2022年高三上学期入学考试数学试题含答案 .pdf
数学（理）试题第卷（共60 分）一、 选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合2|2 ,|10 xAy yxRBx x，则AB（）A1,1 B0,1 C1, D0,2. 已知复数312aii是纯虚数，则实数a（）A2 B4 C6 D63. 设随机变量2,4N，若223PaPa，则实数a的值为（）A1 B53 C5 D94. 已知函数fx的导函数fx，且满足2 1lnfxxfx，则 1f（）Ae B1 C1 De5. 设平面的一个法向量为11,2, 2n，平面的一个法向量为22, 4,nk，若，则k（）A2 B4 C2 D46. 设xR，则“21x” 是“220 xx” 的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件7. 若变量,x y满足约束条件13215xyxxy，则42xy的最大值是（）A100 B240 C500 D5128. 已知命题2000:,0pxR xaxa，若命题p是假命题， 则实数a的取值范围是 （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页A0,4 B0,4C,04, D,04,9. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A， “第二次出现正面”为事件B，则|P B A（）A12 B14 C16 D1810. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（）A38C B3388C AC C3282C C D383C11. 如图，正方形1ABCD折成直二面角ABDC， 则二面角ACDB的余弦值是（）A13 B33 C12 D2212. 过点2,1A作曲线33fxxx的切线最多有（）A3条 B2条 C1条 D0条第卷（共90 分）二、填空题（每题4 分，满分16 分，将答案填在答题纸上）13. 正三棱柱1111ABCDABC D的棱长为1, 若动点P在线段1BD上运动 , 则DC AP的取值范围是14. 312xx的展开式中各项的系数之和为729, 则该展开式中2x的系数为 . 15. 已知复数zxyi，且23z，则yx的最大值为16. 已知实数,x y满足13xxyy，则xy的最大值为三、解答题（本大题共4 小题，共44 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页17. （本小题满分10 分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为4 3 2,5 4 3，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分 . （1）求的分布列和数学期望; （2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率. 18. （本小题满分10 分）在直角坐标系中, 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 已知曲线2:sin2 cos0Caa, 过点2, 4P的直线222:(242xtltyt为参数 ) 与曲线C相交于,M N两点 . （1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程 ; （2）若,PMMNPN成等比数列 , 求实数a的值 . 19. （本小题满分12 分）如图 , 在四棱锥PABCD中, 平面PAD平面ABCD,1,2,5PAPD PAPD ABAD ABADACCD. （1）求证 :PD平面PAB; （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值; （3）在棱PA上是否存在点M, 使得BM平面PCD？若存在 , 求AMAP的值 ; 若不存在 , 说明理由 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页20. （本小题满分12 分）已知221ln,xfxa xxaRx. （1）讨论fx的单调性 ; （2）当1a时, 证明32fxfx对于任意的1,2x成立 . 四川省绵阳中学2017 届高三上学期入学考试数学（理）试题参与答案一、 选择题（每小题5 分，共 60 分）1-5.CDBBD 6-10.ADAAC 11-12.BA 二、填空题（每小题5 分，共 20 分）13.0,1 14.160 15.3 16.4三、解答题17. 解： （1）由题意知 ,的所有可能取值为0,10,20,30. 1111054360P; 41113111293105435435436020P; 4314121322613205435435436030P; 43224230543605P. 的分布列为0102030P16032013302513132133010203060203056E. （2）用A表示“甲得30分乙得0分” , 用B表示“甲得20分乙得10分” , 且,A B互斥 , 又33194601280P A,2233138144201280P BC, 甲、乙两队得分总和为30分且甲获胜的概率为9091280128P ABP AP B. 18. 解： （1）把cossinxy代入2sin2 cosa,得220yax a. 由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页222(242xttyt为参数 ), 消去t得20 xy, 曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程分别是220 ,20yax axy; （2）将222(242xttyt为参数 ) 代入22yax, 整理得22 2 48 40ta ta,设12,t t是该方程的两根, 则212122 2 4,8 4,ttat taMNPMPN,222121212124,8 448 48 48 4,1ttttt tt taaaaa. 19. 解： （1）证明 : 因为平面PAD平面ABCD,ABADAB平面,PADABPD, 又因为,PAPDPD平面PAB. 设平面PCD的法向量为, ,nx y z, 则00n PDn PC, 即020yzxz, 令2z, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页1,2,1, 2,2xyn, 又31,1, 1 ,cos3n PBPBn PBn PB, 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为33. （3）设M是棱PA上一点，则存在0,1使得AMAP，因此点0,1,1,MBMBM平面,PCDBM平面PCD，当且仅当0BM n，即1,1, 2,20，解得14，所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时14AMAP. 20. 解： （1）fx的定义域为223321220,axxafxaxxxx, 当0a时,0,1x时,0,fxfx单调递增 , 1,x时, 0,fxfx单调递减 , 当0a时,3122a xfxxxxaa. 02a时,21a, 当0,1x或2,xa时,0,fxfx单调递增 , 当21,xa时, 0,fxfx单调递减 . 2a时,21a, 在0,x内, 0,fxfx单调递增 . 当2a时,201a, 当20,xa或1,x时, 0,fxfx单调递增 , 当2,1xa时, 0,fxfx单调递减 . 综上所述 , 当0a时,fx在0,1内单调递增 , 在1,内单调递减 , 当02a时, fx在0,1内单调递增 , 在21,a内单调递减 , 在2,a内单调递增 , 当2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页时,fx在0,内单调递增 , 当2a时, fx在20,a内单调递增 , 在2,1a内单调递减 , 在1,单调递增 . （2）证明 : 由（ 1）知1a时,2232321122312ln1ln1,1,2xfxfxxxxxxxxxxxxx, 设23312ln,1,1,2g xxx h xxxxx, 则fxfxg xh x, 由10 xgxx, 可得11g xg, 当且仅当1x时取得等号 , 又22326xxhxx, 设2326xxx, 则x在1,2x单调递减 , 因为011,210,1,2x, 使得01,xx时 ,00,2xxx时 ,0,xh x在01,x内单调递增 , 在0,2x内单调递减 , 由111,22hh, 可得122h xh, 当且仅当2x时取得等号, 所以3122fxfxgh, 即32fxfx对于任意的1,2x成立 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
