2022年抛物线及其性质知识点大全,推荐文档 .pdf
1 抛物线及其性质1抛物线定义:平面内到一定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线2抛物线四种标准方程的几何性质:图形参数 p 几何意义参数 p 表示焦点到准线的距离,p 越大,开口越阔. 开口方向右左上下标 准方 程22(0)ypx p22(0)ypx p22(0)xpy p22(0)xpy p焦 点位 置X正X负Y正Y负焦 点坐 标(,0)2p(,0)2p(0,)2p(0,)2p准 线方 程2px2px2py2py范 围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR对 称轴X轴X轴Y轴Y轴顶 点坐 标(0,0 )离心率1e通 径2p 焦半径11(,)A xy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFy焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦长AB的补充11(,)A x y22(,)B xy以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为,22sinpAB若AB的倾斜角为,则22cospAB2124px x212y yp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp?3抛物线)0(22ppxy的几何性质:(1) 范围:因为p0,由方程可知x0,所以抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,|y| 也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 2 (2) 对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向(3) 顶点( 0,0),离心率:1e,焦点(,0)2pF,准线2px,焦准距p(4) 焦点弦:抛物线)0(22ppxy的焦点弦AB,),(11yxA,),(22yxB, 则pxxAB21|弦长 |AB|=x1+x2+p, 当 x1=x2时,通径最短为2p。4焦点弦的相关性质:焦点弦AB,),(11yxA,),(22yxB,焦点(,0)2pF(1) 若 AB 是抛物线22(0)ypx p的焦点弦(过焦点的弦),且11( ,)A x y,22(,)B xy,则:21 24pxx,21 2yyp。(2) 若 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦,且直线AB的倾斜角为,则22sinPAB( 0) 。(3) 已知直线 AB是过抛物线22(0)ypx p焦点 F ,112AFBFABAFBFAFBFAFBFp?(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径(5) 两个相切:1 以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.2 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。5弦长公式:),(11yxA,),(22yxB是抛物线上两点,则221212()()ABxxyy|11|1212212yykxxk6. 直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,消 y 得:(1)当 k=0 时,直线 l 与抛物线的对称轴平行,有一个交点;(2)当 k0 时,0,直线 l 与抛物线相交,两个不同交点;=0, 直线 l 与抛物线相切,一个切点;0,直线 l 与抛物线相离,无公共点。(3)若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?(不一定)7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l:bkxy抛物线,)0(p联立方程法:pxybkxy220)(2222bxpkbxk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 3 设 交 点 坐 标 为),(11yxA,),(22yxB, 则 有0 , 以 及2121,xxxx, 还 可 进 一 步 求 出bxxkbkxbkxyy2)(212121,2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如a.相交弦 AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21b. 中点),(00yxM, 2210 xxx,2210yyy点差法:设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB,代入抛物线方程,得1212 pxy2222 pxy将两式相减,可得)(2)(212121xxpyyyy2121212yypxxyya.在涉及斜率问题时,212yypkABb.在涉及中点轨迹问题时 ,设线段 AB 的中点为),(00yxM,00212121222ypypyypxxyy,即0ypkAB,同理,对于抛物线)0(22ppyx,若直线l与抛物线相交于BA、两点,点),(00yxM是弦AB的中点,则有pxpxpxxkAB0021222(注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 4 【经典例题】(1)抛物线二次曲线的和谐线椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合 . 其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 【例 1】P为抛物线pxy22上任一点, F为焦点,则以PF为直径的圆与y 轴().A相交.B相切.C相离.D位置由 P确定【解析】如图,抛物线的焦点为,02pF,准线是:2plx. 作 PH l于 H,交 y 轴于 Q ,那么PFPH,且2pQHOF. 作 MN y 轴于 N则 MN是梯形 PQOF 的中位线,111222MNOFPQPHPF. 故以PF为直径的圆与y 轴相切,选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则分别是相离或相交的. (2)焦点弦常考常新的亮点弦有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关. 理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的 . 【例 2】 过抛物线022ppxy的焦点 F作直线交抛物线于1122,A x yB xy两点,求证:( 1)12ABxxp(2)pBFAF211【证明】(1)如图设抛物线的准线为l,作1AAl11111,2pA BBlBAAx于 ,则 AF,122pBFBBx. 两式相加即得:12ABxxp( 2)当 AB x 轴时,有AFBFp,112AFBFp成立;当 AB 与 x 轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:2pykx. 代入抛物线方程:XYPHMNO(,0)2pF:2pl x = -22ypx=QXYFA(x,y)11B(x,y)22A1B1l名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 5 2222pkxpx. 化简得:222222014pk xp kxk方程( 1)之二根为x1,x2,1224kxx. 122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxx xxx121222121222424xxpxxppppppxxpxx.故不论弦AB与 x 轴是否垂直,恒有pBFAF211成立 . (3)切线抛物线与函数有缘有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关. 理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功 . 【例 3】证明:过抛物线22ypx上一点 M (x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0)【证明】对方程22ypx两边取导数:22.py ypyy,切线的斜率00 x xpkyy.由点斜式方程:20000001pyyxxy ypxpxyy20021ypxQ,代入()即得: y0y=p(x+x0)(4)定点与定值抛物线埋在深处的宝藏抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获 . 