2022年初三数学二次根式 .pdf

优秀学习资料欢迎下载初三数学二次根式211 二次根式教学重难点关键1重点：形如a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号2难点与关键：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数a（a 0）是一个非负数；（a）2=a（a0）;反之 :a=（a）2（a0） 2aa（a0）议一议：1-1 有算术平方根吗？20 的算术平方根是多少？3当 a0） 、0、42、-2、1xy、xy（x0， y?0） 分析 ：二次根式应满足两个条件：第一， 有二次根号 “” ；第二， 被开方数是正数或0解：二次根式有：2、x（ x0） 、0、-2、xy（x0，y0） ；不是二次根式的有：33、1x、42、1xy例 2 当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？分析 ：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以 3x-1 0，?31x才能有意义解：由 3x-10，得： x13当 x13时，31x在实数范围内有意义例 3 当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？分析 ： 要使23x+11x在实数范围内有意义，必须同时满足23x中的 0 和11x中的 x+10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载解：依题意，得23010 xx由得： x-32由得： x-1 当 x-32且 x-1 时，23x+11x在实数范围内有意义例 4计算1 （32）22 （35）23 （56）24 （72）2 分析 ：我们可以直接利用（a）2=a（a0）的结论解题解： （32）2 =32， （35）2 =32 （5）2=325=45，（56）2=56， （72）2=22( 7)724例 5 计算1 （1x）2（x0）2 （2a）23 （221aa）24 （241 29xx）2 分析 ： （1）因为 x0，所以 x+10； （2）a20； （3）a2+2a+1=（ a+1） 0；（4）4x2-12x+9= （ 2x）2-22x3+32=（ 2x-3）20所以上面的4 题都可以运用（a）2=a（a0）的重要结论解题解： （1）因为 x0，所以 x+10 （1x）2=x+1 （2） a20，（2a）2=a2 （3） a2+2a+1=（a+1）2 又（ a+1）2 0， a2+2a+10 ，221aa=a2+2a+1 （4） 4x2-12x+9=（2x）2-22x 3+32=（ 2x-3）2 又（ 2x-3）20 例 6 化简（1）9（2）2( 4)（3）25（4）2( 3)分析 ：因为（ 1）9=-32， （ 2） （-4）2=42， （3）25=52， （4） （-3）2=32，所以都可运用2a=a（a 0）去化简解： （1）9=23=3 （2）2( 4)=24=4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载（3）25=25=5 （4）2( 3)=23=3 4x2-12x+90，（24129xx）2=4x2-12x+9212 二次根式的乘除教学重难点关键abab（a0，b0） ，ab=ab（a0，b0）abab（a0，b0） ab（a0,b0） ，ab=ab（a0，b0）最简二次根式的运用1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式例 1计算（1）57（ 2）139（3）927（4）126分析： 直接利用abab（a0，b 0）计算即可解： （1）57=35（2）139=193=3（ 3）927=29 2793=93（4）126=162=3例 2 化简（ 1）9 16（2）1681（3）81 100（ 4）229x y（5）54分析：利用ab=ab（ a0，b0）直接化简即可解： （1）9 16=916=34=12 （ 2）1681=1681=49=36 （3）81 100=81100=910=90 （4）229x y=2322x y=232x2y=3xy 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载（5）54=96=236=36例 3 计算： （ 1）123（2）3128（3）11416（4）648分析 ：上面 4 小题利用ab=ab（a 0，b0）便可直接得出答案解： （1）123=123=4=2 （2）3128=31383 4282=3=23（ 3）11416=111164164=4=2 （ 4）648=648=8=22例 4 化简：（1）364（2）22649ba（3）2964xy（4）25169xy分析：直接利用ab=ab（a0，b0）就可以达到化简之目的解： （1）364=33864（2）22649ba=2264839bbaa（3）2964xy=293864xxyy（4）25169xy=25513169xxyy例 5 已知9966xxxx，且 x 为偶数，求（ 1+x）22541xxx的值分析： 式子ab=ab，只有 a0，b0 时才能成立因此得到9-x 0且 x-60 ，即 6x9，又因为x 为偶数，所以x=8解：由题意得9060 xx，即96xx6x9 x 为偶数x=8 原式 =（1+x）(4)(1)(1)(1)xxxx=（1+x）41xx=（1+x）4(1)xx=(1)(4)x x当 x=8 时，原式的值 =49=6精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载例 3观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=1 ( 21)2121( 21)( 21)=2-1，132=1 ( 32)3232( 32)(32)=3-2，同理可得：143=4-3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（121+132+143+120022001） （2002+1）的值分析： 由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的解：原式 =（2-1+3-2+4-3+ +2002-2001）（2002+1）=（2002-1） （2002+1）=2002-1=2001 21.3 二次根式的加减重难点关键二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并例 1计算（1）8+18（ 2）16x+64x分析 ：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解： （1）8+18=22+32=（2+3）2=52（2）16x+64x=4x+8x=（ 4+8）x=12x例 2 计算（1）348-913+312（2） （48+20）+（12-5）解： （1） 348-913+312=123-33+63=（ 12-3+6）3=153（2） （48+20）+（12-5） =48+20+12-5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载=43+25+23-5=63+5例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值分析： 本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x=12，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值解： 4x2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （ 2x-1）2+（y-3）2=0 x=12，y=3 原式 =293xx+y23xy-x21x+5xyx=2xx+xy-xx+5xy=xx+6xy当 x=12，y=3 时，原式 =1212+632=24+36例 4若最简根式343a bab与根式23226abbb是同类二次根式，求a、b 的值（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析 ：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式23226abbb不是最简二次根式，因此把23226abbb化简成 |b|26ab，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式23226abbb化为最简二次根式：23226abbb=2(216)ba=|b|26ab由题意得432632ababab24632ababa=1，b=1 例 5 计算（1） （5+6） （3-5）（2） （10+7） （10-7）分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解： （1） （5+6） （3-5）=35-（5）2+18-65=13-35（2） （10+7） （10-7）=（10）2-（7）2=10-7=3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载例 6已知xba=2-xab，其中 a、b 是实数，且a+b0，化简11xxxx+11xxxx，并求值分析 ：由于（1x+x） （1x-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x 的值，代入化简得结果即可解：原式 =2(1)(1)(1)xxxxxx+2(1)(1)(1)xxxxxx=2(1)(1)xxxx+2(1)(1)xxxx=（x+1）+x-2(1)x x+x+2(1)x x=4x+2 xba=2-xabb（x-b）=2ab-a（ x-a）bx-b2=2ab-ax+a2 （ a+b）x=a2+2ab+b2 （ a+b）x=（ a+b）2 a+b0 x=a+b 原式 =4x+2=4 （a+b）+2 贴近中考20XX 年天津 市中考数学试卷5. 已知2a，则代数式aaaaa2的值等于（A ）A. 3B. 243C. 324D. 2420XX 年天津 市中考数学试卷8若440m，则估计 m 的值所在的范围是（B ）A21mB32mC43mD54m20XX 年天津 市 中考数学试卷3若xy，为实数，且220 xy，则2009xy的值为（B ）A1 B1C2 D211化简：188= 220XX 年天津 市 中考数学试卷（8）比较 2，5 ，37的大小，正确的是（C ）（A）3257（B）3275（C）3725（D）3572精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载练习21.1 二次根式：2. 当_时，212xx有意义。3. 若11mm有意义，则m的取值范围是。5. 在实数范围内分解因式：429_,222_xxx。7. 已知222xx，则x的取值范围是。8. 化简：2211xxx的结果是。9. 当15x时，215_xx。10. 把1aa的根号外的因式移到根号内等于。11. 使等式1111xxxx成立的条件是。12. 若1ab与24ab互为相反数，则2005_ab。13. 在式子230 ,2,12 ,20 ,3,1,2xxyyx xxxy中， 二次根式有（）A. 2 个 B. 3个 C. 4个 D. 5个14. 下列各式一定是二次根式的是（）A. 7 B. 32m C. 21a D. ab15. 若 23a，则2223aa等于（）A. 52a B. 12a C. 25a D. 21a16. 