtddxxpFt由由2pm ew2cosxpm etww2sinypm etww另解另解 应用质心运动定理求解应用质心运动定理求解eCiiCimm aaF在在 x 轴上投影轴上投影temgmmFywwcos)(2221temFxwwsin22得得22sinxm etFww2212cos()ym etFmm gww在在 y 轴上投影轴上投影xtemwwsin22方向方向:动约束力动约束力 - 静约束力静约束力 = 附加动约束力附加动约束力本题的附加动约束力为本题的附加动约束力为ytemwwcos22方向方向:称为称为静约束力静约束力0 xFgmmFy)(21电机转动时的约束力称电机转动时的约束力称动约束力动约束力，上面给出的是动约束力。，上面给出的是动约束力。temgmmFywwcos)(2221temFxwwsin22电机不转时电机不转时静约束力则是由主动力引起的，它与主动力相平衡。静约束力则是由主动力引起的，它与主动力相平衡。附加动约束力是由于动量发生变化引起的。附加动约束力是由于动量发生变化引起的。例例 流体在变截面弯管中流动流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩设流体不可压缩,且是定常流动且是定常流动,水的质量密度为水的质量密度为r r，体积流量为，体积流量为qv ，水流在，水流在aa、bb两断面两断面的平均流速分别为的平均流速分别为va 和和vb，求管壁的附加动约束力。，求管壁的附加动约束力。1 1da babppp1111()()a bbbaaa bpppp11d ()bbaabamppvvd ()Vbaqtrvv解解: 取弯管中的流体研究，应用动量定理求解取弯管中的流体研究，应用动量定理求解dt 内流过截面的质量为内流过截面的质量为dm= qvr r dt，受到的外力如图受到的外力如图aabba1a1b1b1流体在流体在dt时段内由时段内由ab位置运动到位置运动到a1b1位置，其动量位置，其动量的增量为的增量为vbvaGFNFbFaNF为附加动约束力为附加动约束力得附加动反力为得附加动反力为d()deVbaqtrpvvFNNNFFF设设由动量定理由动量定理,有有N()VbaabqrvvGFFF为静约束力为静约束力NFN0ab GFFFN()Vbaqr FvvNN()VbaabqrvvGFFFFaabba1a1b1b1vbvaGFNFbFadd ()Vbaqtrpvv例例 水流在等截面直角弯管中作定常流动，流速为水流在等截面直角弯管中作定常流动，流速为v，弯管，弯管横截面面积为横截面面积为A，求管壁对流体的附加动反力。，求管壁对流体的附加动反力。v1v2xy解：取弯管中水流研究，受到的附加动反力如图。解：取弯管中水流研究，受到的附加动反力如图。Nv21v1()(0)xxxFq vvqvrr 2Nv 1vxFq vq vAvrrr Nv21v2()(0)yyyFq vvqvrr 2Nv2vyFq vq vAvrrr 受力图中假设的动反力受力图中假设的动反力方向正确。方向正确。NxFNyFN()Vbaqr Fvvv1 122qAvA vAvv1v2xy注意：注意：当当A、v很大时，水流给很大时，水流给弯管的附加动压力很大，故在弯管的附加动压力很大，故在管子的弯头处要安装支座。管子的弯头处要安装支座。FmmCFmC2mmC2mF质点系在力的作用下，其运动状态不仅与各质点的质量大小质点系在力的作用下，其运动状态不仅与各质点的质量大小有关，而且还与质量分布情况有关。有关，而且还与质量分布情况有关。103 质心运动定理质心运动定理1、质点系的质心、质点系的质心mxmxiiCmymyiiCmzmziiC,i iCmmrrimm 在地面附近，质点系的质心与重心相重合。在地面附近，质点系的质心与重心相重合。质心比重心具有更广泛的意义。质心比重心具有更广泛的意义。质点系质量分布中心称为质点系质量分布中心称为质心质心OxyzCMixCyCzCxiyizirirC2222ddddCiimmttrr2、 质心运动定理质心运动定理i iCmmrrCi imm rrddddCiimmtt rr两边对时间求导两边对时间求导22ddiiimtrF2ei2ddiiiimtrFF改写为改写为eiFiiF质点质点 Mi 受到的系统外力的合力受到的系统外力的合力质点质点 Mi 受到的系统内力的合力受到的系统内力的合力eddCimt vF得得eCim aF或或称为称为质心运动定理质心运动定理,即即:质点系的质量与质心加速度的乘积质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和等于作用于质点系外力的矢量和.22ei22ddddCiiiimmttrrFF由于由于i0iFeCiiCimm aaF对刚体系统对刚体系统质心运动守恒定律质心运动守恒定律e0F若若 则则 常矢量常矢量 Cve0 xF若若则则 常量常量 CxveCxxmaFeCyymaF eCzzmaF2eCnvmFr eCtvmFt dde0bF 在直角坐标轴上的投影式为在直角坐标轴上的投影式为: :在自然轴上的投影式为在自然轴上的投影式为: : 内力不影响质心的运动内力不影响质心的运动, ,只有外力才能改变质心的运动只有外力才能改变质心的运动. .例例 如图所示如图所示,均质曲柄均质曲柄AB长为长为r,质量为质量为m1,假设受力偶作用以假设受力偶作用以不变的角速度不变的角速度w 转动转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D运动运动.滑槽、连杆、活塞总质量为滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点质心在点E .在活塞上在活塞上作用一恒力作用一恒力F。不计摩擦及滑块。不计摩擦及滑块B的质量的质量,求求:作用在曲柄轴作用在曲柄轴 A 处的最大水平约束力处的最大水平约束力 Fx .EtmmmmrtxaCCxwwcos2dd2121222tmmrFFxwwcos221221max22xmFFrmw显然显然, ,最大水平约束力为最大水平约束力为FFammxCx2112121coscos2Crxmmrbmmjj解解: :取系统研究取系统研究E另解另解2212coscos2xrmtm rtFFwwwweiiCim aF将式将式在在 x 轴上投影，有轴上投影，有AB杆质心加速度在杆质心加速度在x 轴上投影为轴上投影为2cos2rtwwBD杆质心加速度在杆质心加速度在x 轴上投影为轴上投影为2cosrtwwtmmrFFxwwcos2212得得21max22xmFFrmweiiCim aF应用式应用式求解求解E求求:电机外壳的运动。电机外壳的运动。例例 电机放在光滑水平地面上电机放在光滑水平地面上, 已知已知 m1， m2 ， e，初始静止，初始静止，j jw w t，w w =常量。常量。j jO1yxm1gm2gFNe解解:由于电机水平方向没有外力作由于电机水平方向没有外力作用，并且初始静止，故水平方向用，并且初始静止，故水平方向满足质心运动守恒。满足质心运动守恒。21CCxx即即21212()(sin )Cm asm asexmmj axC1设设t0时质心时质心 x 坐标为坐标为由于由于21CCxxjsin212emmms得得w wO1axyj jO1ayxsm1gm2gFNet 瞬时质心瞬时质心 x 坐标为坐标为另解另解()iiiiiCm xm xxxmm0iimx 因此，有因此，有j jO1ayxsm1gm2gFNe12()(sin )0msmsej jsin212emmms得得jsin212emmms作业作业：102、5、11、 13、 15