极限的运算法则及计算方法ppt课件.ppt
第二节第二节 极限的运算法则极限的运算法则一一极限的四则运算法则极限的四则运算法则定理定理lim(),lim(),(1)lim ()();(2)lim ()();()(3)lim,0.()fxAg xBfxg xABfxg xA BfxABg xB 设设则则其其 中中推论推论1 1lim(),lim()lim().f xccf xcf x 如如果果存存在在 而而 为为常常数数 则则常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.lim( ),lim( )lim( ) .nnf xnf xf x 如如果果存存在在 而而 是是正正整整数数 则则推论推论2 2lim( ),lim ( )f xg x该法则成立的前提是：该法则成立的前提是： 都存在都存在23031023031 lim(23)2 lim(7sin4cos )3 lim4 lim(1)(5)lim(1)ln(10)xxxxxxxxxxxxex （）； （ ）；（ ）； （ ）； 例例1:1:求下列极限求下列极限解解:23lim(23)xxx2333limlim2lim3xxxxx2333(lim )2limlim3xxxxx232 3318 02 lim(7sin4cos )xxx （ ）007limsin4limcosxxxx 7 04 14 03lim1xxe （ ）01limln(10)ln10 xxex 0limln(10)ln100 xx334lim(1)112xx （ ）3333lim(1)28xx2(5)lim(1)1xx10102lim(1)11xx2(lim0)xx 定理：初等函数在其定理：初等函数在其定义区间内任一点的定义区间内任一点的极限值等于函数值。极限值等于函数值。二、计算有理分式极限的运算法则二、计算有理分式极限的运算法则 （1 1）计算有理分式在）计算有理分式在 极限的运算极限的运算 0 xx2222222122(1)lim;(2)lim;(3)lim322xxxxxxxxxxxx例例2 2：求下列极限求下列极限22(1)lim(21)11xxx解解: :2lim(3)10 xx 222111lim1131xxxx 222(2)lim2xxxx 因为分母的极限为因为分母的极限为0 0，而分子极限为，而分子极限为8 8( )( )( ),( )P xP xQ xQ x设设、都都是是多多项项式式 则则称称为为有有理理分分式式222(3)lim2xxxx 222lim(2)0,lim(2)0 xxxxx所以极限的四则运算法则不能用所以极限的四则运算法则不能用22(2)(1)xxxx但但是是2222(2)(1)limlim22xxxxxxxx2lim(1)xx3 从而可以总结出下列从而可以总结出下列规律：规律：0( )( ),P xQ xx设设、都都是是多多项项式式为为有有限限数数，则则 当当 时，时， （代入即可）（代入即可） 0()0Q x 000()( )lim( )()xxP xP xQ xQ x= =00()0,()0P xQ x0( )lim( )xxP xQ x = = 当当 时，时，00()0,()0P xQ x0( )lim( )xxP xQ x= = 当当 时，时， 约去零因子约去零因子0()xx 后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式）22221232252(1)lim;(2)lim54372xxxxxxxxxx例例3 3：利用上面的规律求下列极限利用上面的规律求下列极限解解: :22132lim54xxxxx 22(1)(1)13 126,(1)15 140PQ 22(2)(2)2 25 220,(2)3 27220PQ 分子分母分解因式分子分母分解因式22252(21)(2),372(31)(2)xxxxxxxx2222252(21)(2)limlim372(31)(2)xxxxxxxxxx2(21)lim(31)xxx 35 （2 2）计算有理分式在）计算有理分式在 极限的运算极限的运算 x 222222142(1)lim;(2)lim;(3)lim5424xxxxxxxxxxx例例4 4：求下列极限求下列极限解解: : 由于当由于当 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在x 所以极限的四则运算法则不能用所以极限的四则运算法则不能用在分子分母中同时除以在分子分母中同时除以 的最高次幂，可化为极限存在的情况的最高次幂，可化为极限存在的情况x2222212221(1)limlim54541xxxxxxxxxx 2002100222414(2)limlim122xxxxxxx 222122(3)limlim441xxxxxxx 0 从而可以总结出下列从而可以总结出下列规律：规律：0,0,nmabmn 当当和和 为为非非负负整整数数时时有有110110,lim0,nmnnnnmmxmmanmba xaxanmb xbxbnm 当当当当当当( )( )P xQ x设设、分分别别是是n n次次和和m m次次多多项项式式，则则4345236221(1) (12 )(1)lim;(2)lim54(13 ) (12 )xxxxxxxxxx例例 5： 利用以上规律求下列极限利用以上规律求下列极限223(3)lim32xxxx 432221(1)lim54xxxxx 解解: :4536(1) (12 )(2)lim(13 ) (12 )xxxxx59369( 2)lim( 3)( 2)xxx 5361 ( 2)( 3)( 2) 311( 3)( 2)54 223(3)lim32xxxx 22(23)lim32xxxx 22(23)lim32xxxx 2221三、无穷小量的运算法则三、无穷小量的运算法则 (1)非零无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。非零无穷小量的倒数是无穷大量，反之亦然。(2)无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量。无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量。(3)有限个无穷小量之和还是无穷小量。有限个无穷小量之和还是无穷小量。例例 6： 求下列极限求下列极限0214(1)lim;(2)limsincosxxxx 解解: :(1)0sin0 xx时时，为为无无穷穷小小量量01limsinxx (2)cos02xx 时时，为为无无穷穷小小量量24limcosxx 001(1)lim(sin);(2)lim(1)cos;xxxxxex 例例7: 求下列极限求下列极限111(3)lim lnsin;(4)limsin1xxxxxx 解解: :(1)0sin0 xx时时，为为无无穷穷小小量量0lim(sin)0 xxx (2)010 xxe 时时，为为无无穷穷小小量量01lim(1)cos0 xxex 11,cosxx 所所以以有有界界; ;(3)1ln0 xx时时，为为无无穷穷小小量量11lim lnsin01xxx 11,sin11xx 所所以以有有界界1(4)0 xx 时时，为为无无穷穷小小量量, ,1limsin0 xxx sin x有有界界
