高数AB练习册答案详解总习题七.pdf
总习题七 1.(1) 设,:,Dx yaxa xya,1,:0,Dx yxa xya, 则cos sinDxyxy d_. (A)12cos sinDxyd; (B)12Dxyd; (C)14cos sinDxyxy d; (D). 0解. 选(A). (2) 设2222, ,:x y zxyza,1是位于第一卦限部分, 则 2xyzdv_. (A)222xyzdv; (B)128xyzdv; (C)12228xyzdv; (D)1224x dv. 解. 选(B). (3),fx y在有界闭区域上有二重积分的充分条件是它在上 DD_,在此条件下 , 必存在,D, 使得,Dfx y d_. 解. 连续;,f, 其中,D. (4) 交换积分次序,222202,yyyydyfx y dx_. 解.22111111,xxdxfx y dy. 1(5) 设,:,Dx yaxa xya,1,:0,Dx yxa xya, 则 2xDye d_. (A)0; (B)21xDye d; (C)212xDye d; (D)214xDye d. 解. 选(C). (6) 设2222, ,:,0 x y zxyzRz,1是位于第一卦限部分, 则下列正确的是 _. (A)14xdvxdv; (B)14ydvydv; (C); (D)14zdvzdv14xyz dvxyz dv. 解. 选(C). (7) 设2222, ,:x y zxyza,1, ,:0,0,0 x y zxyz, 则下列错误的是 _. (A)2222xyzdvxyzdv; (B)122228xyzdvxyzdv; (C)12224xyzdvx dv; (D)1228xyzdvxyzdv. 解. 选(D). 22. 设有质量M的均匀薄片 , 占有区域222,:,0Dx yxyRy, 圆心上方有质量的质点,mPOPa, 求薄片对该质点的引力 . 解. 质点位于0,0, a, 设0,yzFFF, 其中30yDGmyFdr2232222002sin2lnRdRaRGmdGmaaRaR,22MR, 33222200201RzDGmadaFdGma dGmraRa. 3. 求222222ln1zxyzIdvxyz, 其中222:1xyz. 解. 0I4. 求2Ixyzdv, 其中由xOz2平面上的曲线2xz绕轴 z旋转所成的旋转面与平面4z围成. 解.,22:20 xyzz4222Ixyzdv222284422000225123xyzdddzdzz dxdy. 5. 证明: 曲面221zxy上任意一点处的切平面与曲面22zxy所围立体的体积为一个定值. 证. 曲面在000,xyz处的切平面:0000022xxxyyyzz012, 即, 与22000022x xy yzxy2zxy联立 , 消去, 得到 z32001xxyy2ydv, 故所围立体的体积为 2200222200001221xxyyVx xy yxyx2222002222001111xyxxyyxxyydvxydv, 证毕. 6. 设fx在0,1上连续 , 且0fx, 证明:110011fx dxdxfx. 证. 左式0,10,10,10,10,10,112fxfxfyddfyfyfxd, 证毕. 7. 交换积分次序 , 证明:1120000112yxdx dyfz dzzfz dz. 提示: 左式. 111110000 xxxzzzzdx dzfz dydz dxfz dydzxz fz dx证.1110000000yxxxxzdx dyfz dzdx dzfz dydxxz fz dz11111220001122zzxdzxz fz dxzxfz dzzfz dz, 证毕. 8. 设有半径为的球, 球心位于半径为的定球球面上 , 求使它 rar位于定球内部的那部分表面积取到最大值. 解.242222222222224rxyzaaxykraxyzr, 故S r222222222xykrrdxdyr rarxy,2342023dSrrrdraa, 又2244333220rarad Srdra, 故43ra为最大值点. 49. 设f u连续,222F tzfxydv222,:,0 xytzh, 求dFdt,20limtF tt. 解.22222000002ththF tddzfdzzfdz d, 故 32220223hhFttzftdzthft; 222200022000lim2lim2lim2thhtttzfdz dtzftdzF tttt3222000lim003hhthzftdzzfdzfh. 10. 求221DIxy fxyd, 其中D由3yx,1y1x,围成 , f u连续 . 解.333400411225xDDxIxddxxdyx dx. 5