若424Aa，则A（）A. 24a B. 22a C. 222a D. 224a17. 若1a，则31a化简后为（）A. 11aa B. 11aaC. 11aa D. 11aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载18. 能使等式22xxxx成立的x的取值范围是（）A. 2x B. 0 x C. 2x D. 2x19. 计算：222112aa的值是（）A. 0 B. 42a C. 24a D. 24a 或42a21. 若2440 xyyy，求 xy的值。22. 当a取什么值时，代数式211a取值最小，并求出这个最小值。23. 去掉下列各根式内的分母：21 .303yxx512 .11xxxx25. 已知,a b为实数，且1110abb，求20052006ab的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载21.2 二次根式的乘除1. 当0a，0b时，3_ab。2. 若22m n和3223mn都是最简二次根式，则_,_mn。4. 计算：483 273_。7. 已知0 xy，化简二次根式2yxx的正确结果为（） A. y B. y C. y D. y8. 对于所有实数,a b，下列等式总能成立的是（） A. 2abab B. 22abab C. 22222abab D. 2abab9. 2 3和3 2的大小关系是（） A. 2 33 2 B. 2 33 2 C. 2 33 2 D. 不能确定10. 对于二次根式29x，以下说法中不正确的是（）A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 3 11. 计算：32 .53xx53236 .32baba bba33 .540,0aba bab364 .0,0a bab ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载12. 化简：351 .0,0a bab2 .xyxy3213 .aaa13. 把根号外的因式移到根号内：11 .5512 . 11xx21.3 二次根式的加减2. 下面说法正确的是（） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 8与80是同类二次根式 C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2 的根式3. 与3a b 不是同类二次根式的是（） A. 2ab B. ba C. 1ab D. 3ba4. 下列根式中，是最简二次根式的是（） A. 0.2b B. 1212ab C. 22xy D. 25ab5. 若12x，则224421xxxx化简的结果是（） A. 21x B. 21x C. 3 D. -3 6. 若2182102xxxx，则x的值等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载 A. 4 B. 2 C. 2 D. 47. 若3的整数部分为x，小数部分为 y ，则3xy的值是（） A. 3 33 B. 3 C. 1 D. 3 9. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是。10. 若最简二次根式125aa与34ba是同类二次根式，则_,_ab。11. 一个三角形的三边长分别为8,12,18cmcmcm，则它的周长是 cm。12. 若最简二次根式23412a与22613a是同类二次根式，则_a。13. 已知32,32xy，则33_x yxy。14. 已知33x，则21_xx。15. 200020013232_。16. 计算：. 1122 123 1548333. 1485423313. 274 374 33 51. 222212131213精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载17. 计算及化简：. 2211aaaa. 2ababababab. xyyxyxx yxyyxyxx y. 2aabbabaabaabbabbab18. 已知：3232,3232xy，求32432232xxyx yx yx y的值。19. 已知：1110aa，求221aa的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页优秀学习资料欢迎下载答案：21.1 二次根式：1. 4x； 2. 122x； 3. 01mm且； 4. 任意实数；5. 22333 ;2xxxx； 6. 0 x；7. 2x； 8. 1x；9. 4 ； 10. a； 11. 1x； 12. -1；1320：CCCABCDB 21. 4 ； 22. 12a，最小值为 1； 23. 32361 ., 2 .1xyxxxxx；24. 5； 25. -2 21.2 二次根式的乘除：1. b ab； 2. 1 、2； 3. 18 ； 4. -5； 5. 2.83；610： DDCAB 11. 22221 .6, 2 .15, 3 .20, 4 ., 5 .1, 6 .xa babba b ab ；12. 21, 2 ., 3 .0ababxy；13. 1 .5, 2 .1x21.3 二次根式的加减：18：BAACCCCC 9. 8,18； 10. 1 、1； 11. 5 22 3； 12. 1 ； 13. 10 ；14. 43； 15. 32；16. 31 .2 3, 2 .4 362, 3 .456 5, 4 .42；17. 21 .4, 2 .2, 3 ., 4 .1xybyx；18. 5 ； 19. 92 10； 20. -1； 21. 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页