2022年徐汇区2015年高三数学理科二模试卷 .pdf

1 2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科理科一填空题本大题总分值56 分本大题共有14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，否则一律得 0 分1已知集合1= 1,22A，集合2=|,By yxxA，则AB2假设复数iiz(21为虚数单位 ，则zzz3已知直线l的一个法向量是1,3n，则此直线的倾斜角的大小为4某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体800名学生中抽取50名学生进行体能测试现将800名学生从1到800进行编号，求得间隔数1650800k假设从161中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为4833的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是5在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，假设3,2,3acA，则ABC的面积为6设函数)12(log)(2xxf，则不等式)(2xf12(log 5)f的解为7直线yx与曲线3cos:4sinxCy(为参数，2) 的交点坐标是8甲、乙两人各进行一次射击，假设两人击中目标的概率分别是0.6，且射击结果相互独立，则甲、乙至多一人击中目标的概率为9 矩阵1211222232332123inininnninnaaaaaaaaanaaa中每一行都构成公比为2 的等比数列， 第i列各元素之和为iS，则2lim2nnnSn10如下图：在直三棱柱111ABCABC中，ABBC，1ABBCBB,则平面11A BC与平面ABC所成的二面角的大小为11执行如下图的程序框图，输出的结果为a，二项式421mxx的展开式中3x项的系数为2a，则常数m12设)(xf是定义域为R 的奇函数，)(xg是定义域为R 的偶函数，假设函数)()(xgxf的值域为)3, 1，则函数)()(xgxf的值域为13ABC所在平面上一点P满足0,PAPCmAB mm为常数，假设ABP的面积为6，则ABC的面积为14对于曲线C所在平面上的定点0P，假设存在以点0P为顶点的角，使得0APB对于曲线C上的任意两个不同的点BA,恒成立，则称角为曲线C相对于点0P的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C相对CBAC1B1A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 于点0P的“确界角” 曲线)0(12)0(1:22xxxxyC相对于坐标原点O的“确界角”的大小是二选择题本大题总分值20 分本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得0 分15以下不等式中，与不等式302xx同解的是A320 xxB320 xxC203xxD302xx16设MN、为两个随机事件，如果MN、为互斥事件，那么AMN是必然事件 BMN是必然事件CM与N一定为互斥事件 DM与N一定不为互斥事件17在极坐标系中，与曲线1cos关于直线6(R)对称的曲线的极坐标方程是A1)3sin(B1)3sin(C1)6sin(D1)6sin(18已知函数2( )sinf xxx，各项均不相等的数列nx满足2ix(1,2,3, )in令*1212( )()()()() ()nnF nxxxf xf xf xnN给出以下三个命题：(1)存在不少于3 项的数列nx，使得( )0F n；(2)假设数列nx的通项公式为*12nnxnN，则(2 )0Fk对*kN恒成立；(3)假设数列nx是等差数列，则( )0F n对*nN恒成立其中真命题的序号是A(1)(2) B(1)(3) C (2)(3) D(1)(2)(3) 三解答题本大题总分值74 分本大题共有 5 题，解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19( 此题总分值12 分) 此题共有2 个小题，第1小题总分值6 分，第 2 小题总分值6 分如图，在Rt AOB中，6OAB，斜边4AB，D是AB的中点 现将Rt AOB以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC 1求该圆锥的全面积； 2求异面直线AO 与 CD 所成角的大小结果用反三角函数值表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 20( 此题总分值14 分) 此题共有2 个小题，第1小题总分值6 分，第 2 小题总分值8 分一个随机变量的概率分布律如下：x1 x2Pcos2 Asin(B+C)其中, ,A B C为锐角三角形ABC的三个内角 1求A的值； 2假设1cosxB，2sinxC，求数学期望E的取值范围21( 此题总分值14 分) 此题共有2 个小题，第1小题总分值6 分，第 2 小题总分值8 分用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形PQRS，内部是一段抛物线和一根横梁抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点O，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点,A B， 抛物线与梯形下底的两个焊接点为,C D 已知梯形的高是40厘米，CD、两点间的距离为40厘米 1求横梁AB的长度 ; 2求梯形外框的用料长度注 :细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1 厘米22( 此题总分值16 分) 此题共有3 个小题，第1 小题总分值4 分，第 2 小题总分值6 分，第 3 小题总分值6分已知函数11( )2f xxx，11( )2g xxx1求函数( )2h xfxg x的零点； 2假设直线:0, ,l axbyca b c为常数与( )f x的图像交于不同的两点AB、，与( )g x的图像交于不同的两点CD、，求证：ACBD；3求函数22*( )nnF xfxg xnN的最小值SRPQDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 23( 此题总分值18 分) 此题共有3 个小题，第1 小题总分值4 分，第 2 小题总分值6 分，第 3 小题总分值8分对于一组向量naaaa,321(*nN)， 令nnaaaaS321， 如果存在pa(1,2,3,pn)，使得|pnpaSa，那么称pa是该向量组的“h向量” 1设),(nxnan(*nN)，假设3a是向量组321,aaa的“h向量” ，求实数x的取值范围；2假设)1( ,)31(1nnna(*Nn)，向量组naaaa,321是否存在“h向量”？给出你的结论并说明理由；3已知123a a a、均是向量组321,aaa的“h向量” ，其中)cos,(sin1xxa，)sin2,cos2(2xxa 设在平面直角坐标系中有一点列nQQQQ, 321满足：1Q为坐标原点，2Q为3a的位置向量的终点，且12kQ与kQ2关于点1Q对称，22kQ与12kQ(*Nk)关于点2Q对称，求|20142013QQ的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 理科参考答案一、填空题： 每题 4 分1. 12. 62i3. 64. 395. 326. 0 x7. 1212,558. 0.589. 1410. 411. 1412. 3, 113. 1214. 512二、选择题： 每题 5 分15. D 16. A 17. C 18. D 三、解答题19、解：1在Rt AOB中，2OB，即圆锥底面半径为2 圆锥的侧面积8Srl侧.4故圆锥的全面积=+8 +412SSS全侧底 .62解法一：如图建立空间直角坐标系则(0,0,23),(2,0,0),(0,1,3)ACD(0,0, 2 3),( 2,1,3)AOCD.8设AO与CD所成角为则66cos42 3 22AO CDAOCD.10异面直线AO与CD所成角为6arccos4.12解法二：过D作/ /DMAO 交 BO 于M，连 CM则CDM 为异面直线AO 与 CD 所成角 .8AOOBC平面DMOBC平面DMMC在Rt AOB中，2 3AO3DMD 是AB的中点M是 OB 的中点1OM5CM在Rt CDM中，515tan33CDM，.1015arctan3CDM，即异面直线AO 与 CD 所成角的大小为15arctan3.1220、解：1由题cos2sin1ABC，.2则212sinsin1AA1sinsin02AA舍 .4又A为锐角，得6A.6BCDAOzxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 2由6A得56BC，则1cos2 =sin2ABC，即1212PxPx .811cossin22EBC .915133cossinsincos26244CCCC3sin26C， .11由ABC为锐角三角形，得0,2,3 266350,62CCCBC则13sin,622C，得3 3,44E.1421、解：1如图，以O为原点，梯形的上底所在直线为x轴，建立直角坐标系设梯形下底与y轴交于点M，抛物线的方程为：220 xpy p由题意20, 40D，得5p，210 xy .3取2010 2yx，即10 2,20 ,102,20AB20 228ABcm答：横梁AB的长度约为28cm.62由题意，得梯形腰的中点是梯形的腰与抛物线唯一的公共点设:201020RQlyk xk.7222010 210100 22010yk xxkxkxy则2100400 2202 2kkk，即:2 220RQlyx .10得52,0 ,15 2,40QR5 2,15 2,30 2OQMRRQyxSRPQMDCBAO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 梯形周长为2 5215 230 21002141 cm答：制作梯形外框的用料长度约为141cm .1422、解：1由题313( )0223xh xxx，函数( )h x的零点为33x 42设11223344,A x yB xyC xyD xy20220112axbycab xcxbyxx，则1222cxxab.8同理由20220112axbycab xcxbyxx，则3422cxxab则AB中点与CD中点重合，即ACBD.103由题222111( )2nnnF xxxxx122326236 2212 222222122222nnnnnnnnnnnCxCxCxCx.121222 23266 2236 226212 2222222212nnnnnnnnnnnnnnnCxxCxxCxxCxx13232122222122222nnnnnnnCCCC.141，当且仅当1x时，等号成立所以函数( )F x的最小值为1 .1623、解： (1)由题意，得：|213aaa，则22)32(9)3(9xx .2解得：02x.4(2) 1a是向量组naaaa,321的“h向量” ，证明如下：) 1, 1(1a，2|1a当n为奇数时，)0 ,)31(2121()0,311)31(131(1132nnnaaa .6111110( )2232n，故|32naaa2210)31(2121221n 8即|321naaaa当n为偶数时，)1 ,)31(2121(132nnaaa故|32naaa2451)31(2121221n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 即|321naaaa综合得：1a是向量组naaaa,321的“h向量” .10(3)由题意，得：|321aaa，23221|aaa，即23221)(aaa即322322212aaaaa，同理312321222aaaaa，212221232aaaaa三式相加并化简，得：3231212322212220aaaaaaaaa即0)(2321aaa，0|321aaa，所以0321aaa .13设),(3vua，由0321aaa得：xxvxxusin2coscos2sin设),(nnnyxQ，则依题意得：),(),(2),(),(),(2),(121222222222111212kkkkkkkkyxyxyxyxyxyx，得),(),(),(2),(2211222222kkkkyxyxyxyx故),(),(),(2),(2211222222yxyxyxkyxkk),(),(),(2),(2211221212yxyxyxkyxkk所以2111221222122222124),(),(4),(QQkyxyxkyyxxQQkkkkkk 1612sin45cossin85)sin2cos()cos2sin(|2223221xxxxxxxaQQ当且仅当4tx(Zt)时等号成立故4024|min20142013QQ.18精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页