2022年高中数学复习专题-矩阵与行列式 .pdf
1 专题八、矩阵与行列式1.矩阵：nm个实数njmiaij,2, 1;, 2, 1,排成m行n列的矩形数表mnnmnnaaaaaaaaaA212221211211叫做矩阵。记作nmA，nm叫做矩阵的维数。矩形数表叫做矩阵 ，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素 。2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。222111cybxacybxa3.线性方程组矩阵的三种变换：互换矩阵的两行；把某一行同乘除以一个非零的数；某一行乘以一个数加到另一行。变换的目的 是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。4.矩阵运算：加法、减法及乘法 1矩阵的和差 ：记作： A+B A -B.运算律： 加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律： A+B +C=A+ B+C 2矩阵与实数的积：设为任意实数，把矩阵A 的所有元素与相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数的乘积矩阵，记作：A.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 运算律： 分配律：BABA；AAA)(；结合律：AAA； 3矩阵的乘积：设A 是km阶矩阵， B 是nk阶矩阵，设C 为nm矩阵。如果矩阵C中第 i 行第 j 列元素ijC是矩阵 A 第 i 个行向量与矩阵B 的第 j 个列向量的数量积，那么 C 矩阵叫做 A 与 B 的乘积，记作：Cmn=Amk Bkn.运算律： 分配律：ACABCBA)(，CABAACB)(；结合律：BABAAB，BCACAB；注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BAAB。5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：设二元一次方程组*222111cybxacybxa其中yx,是未知数，2121,bbaa是未知数的系数且不全为零，21,cc是常数项用加减消元法解方程组* : 当01221baba时，方程组 *有唯一解：1221122112211221babacacaybababcbcx，引入记号21aa21bb表示算式1221baba，即21aa21bb1221baba从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。记D21aa21bb，xD21cc21bb，yD21aa21cc，则：当D21aa21bb=01221baba时，方程组 * 有唯一解，可用二阶行列式表示为DDyDDxyx. 当 D=0 时，0 xyDD，方程组 * 无穷组解；当 D=0 时，0,0 xyDorD，方程组 * 无解。系数行列式1122abDab也为二元一次方程组解的判别式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 6.三阶行列式 1三阶行列式的展开方法：对角线方式展开：按某一行 (或列 )展开法：333231232221131211aaaaaaaaa =112233122331132132112332122133132231a a aa a aa a aa a aa a aa a a=11a33322322aaaa-12a33312321aaaa+13a32312221aaaa记322211aaM3323aa，111111)1(MA，312112aaM3323aa，12A1221)1(M，312113aaM3222aa，133113) 1(MA，称jM1为元素ja1的余子式 ，即将元素ja1所在的第一行、第j列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式类似可以定义其它元素的余子式；称jA1为元素ja1的代数余子式，jjjMA111) 1()3,2,1j。则三阶行列式就可以写成D=333231232221131211aaaaaaaaa =131312121111AaAaAa，这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，假设将D按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列 ) 展开式。 2三阶行列式的性质：行、列依次对调，行列式的值不变，即两行 ( 或两列 ) 对调，行列式的值变号，如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 某行 ( 或列 ) 所有元素乘以数k，所得行列式的值等于原行列式值的k 倍，如某两行 ( 或两列 ) 的元素对应成比例，行列式的值为零。某行 ( 或列 ) 的元素都是二项式，该行列式可分解为两个行列式的和，如某行 ( 或列 ) 的所有元素乘以同一个数，加到另行(或列 ) 的对应元素上，行列式的值不变，如性质：如果将三阶行列式的某一行或一列的元素与另一行或一列的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零。7.用三阶行列式求三角形的面积：假设ABC三个顶点坐标分别为),(11yx、),(22yx、),(33yx，则，所以、三点共线的充分必要条件为.8.三元一次方程组的解法：设三元一次方程组()， 其中zyx,是未知数，)3 ,2, 1(icbaiii、是未知数的系数，且不全为零，)3,2, 1(idi是常数项。下面用加减消元法解方程组()：我们把方程组()的系数行列式记为D，用D的元素321aaa、的代数余子式321AAA、依次乘以方程组()的各方程，得11111111AdzAcyAbxAa22222222AdzAcyAbxAa，33333333AdzAcyAbxAa将这三个式子相加，得：332211332211332211332211)()()(AdAdAdzAcAcAcyAbAbAbxAaAaxAa其中式中x的系数恰为 ()的系数行列式D。由于zy与的系数分别是D的第一列元素的代数余子式的乘积之和，因此zy与的系数都为零。11223311121ABCxySxyxyABC1122331101xyxyxy333322221111dzcybxadzcybxadzcybxa111222333abcabcabc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 式的常数项可表示为111222333xdbcDdbcdbc，于是式可化简为D?x=Dx。类似地，用D 的元素1b、2b、3b的代数余子式1B、2B、3B依次乘以方程组* 的各方程，可推得 D?y=Dy；用 D 的元素1c、2c、3c的代数余子式1C、2C、3C依次乘以方程组*的各方程，可推D?z=Dz ，其中111222333yadcDadcadc，111222333zabdDabaabd由方程组xyzD xDDyDD zD，可见，对于三元一次方程组* ，其系数行列式为D，则： i当0D时，方程组*有唯一解xyzDxDDyDDzD. ii当 D=0，0zyxDDD时，方程组 * 无解； iii 当 D=0，0zyxDDD时，方程组 *有无穷多解。例 1.已知1223,2131AB，则AB；BA例 2.假设三阶行列式按第二行展开为accbbacbbaac，求该三阶行列式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 例 3.求关于 x、 y、 z 的方程组21mxyzxmyzmxymzm有唯一解的条件， 并把在这个条件下的解求出来。变式训练： 1假设线性方程组的增广矩阵为212332cc，解为12yx，则 c1 c2= 2假设三条直线03yax,02yx和012yx相交于一点，则行列式11221131a的值为 _ 3 已知,0,t函数xxxfcos1sin3)(的最小正周期为2， 将)(xf的图像向左平移t个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则t的最小值为 4把22111133332224xyxyx yxyxyxy表示成一个三阶行列式_ 5假设ABC的三个顶点坐标为(1, 2),( 2,3),( 4, 5)ABC，其面积为 _ 6假设, ,a b c表示ABC的三边长，且满足0222cbacccbabbcbaaa，则ABC是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 7假设复数满足, 则的值为 _ 8设 的内角,所对的边长分别为,，假设30abcababc，则角_ z014zzzABCA BCabcC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 9假设三阶行列式1302124121nmmn中第 1 行第 2 列的元素3 的代数余子式的值是15，则|i |nm(其中i是虚数单位，Rmn、)的值是 10已知数列na的通项公式2 ,nan nN，则5231234201220134345620142015aaaaaaaaaaaaaaaa 11已知1101A，定义1AA ，1nnAAA. I求23,AA 的值；II求(2,)nAnnN. 12已知行列式：367861254，计算该行列式第一行的各元素与第三行对应元素的代数余子式的乘积，即计算131313a Ab Bc C 的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