例如: 1.一动圆的圆心在抛物线xy82上,且动圆恒与直线02x相切,则此动圆必过定点(). 4,0. 2,0. 0,2. 0, 2ABCD显然 . 本题是例1 的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2. 抛物线22ypx的通径长为2p;3. 设抛物线22ypx过焦点的弦两端分别为1122,A x yB xy,那么:212y yp以下再举一例【例 4】设抛物线22ypx的焦点弦 AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 6 一定点【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p ,而 A1B1与 AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为1122,A x yB xy,那么:22121112.y ypCACByyp设抛物线的准线交x 轴于 C,那么.CFp2111111.90AFBCFCACBA FB中故. 这就说明:以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. 通法 特法妙法(1)解析法为对称问题解困排难解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等) . 【例 5】 (10. 四川文科卷 .10 题)已知抛物线y=-x2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点A、B,则|AB|等于()A.3 B.4 C.32D.42【分析】直线AB必与直线 x+y=0 垂直,且线段AB 的中点必在直线x+y=0 上,因得解法如下. 【解析】点A、B 关于直线x+y=0对称,设直线AB 的方程为:yxm. 由223013yxmxxmyx设方程( 1)之两根为x1,x2,则121xx.设 AB的中点为M (x0,y0) ,则120122xxx. 代入 x+y=0:y0=12. 故有1 1,2 2M. 从而1myx. 直线 AB的方程为:1yx.方程( 1)成为:220 xx.解得:2,1x,从而1,2y,故得: A(-2 ,-1 ) ,B(1,2).3 2AB,选 C. (2)几何法为解析法添彩扬威虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏. 针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法. 【例 6】 (11.全国 1 卷.11 题)抛物线24yx的焦点为F,准线为l,经过F且斜率XYABFA1B11MCXOYABM0lxy+=?XYOF(1,0)AK60 Y2=2pxL:x=-1M名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 7 xyM(x,y)F1 ( -c , 0)F2(c,0)OH2:alxc= -r1r2r2为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积()A4B3 3C4 3D8【解析】如图直线AF的斜率为3时 AFX=60 . AFK为正三角形 . 设准线l交 x 轴于 M ,则2,FMp且 KFM=60 ,234,44 34AKFKFS. 选 C. 【评注】(1)平面几何知识:边长为a 的正三角形的面积用公式234Sa计算. (2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A的坐标,再计算正三角形的边长和面积. 虽不是很难,但决没有如上的几何法简单. (3)定义法追本求真的简单一着许多解析几何习题咋看起来很难. 但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例 7】 (07. 湖北卷 .7 题)双曲线22122:1(00)xyCabab,的左准线为l,左焦点和右焦点分别为1F和2F;抛物线2C的线为l,焦点为21FC;与2C的一个交点为M,则12112F FMFMFMF等于()A1B1C12D12【分析】这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半焦距 c,离心率为e,作MHlH于,令1122,MFrMFr.点 M 在抛物线上,1112222,MFMFrMHMFreMHMFr故,这就是说:12|MFMF的实质是离心率e. 其次,121|F FMF与离心率 e 有什么关系?注意到:名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 - - - - - - - - - 8 1212111122111F Fe rrceaeeMFrrre. 这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于12112|11|F FMFeeMFMF.选A. (4)三角法本身也是一种解析三角学蕴藏着丰富的解题资源. 利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”达到解题目的. 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算. 【例 8】 (09. 重庆文科 .21 题)如图,倾斜角为a 的直线经过抛物线xy82的焦点 F,且与抛物线交于A、B 两点。()求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程;()若a 为锐角,作线段AB 的垂直平分线m 交x 轴于点 P,证明 |FP|-|FP|cos2a 为定值,并求此定值。【解析】()焦点F(2,0) ,准线;2l x. ()直线AB:tan21 .yx28yx代入( 1) ,整理得:2tan816tan02yy设方程( 2)之二根为y1,y2,则12128tan16yyyy. 设 AB中点为1200020044cot,2tancot24cot2yyyMxyxy则AB的垂直平分线方程是:24cotcot4cot2yx. 令 y=0,则224cot64cot6xP,有,0故2224cot624 cot14cosFPOPOF于是 |FP|-|FP|cos2a=2224csc1cos24csc2sin8,故为定值 .(5)消去法合理减负的常用方法.避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题. 其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例 9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l: (1)l与抛物线xy82有两个不同的交点A和AM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 9 B; ( 2)线段 AB被直线1l:x+5y-5=0 垂直平分 . 若不存在,说明理由,若存在,求出直线l的方程 . 【解析】假定在抛物线xy82上存在这样的两点1122.A xyB xy,则有:211121212222888yxyyyyxxyx1212128AByykxxyy线段 AB被直线1l:x+5y-5=0 垂直平分,且1155lABkk,即1285yy1285yy.设线段 AB的中点为12000425yyMxyy,则. 代入 x+5y-5=0 得 x=1. 于是:AB中点为415M,. 故存在符合题设条件的直线,其方程为:4512552105yxxy,即:(6)探索法奔向数学方法的高深层次有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”. 这时就得冷静分析,探索规律,不断地猜想证明再猜想再证明. 终于发现“无限风光在险峰”. 【例 10】 (10. 安徽卷 .14 题)如图,抛物线y=-x2+1 与 x 轴的正半轴交于点A,将线段 OA 的 n 等分点从左至右依次记为P1,P2,Pn-1,过这些分点分别作x 轴的垂线, 与抛物线的交点依次为Q1, Q2,Qn-1,从而得到n-1 个直角三角形Q1OP1, Q2P1P2, Qn-1Pn-1Pn-1,当 n时,这些三角形的面积之和的极限为. 【解析】11OAn, 图中每个直角三角形的底边长均为设 OA 上第 k 个分点为2220 .11.kkkPyxynn,代入:第 k 个三角形的面积为:21 11.2kkann22212212114111212nnnnSnnnnL. 故这些三角形的面积之和的极限21411111limlim1412123nnnnSnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -