2022年最新全国年高中数学联赛分类汇编-专题-不等式 .pdf

精品文档精品文档不等式1、 （2001 一试 6）已知 6枝玫瑰与3 枝康乃馨的价格之和大于24，而 4 枝攻瑰与5 枝康乃馨的价格之和小于22 元，则 2 枝玫瑰的价格和3 枝康乃馨的价格比较，结果是（） 2 枝玫瑰价格高 3 枝康乃馨价格高价格相同不确定【答案】 A 2、 （2003 一试 5）已知x，y都在区间 ( 2，2) 内，且xy=1，则函数u=44x2+99y2的最小值是（）(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125【答案】 D 3、 （2004 一试 3）不等式log2x1+12log12x3+20 的解集为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档A2 ，3) B(2，3 C2 ，4) D(2 ，4 【答案】 C 【解析】令log2x=t1 时，t132t2t1 ，2)，x2 ，4) ，选C4、 （2005 一试 1）使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A63 B3 C63 D6【答案】 D 5、 （2006 一试 2）设2log (21)log 2 1xxxx，则x的取值范围为（）A112x B1,12xx且 C 1xD01x【答案】 B 6、 （2007 一试 2）设实数a使得不等式 |2x-a|+|3x- 2a| a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（）A. 31,31 B. 21,21C. 31,41 D. - 3，3 【答案】 A 【解析】令ax32，则有31|a，排除 B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。一般地，对kR，令kax21，则原不等式为2|34|23|1|akaka，由此易知原 不 等 式 等 价 于|34|23|1|kka， 对 任 意 的k R成 立 。 由 于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档125334121134325|34|23|1|kkkkkkkk，所以31|34|23|1|minRkkk，从而上述不等式等价于31|a。7、 （2001 一试 10）不等式232log121x的解集为。9、 （2009 一试3）在坐标平面上有两个区域M和 N ，M为02yyxyx， N 是随 t 变化的区域，它由不等式1txt所确定， t 的取值范围是01t，则M和 N 的公共面积是函数f t【答案】212tt【解析】由题意知f tS阴影部分面积AOBOCDBEFSSS22111122tt212tt10、 （2009 一试 4）使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为【答案】 2009 【 解 析 】 设1111221fnnnn 显 然 f n单 调 递 减 ， 则 由 f n的 最 大 值FEDCBAOyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档1120073fa，可得2009a11 、（ 2011一 试3 ） 设ba,为 正 实 数 ，2211ba，32)(4)(abba， 则balog12、 （ 2012一试 3）设, ,0,1x y z，则|Mxyyzzx的最大值是 . 13、 （ 2001 一试 15）用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、 （a1a2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档3设 4 个电阻的组件 ( 如图 2) 的总电阻为RCD若 记411,jijiRRS412kjikjiRRRS， 则S1、S2为 定 值 ， 于 是4313212RRSRRRSRCD只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3Rl，即得总电阻的阻值最小4对于图3 把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替要使RFG最小，由 3必需使R6R5；且由 1应使RCE最小由2知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小而由 3，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1，这就说明，要证结论成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档14、 （ 2003 一试 13）设32x5，证明不等式2x+1+2x3+153x21915、 （ 2003 二试 3）由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l12q(q+1)2+1，q2，qN已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2 条连线段证明：图中必存在一个空间四边形( 即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形 ) 【解析】证明：设点集为VA0，A1，An 1 ，与Ai连线的点集为Bi，且 |Bi| bi于是 1bin1又显然有i0n1bi2lq(q+1)2+2若存在一点与其余点都连线，不妨设b0n1则B0中n1 个点的连线数lb012q(q+1)2+1(n1) ( 注意：q(q+1) q2+qn1) 12(q+1)(n1) (n1)+1 12(q1)(n1)+1 12(n1)+112(n1)+1 ( 由q2) 但若在这n1 个点内，没有任一点同时与其余两点连线，则这n1 个点内至多连线n12条，故在B0中存在一点Ai，它与两点Aj、Ak(i、j、k互不相等，且1i，j，k) 连了线，于是A0、Aj、Ai、Ak连成四边形现设任一点连的线数n2且设b0q+2n2且设图中没有四边形于是当ij时，Bi与Bj没有公共的点对，即|BiBj| 1(0 i，jn1) 记B0V B0，则由 |BiB0| 1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档得|BiB0| bi1(i1，2，n1) ，且当 1i，jn1 且ij时，BiB0与BjB0无公共点对从而 (n1)(nb0)(nb01) (nqq+2b0)(nqqn+3b0) (n1q(q+1) 代入 ) 得q(q+1)(nb0)(nb01) (nqq+2b0)(nqqn+3b0) ( 各取一部分因数比较) 但(nqqn+3b0) q(nb01) (q1)b0n+3(b0q+2) (q1)(q+2) n+3q2+q+1n0 (nqq+2 b0) (q+1)(nb0) qb0qn+2 q(q+1) n+2 1 0又(nqqn+3b0) 、(nqq+2b0) 、q(nb01) 、 (q+1)(nb0) 均为正整数，从 而 由 、 得 ，q(q+1)(nb0)(nb0 1) (nqq+2b0)(nqqn+3b0) 由、矛盾，知原命题成立又证：画一个nn表格，记题中n个点为A1，A2，An，若Ai与Aj连了线，则将表格中第i行j列的方格中心涂红于是表中共有2l个红点， 当d(Ai) m时，则表格中的i行及i列各有m个红点且表格的主对角线上的方格中心都没有涂红由已知，表格中必有一行有q2 个红点不妨设最后一行前q2 格为红点其余格则不为红点 ( 若有红点则更易证) ，于是：问题转化为：证明存在四个红点是一个边平行于格线的矩形顶点若否，则表格中任何四个红点其中心都不是一个边平行于格线的矩形顶点于是，前n1 行的前q2 个方格中， 每行至多有1 个红点 去掉表格的第n行及前q2 列，则至多去掉q2(n1) q2q2q(q1)21 个红点于是在余下(n1) (nq2)方格表中，至少有2l(q1)21q(q1)22(q1)21(q1)(q1)21q3q2q个红点设此表格中第i行有mi(i1，2，n1) 个红点，于是，同行的红点点对数的总和名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档i1n1C2 mi其中n1q2q ( 由于当nk时， C2nC2kC2 n1C2 k1，故当红点总数16、 （ 2008 一试 14）解不等式121086422log (3531)1log (1)xxxxx【解析】方法一：由44221log (1)log (22)xx，且2log y在(0,)上为增函数，故原不等式等价于1210864353122xxxxx即1210864353210 xxxxx分组分解12108xxx1086222xxx864444xxx642xxx4210 xx，864242(241)(1)0 xxxxxx，所以4210 xx，221515()()022xx。 所 以2152x， 即151522x故原不等式解集为5151(,)22方法二：由44221log (1)log (22)xx，且2log y在(0,)上为增函数，故原不等式等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档17、 （ 2009 一试 11）求函数2713yxxx的最大和最小值【解析】函数的定义域为013，. 因为27132713213yxxxxxx27133 313当0 x时等号成立故y的最小值为3 313又由柯西不等式得222713yxxx1112273 1312123xxx所以11y 由柯西不等式等号成立的条件，得 49 1327xxx， 解得9x 故当9x时等号成立 因此y的最大值为1118、 （ 2009 二试 2）求证不等式：2111ln12nkknk，1n，2，【解析】证明：首先证明一个不等式：ln(1)1xxxx，0 x事实上，令( )ln(1)h xxx ，( )ln(1)1xg xxx则对0 x，1( )101h xx，2211( )01(1)(1)xg xxxx于是( )(0)0h xh，( )(0)0g xg在中取1xn得111ln 11nnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档19、 （ 2012 二试3）设012,nP P PP是平面上1n个点，它们两两间的距离的最小值为(0)d d求证：01020()(1)!3nndP PP PP Pn因而01020()(1)!3nndP PP PP Pn证法二 : 不妨设01020.nP PP PP P名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档以(0,1,2, )iP ik为圆心 ,2d为半径画1k个圆 , 它们两两相离或外切，设Q是是圆iP上任意一点 ,由于00000013222iiikkkdP QP PPQP PP PP PP P因而 , 以0P为圆心 , 032kP P为半径的圆覆盖上述个圆故22003()(1) ()1(1,2, )223kkddP PkP Pkkn所以01020()(1)!3nndP PP PP Pn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -