2022年数学直线与平面垂直的判定导学案 .pdf
2.3.1 直线与平面垂直的判定一、学习目标1. 理解直线与平面垂直的定义；2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；二、自主学习探究一：探究 1：直线和平面垂直的概念问题：如图 10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边BC落在桌面上，观察AB边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着AB边转动三角板，边AB与BC始终垂直吗？在转动的过程中，把BC看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？新知 1：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说 直线l与平面互相垂直，记做l.l叫做垂线，叫垂面，它们的交点P叫垂足 .如图 10-3 所示. 图 10-3 反思： 如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？探究 2：直线与平面垂直的判定定理问题：如图 10-4，将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上 (,BD DC与桌面接触 ).观察折痕AD与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直呢？图 10-4 CAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页结论：图 10-5 反思： 折痕AD与桌面上的一条直线垂直时，能判断AD垂直于桌面吗 ?如图 10-5，当折痕ADBC时，翻折后AD,即,ADCD ADBD.由此你能得出什么结论 ? 新知 2：直线和平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直. 探究 3：直线与平面所成的角新知 3：如图 10-6，直线PA和平面相交但不垂直，PA叫做平面的 斜线，PA和平面的交点A叫斜足；PO，AO叫做斜线PA在平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和平面所成的角 .图 10-6 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0角. 典型例题例 1 如图 10-7，已知ab，a，求证：ba. 图 10-7 例 2 如图 10-8，在正方体中，求直线A B和平面OAPDBCACBAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页ABCODABCODA B CD所成的角 . 图 10-8 例 3 如图，AB为平面 的一条斜线， B为斜足， AO 平面 ，垂足为 O ，直线 BC在平面 内，已知 ABC=60 ，OBC=45 ，求斜线 AB和平面 所成的角 . 动手试试练 1. 如图 10-9，在三棱锥中，,VAVC ABBC，求证：VBAC. 练 2. 如图 10-10，在 RtBMC中，斜边5BM，其射影4AB，60MBC, 求MC与平面CAB所成角的正弦值 . 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 直线l和平面内两条直线都垂直，则l与平面的位置关系是（）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页 A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 都有可能2. 已知直线,a b和平面，下列错误的是（）. A.aabb B./ /abba C.abba或a D./ /abab3. ,a b是异面直线 , 那么经过b的所有平面（）. A. 只有一个平面与平行 B. 有无数个平面与平行 C. 只有一个平面与垂直 D. 有无数个平面与垂直4. 两 条 直 线 和 一 个 平 面 所 成 的 角 相 等 ， 则 这 两 条 直 线 的 位 置 关 系 是_. 5. 若平面平面, 直线a, 则a与_. 6. 如图 10-11，在正方体中，O是底面的中心，B HD O，H为垂足，求 证：B H面AD C. 2.3.2 平面与平面垂直的判定学习目标1. 理解二面角的有关概念， 会作二面角的平面角， 能求简单二面角平面角的大小；2. 理解面面垂直的定义， 掌握面面垂直的判定定理， 初步学会用定理证明垂直关OHBCADCBAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页系；3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化. 一、自主学习：（预习教材P67 P69，找出疑惑之处）复习 1：若直线垂直于平面，则这条直线_平面内的任何直线；直线与平面垂直的判定定理为_ _. 复习 2：什么是直线与平面所成的角? 直线与平面所成的角的范围为_. 二、新课导学探究 1：二面角的有关概念图 11-1 问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么? 新知 1：从一条直线出发的两个半平面 所组成的图形叫做 二面角 ，这条直线叫 二面角的棱 ，这两个半平面叫二面角的面. 图 11-2 中的二面角可记作：二面角AB或l或PABQ. 问题：二面角的大小怎么确定呢？新知 2：如图 11-3，在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平l精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页面和内分别作垂直于棱l的射线,OA OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角 . 平面角是直角的二面角叫直二面角 . 反思：两个平面相交，构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系？你觉的二面角的大小范围是多少？二面角平面角的大小和O点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？探究 2：平面与平面垂直的判定问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？新知 3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面互相垂直 . 如图 11-4，垂直，记作. 问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？新知 4：两个平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 . 反思：定理的实质是什么? 典型例题例 1 如图 11-5，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于,A B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页图 11-5 例 2 如图 11-6，在正方体中，求面A D CB与面ABCD所成二面角的大小（取锐角）. 小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角. 动手试试练. 如图 11-7，在空间四边形SABC中，ASC=90，60ASBBSC，SASBSC，求证：平面ASC平面ABC. 求二面角SABC的平面角的正弦值 . 三、总结提升学习小结1. 二面角的有关概念，二面角的求法；2. 两个平面垂直的判定定理及应用. 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分）计分：1. 以下四个命题，正确的是（）. A. 两个平面所成的二面角只有一个 B. 两个相交平面组成的图形叫做二面角 C. 二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个 D. 二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关2. 对于直线,m n, 平面, 能得出的一个条件是（）. BCADCBADSCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页 A.,/ /,/ /mn mn B.,mnm n C./ / ,mn nm D./ / ,mn mn3. 在正方体1111ABCDA B C D中，过,A C D的平面与过1,D BB的平面的位置关系是（）. A. 相交不垂直 B.相交成 60角 C. 互相垂直 D.互相平行4. 二面角的大小范围是 _. 5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为 _. 课后作业1. 如图 11-8，在正方体中，,E F是棱A B与D C的中点，求面EFCB与面ABCD所成二面角的正切值 . （取锐角）图 11-8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
