2022年专题勾股定理培优版 .pdf
学习好资料欢迎下载专题 勾股定理在动态几何中的应用一. 勾股定理与对称变换（一）动点证明题1. 如图，在 ABC 中，AB=AC，（1）若 P 为边 BC 上的中点，连结AP，求证： BP CP=AB2-AP2；（2）若 P 是 BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；（3）若 P 是 BC 边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论. （二）最值问题2. 如图，E 为正方形 ABCD 的边 AB 上一点，AE=3 ，BE=1，P 为 AC 上的动点，则 PB+PE 的最小值是3.如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD（不含 B 点）上任意一A B P C BCPABCADPE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载EAD BC CNM点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 EN、AM、CM. （1）求证： AMBENB；（2）当 M 点在何处时， AMCM 的值最小；当 M 点在何处时， AMBMCM 的值最小，并说明理由；（3）当 AMBMCM 的最小值为13时，求正方形的边长 . 4. 问题：如图，在 ABC中， D 是 BC边上的一点，若 BAD =C =2DAC =45，DC =2求 BD的长小明同学的解题思路是： 利用轴对称，把ADC 进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决EAD BC CNMEAD BC CNM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载AAA（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在ABC中，D是 BC边上的一点，若 BAD= C=2 DAC=30 ，DC=2 ，求 BD和 AB的长图图二.勾股定理与旋转5. 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC （其中 BAC是一个可以变化的角）中， AB=2 ，AC=4 ，以DABCDABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载BC为边在 BC的下方作等边 PBC ，求 AP的最大值。小伟是这样思考的： 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点 B为旋转中心将 ABP逆时针旋转 60得到 ABC,连接AA, 当点 A落在CA上时, 此题可解（如图 2） 请你回答： AP的最大值是参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 RtABC 边 AB=4,P为ABC内部一点，则 AP+BP+CP 的最小值是 .（结果可以不化简）6. 如图， P是等边三角形 ABC内一点， AP=3 ，BP=4 ，CP=5 ，求APB的度数 . 变式 1：?ABC 中， ACB=90 o，AC=BC ，点 P是?ABC内一点，且 PA=6 ，PB=2 ，PC=4 ，求 BPC 的度数BACP图3CABPC P 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载C 变式 2：问题：如图 1，P为正方形ABCD内一点，且PAPBPC=123，求APB的度数小娜同学的想法是：不妨设PA= 1， PB=2，PC= 3，设法把 PA 、PB 、PC相对集中，于是他将BCP 绕点 B顺时针旋转 90得到 BAE （如图 2） ，然后连结 PE ，问题得以解决请你回答：图 2 中APB的度数为请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：如图 3，P是等边三角形 ABC内一点，已知 APB= 115， BPC= 125（1）在图 3 中画出并指明以 PA 、PB 、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2） 求出以 PA 、 PB 、 PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于EDDPPPCCCBBBAAA图 1 图 2 图 3 7.已知 Rt ABC 中， ACB=90 ，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于 CA 的扇形 CEF绕点 C 旋转，且直线 CE，CF 分别与直线 AB 交于点 M，N（1）当扇形 CEF 绕点 C 在ACE 的内部旋转时，如图，求证：222BNAMMN；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图的位置时，关系式222BNAMMN是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由变式 1：如图，在 Rt ABC中, 90 ,45BACACABDAE且3BD,4CE, 则 DE = 变式 2：如图，在 RtABC中，ABAC，D 、E是斜边 BC上两点，且 DAE =45，将ADC绕点A顺时针旋转 90 后，得到AFB，连接EF，下列结论：AEDAEF；ABEACD；BEDCDE；222BEDCDE其中正确的是（）A； B ； C；D（三）其它应用7. 在ABC中， AB、 BC 、 AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1） ，再在网格中画出格点ABC（即ABC三个顶点都在小正方形的顶点处） ，如图 1 所示这样不需求ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将ABC的面积直接填写在横线上 _ ；C A B E F M N 图BCDEFA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载思维拓展：（2） 我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法 若ABC三边的长分别为2a、13a、17a（0a） ，请利用图2 的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，并求出它的面积填写在横线上_ ；探索创新 ：（3）若ABC中有两边的长分别为2a、10a（0a） ，且ABC的面积为22a，试运用构图法在图 3 的正方形网格 （每个小正方形的边长为a）中画出所有符合题意的ABC(全等的三角形视为同一种情况 )，并求出它的第三条边长填写在横线上_ 8. 已知 ABC=90，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合） ，分别以 AB、AP 为边在ABC 的内部作等边 ABE 和APQ, 连结 QE 并延长交 BP于点 F. （1）如图 1，若 AB=32，点 A、E、P 恰好在一条直线上时， 求此时 EF 的长（直接写出结果）；（2）如图 2，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想EF 与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；（3）若 AB=32，设 BP=x，以 QF 为边的等边三角形的面积y，求 y 关于x的关系式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -
