2022年高中数学函数单调性和最值专题 .pdf
精品资料欢迎下载函数专题：单调性与最值一、增函数1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1 随 x 的增大， y 的值有什么变化？2能否看出函数的最大、最小值？3函数图象是否具有某种对称性？2、从上面的观察分析，能得出什么结论？不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。3. 增函数的概念一般地，设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2) ，那么就说 f(x) 在区间 D上是增函数。注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) 二、函数的单调性如果函数 y=f(x) 在某个区间上是增函数或是减函数， 那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做 y=f(x) 的单调区间。【判断函数单调性的常用方法】1、根据函数图象说明函数的单调性例 1、 如图是定义在区间 5，5 上的函数y=f(x) ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页精品资料欢迎下载【针对性练习】下图是借助计算机作出函数y = x2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间2利用定义证明函数f(x) 在给定的区间 D上的单调性的一般步骤： 任取 x1，x2D，且 x11 时1)2(,0)(fxf (抽象函数证明单调性 ) （1）求证： f（x）是偶函数； （2）f(x) 在(0, ) 上是增函数；（3）解不等式2)12(2xf【归纳小结】函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论针对性练习1. 函数1yx的单调区间是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页精品资料欢迎下载A （-，+） B.（-，0） （1， ）C.（-，1） 、 （1，） D. （-，1）（1，）2. 下列函数中 , 在区间（ 0,2 ）上为增函数的是 ( ). A32yxB3yx C245yxxD23810yxx3函数223yxx的增区间是（）。A-3 ，-1 B-1,1 C113a(,3) D( 1,)4、已知函数1( )f xxx，判断( )f x在区间 0，1和（ 1，+）上的单调性。变形( )kf xxx(K0) 5、定义在（ 1，1）上的函数( )f x是减函数，且满足：(1)( )faf a，求实数a的取值范围。6、函数 f ( x)=x31 在 R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论复合函数的单调性1、定义：设 y=f(u),u=g(x),当 x 在 u=g(x) 的定义域 中变化时， u=g(x) 的值在 y=f(u)的定义域内变化，因此变量x 与 y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为y=f(u)=fg(x)称为复合函数，其中x 称为自变量， u 为中间变量， y 为因变量 ( 即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页精品资料欢迎下载函数 ) 2 、复合函数 fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x) ，y=f(u) 的单调性密切相关，其规律如下：函数单调性( )ug x增增减减( )yf u增减增减( )yf g x增减减增例 1、已知( )1,( )32yf uuug xx，求( )yf g x的单调性。例 2、已知2( )1,( )1yf uuug xx，求函数( )yfg x的单调性。针对性训练1、已知2( )1,( )1yf uuug xx，求函数( )yfg x的单调性。 2、已知2( )82f xxx，如果2( )(2)g xfx，那么( )g x（ ）A. 在区间（ -1，0）上是减函数 B. 在区间（ 0，1）上是减函数C. 在区间（ -2，0）上是增函数 D. 在区间（ 0，2）上是增函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页精品资料欢迎下载三、函数的最大（小）值1函数最大（小）值定义1）最大值：一般地，设函数( )yf x的定义域为 I ，如果存在实数 M满足：（1）对于任意的 xI ，都有( )f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，称 M是函数( )yfx的最大值2）最小值：一般地，设函数( )yf x的定义域为 I ，如果存在实数 M满足：（1）对于任意的 xI ，都有( )f xM；（2）存在0 xI，使得0()f xM那么，称 M是函数( )yfx的最小值注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0 xI，使得0()fxM； 函 数 最 大 （ 小） 应 该 是 所 有函 数 值 中 最 大 （ 小） 的 ， 即 对 于 任 意的 xI ， 都 有( )( )f xMf xm2利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法配方法换元法数形结合法例 1、求函数223yxxx当自变量在下列范围内取值时的最值10 x03x(,)x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页精品资料欢迎下载例 2、求函数1yxx的最大值例 3、求函数21yx在区间 2 ，6 上的最大值和最小值【针对性练习】一、选择题1函数 y4xx2，x0 ，3 的最大值、最小值分别为( ) (A)4 ，0 (B)2 ，0 (C)3，0 (D)4 ，3 2函数21xxy的最小值为 ( ) (A)21(B)1 (C)2 (D)4 3、函数3(2)2yxx在区间 0，5上的最大值、最小值分别是（）A. 3,07 B.3,02 C. 3 3,2 7 D. 最大值37，无最小值。二、填空题1函数 y2x24x1 x( 2，3)的值域为 _2函数22xxy的值域为 _3、函数245(0,3yxxx的值域是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页精品资料欢迎下载4、函数23134yxx的值域是。三、解答题1求函数0,0,2)(xxxxfx的值域2设函数 f (x)(xa)2对于任意实数 t R都有 f (1t ) f (1t ) (1) 求 a 的值；(2) 如果 x0 ，5 ，那么 x 为何值时函数 yf (x) 有最小值和最大值 ?并求出最小值与最大值3已知 f(x)3 a x4a，x1logax，x1是 R 上的增函数，那么a 的取值范围是 _4已知函数y3x22ax1，x0 ，1 ，记 f(a) 为其最小值，求f(a) 的表达式，并求f(a) 的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
