2022年高一数学函数函数与方程知识点总结 .pdf
传定义近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射函数三要素定义域值域对应法则函数的表示方法解析法列表法图象法函数的基本性质单调性传统定义：在区间a，b上，若 ax1x2b，如果 f1xf2x，则fx在a，b上递增， a，b是递增区间； 如果 f1xf2x，则 fx在a， b上递减， a，b是递减区间。导数定义：在区间a，b上，若fx0，则 fx在a，b上递增， a，b是递增区间；若fx0，则 fx在a，b上递减， a，b是递减区间。最值最大值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有 fxM；存在 x0I，使得 f0 x=M，则称 M 是函数 y=fx的最大值。最小值：设函数y=fx的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的 xI，都有 fxM ；存在 x0I，使得 f0 x=M，则称M 是函数 y=fx的最大值。奇偶性fx-= -fx， x定义域 D，则 fx叫做奇函数， 其图像关于原点对称。fx-= fx，x定义域 D，则 fx叫做偶函数， 其图像关于y 轴对称。周期性：在函数 fx的定义域上恒有fTx= fx（T0 的常数）则fx叫做周期函数， T 为周期； T 的最小正值叫做fx的最小正周期，简称周期。函数图像的画法描点连线法：列表、描点、连线变换法平移变换向左平移 a 个单位： y1=y，x1-a=xy=fax向右平移 a 个单位： y1=y，x1+a=xy=fa-x向上平移 b 个单位： x1=x，y1-a=yy-b=fx向下平移 b 个单位： x1=x，y1-b=yy+b=fx伸缩变换横坐标变换： 把各点的横坐标x1缩短（当 w1 时）或伸长（当 0w 1 时） 到原来的 1/w 倍 （纵坐标不变） ， 即 x1=wxy=fwx横坐标变换： 把各点的纵坐标y1伸长（当 A1 时）或缩短（当 0A 1 时）到原来的 A 倍（横坐标不变），即 y1=y/Ay=fx对称变换关于点（ x0，y0）对称：x+x1=2x0y+y1=2y0关于直线 x=x0对称x1=2x0-x y1=2y0-y x-x2fy-y200关于直线 x=x0对称x+x1=2x0y=y1x1=2x0-x y1=y y=fx-x20 x=x1y+y1=2y0 x1=x y1=2y0-y 2y0-y=fx关于直线 y=x 对称x=x1y=y1y=f1-x例题精讲函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页例 1. (1) 设 A=a,b,c,B=-1,0,1,映射 f ：A B若映射 f 满足 f(a)f(b)f(c),则映射f 的个数为。（ 4）解：列表法： f(a)f(b)f(c)f(a) 只能取 0 或 1,f(c)只能取 -1 或 0. 根据映射的定义, 以 f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a) f(b) f(c) 1 0 0 1 0 -1 1 -1 -1 0 -1 -1 由此可知符合条件的映射是4 个. 例 2. (1) 已知 f(x)=x2+2x-1(x2),求 f(2x+1) 的解析式 ; (2) 已知 , 求 f(x 1) 的解析式 . 解: (1) f(x)=x2+2x-1 (x2) 以 2x+1 替代上式中的x 得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+12) f(2x+1)=4x2+8x+2 (x1/2 ) (2)由已知得以 x 替代上式中的得f(x)=x2- 1 (x 1)f(x+1)=(x1)2- 1 (x+1 1)即 f(x+1)=x2+2x (x 0)例 3.(1)已知函数 f(x) 是定义在 R上的偶函数，且满足 f()=-f(x)， 又 f(2)=1 ， f(1)=a ， 则 a=_。(2) 已知函数 f(x) 的最小正周期为2T，且 f(T+x)=f(T-x)对一切实数x 都成立，则对f(x) 的奇偶性的判定是 ? 解: (1) 由 f()=-f(x)知 f(x) 是周期函数，且3 是 f(x)的一个周期，又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR) ， 在 此 基 础 上 ， 寻 觅 已 知 条 件 中 的f(2)与f(1)的 联 系 : f(2)=f(-2)=f(-2)+3=f(1) 而 f(1)=a ，f(2)=1 ，a=1 (2) 由 f(x) 的最小正周期为2T得 f(x+2T)=f(x) 又这里 f(x+T)=f(T-x) 为了靠拢，在中以(x+T) 替代 x 的位置得f(x+2T)=fT-(x+T)=f(-x) 由，得 f(-x)=f(x) f(x) 为偶函数 .易错题例 4.已知函数f(x)=x1x2-1，y=g(x) 的图象与y=的图象关于直线y=x 对称，求g21的值 . 典 型 错 解 :由 题 设 知g(x) 与互 为 反 函 数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页=g(x)=f(x+1) 由此得 g()=f()=-错因分析 :上面正确，由导出出现错误. 在这里的反函数是g(x) ，但的反函数却不是f(x+1).认知 : 由求反函数的“三部曲”易知y=f(x+1)的反函数不是y=，而是 y= -1 ； y=的反函数不是y=f(x+1) ，而是 y=f(x)-1. 正确解法 :( 着力于寻求的解析式 ): 由已知得 =x2x-1(x -2) =-3xx(x -3) 又由题设知g(x) 的反函数为， =-3xx令 g(21)=b ，则 =21由得 -3bb =21，解得b=-1 ，g(21)=-1. 当堂检测1.设函数3,(10)( )(5),(10)xxf xf xx，则(5)f2.已知)x(f的定义域为 2，2 ，求) 1x(f2的定义域 _ 3. 已知 f(x)+2f(x1)=3x,求 f(x)的解析式 _. 4. 设 f(x)是在 ( ,+)上以 4 为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x)=2(x3)2+4，求当 x 1,2时 f(x)的解析式 _.5. 已知函数,1 ,0(,12)(2xxaxxf（1）若 1 ,0()(xxf在是增函数，求a的取值范围 ; （2）求 1 ,0()(在区间xf上的最大值 . 直击高考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页1. 函数 y=( x 0)的反函数是(B ) A. y=(x -1) B. y= (x -1) C. y=(x0) D. y=(x0)2.(2004 北京卷 ) 函数 f(x)= -2ax-3 在区间 1 ，2 上存在反函数的充分必要条件是(D ) A. a (- ， 1 B. a 2 ，+)C. a 1 ，2 D. a (- ， 1 2 ，+3. 设函数 f(x) 的图象关于点 (1，2) 对称，且存在反函数f，f(4)=0 ，则 f=_-2_ 5. 已知函数 y=f(x)是奇函数， 当 x0 时，f(x)= -1. 设 f(x) 的反函数是y=g(x) ， 则 g(-8)=_-2_ 6. 若存在常数p0，使得函数f(x) 满足 f(px)=f(px2p)( xR)，则 f(x) 的一个正周期为 _p/2_ 知识梳理例题精讲零点与根的关系二分法求方程的近似解确定区间 a，b，验证 fafb0，给定精确度；求区间 a，b的中点 c；计算 fc；若 fc=0，则 c 就是函数的零点；若 fafb0，则令 b=c（此时零点x0（a，b） ） ；若 fcfb0，则令 a=c（此时零点x0（c，b） ） ；判断是否达到精确度，即若b-a，则得到零点的近似值a（或 b） ；否则重复以上步骤。函数与方程零点：对于函数y=fx，我们把使fx=0 的实数 x 叫做函数 y=fx的零点定理： 如果函数 y=fx在区间 a， b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 fa fb0，那么，函数 y=fx在区间 a，b内有零点。 即存在 c（a，b） ，使得 fc=0.这个 c 也是方程 fx=0 的根。关系：方程fx=0 有实数根函数 y=fx有零点函数 y=fx的图像与 x 轴有交点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页1. 已知函数22( )(1)2f xxaxa的一个零点比1 大，一个零点比1 小， 求实数a的取值范围。解：设方程22(1)20 xaxa的两根分别为1212,()x xxx，则12(1)(1)0 xx，所以1212()10 xxxx由韦达定理得22(1)10aa，即220aa，所以21a2.判断函数232( )43f xxxx在区间 1,1上零点的个数，并说明理由。解：因为2714 1033f，213141033f所以fx在区间1,1上有零点又2291422222fxxxx当11x时，902fx所以在 1,1上单调递增函数，所以fx在 1,1上有且只有一个零点。易错题3. 设833xxfx, 用 二 分 法 求 方 程2, 10833xxx在内 近 似 解 的 过 程 中 得,025.1,05 .1,01fff则方程的根落在区间（B ）A(1,1.25)B(1.25,1.5)C(1.5,2)D不能确定当堂检测1.如果二次函数)3(2mmxxy有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A6,2B6,2C6, 2D, 26,2.已知函数2( )1fxx，则函数(1)f x的零点是 _ 3.若方程0 xaxa有两个实数解，则a的取值范围是（）A(1,)B(0,1)C(0,2)D(0,)4.函数5( )3f xxx的实数解落在的区间是( ) A0,1B1,2C2,3D3,4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页5.求函数132)(3xxxf零点的个数为（）A1B2C3D4直击高考1.设二次函数2( )fxxaxa，方程( )0f xx的两根1x和2x满足1201xx；（1）求实数a的取值范围；（2）试比较010fff与116的大小，并说明理由。解： 令2( )( )(1)g xfxxxaxa则由题意可得：01012(1)0(0)0agg01132 2,32 2aaaa或故所求实数a的取值范围是(0,32 2)。2.函数 fx=2x+3x 的零点所在的一个区间是（B）A（ -2,-1 ） B （-1，0） C （0，1） D （1，2）3. 设函数 fx=4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数fx不存在零点的是（A） A -4,-2 B.-2,0 C.0,2 D.2,4 4. 函数 fx=x-COSx在0 ，内（ B） A没有零点 B有且仅有一个零点 C 有且仅有两个零点 D有无穷多个零点032 2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
