导数研究函数零点问题.pdf
利用导数研究方程的根函数与 x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与 0 的关系；第三步：解不等式（组）即可；1、已知函数( )e ,xf xxR. () 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0) 处的切线方程 ; ( ) 证明 : 曲线y = f (x)与曲线2112yxx有唯一公共点 . 【答案】解:( ) f (x)的反函数xxgln)(, 则 y=g(x) 过点 (1,0) 的切线斜率k=(1)g. 1(1)gx1(x)gk. 过点(1,0) 的切线方程为 :y = x+ 1 ( ) 证明曲线 y=f(x)与曲线1212xxy有唯一公共点 , 过程如下 . 0)0( ,0)0( 0)0(, 1)( )( , 1)( hhhexhxhxexhxx，且的导数因此, 所以 , 曲线 y=f(x) 与曲线1212xxy只有唯一公共点 (0,1).(证毕 ) 2、已知函数( )1xaf xxe(aR,e为自然对数的底数 ). (1) 求函数( )f x的极值 ; (2) 当1a的值时 ,若直线:1lykx与曲线( )yf x没有公共点 , 求k的最大值 . (1)1xafxe, 当0a时,0fx,fx为,上的增函数 , 所以函数fx无极值 . 当0a时, 令0fx, 得xea,lnxa. ,lnxa,0fx;ln ,xa,0fx. 所以fx在,ln a上单调递减 , 在ln ,a上单调递增 , 故fx在lnxa处取得极小值 , 且极小值为lnlnfaa, 无极大值 . 综上 , 当0a时, 函数fx无极小值 ; 当0a,fx在lnxa处取得极小值ln a, 无极大值 . (2) 当1a时,11xfxxe. 直线l:1ykx与曲线yfx没有公共点 , 等价于关于x的方程111xkxxe在R上没有实数解 , 即关于x的方程 : 11xkxe(*) 在R上没有实数解 . 当1k时, 方程 (*) 可化为10 xe, 在R上没有实数解 . 当1k时, 方程 (*) 化为11xxek. 令xg xxe,则有1xgxx e. 令0gx, 得1x, 当x变化时 ,gx的变化情况如下表 : 当1x时,min1g xe, 同时当x趋于时,g x趋于, 从而g x的取值范围为1,e. 所以当11,1ke时, 方程 (*) 无实数解 , 解得k的取值范围是1,1e. 综上 , 得k的最大值为1. 3、已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数（1） 求实数k的取值范围；（2） 若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围解： （1）由题意xkxxf) 1()(2)(xf在区间),2(上为增函数，0)1()(2xkxxf在区间),2(上恒成立即xk1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k（2）设312)1(3)()()(23kxxkxxgxfxh，令0)(xh得kx或1x由（ 1）知1k，当1k时，0) 1()(2xxh，)(xh在 R上递增，显然不合题意当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表：极大值312623kk极小值21k由于021k，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根，故需0312623kk，即0)22)(1(2kkk02212kkk，解得31k综上，所求k的取值范围为31k4、 已知函数ln()xfxeaa为常数是实数集 R上的奇函数，函数sing xfxx是区间 一1，1 上的减函数 (I)求a的值； (II) 若21g xtt在x 一1， 1 上恒成立， 求t 的取值范围 ( ) 讨论关于 x的方程2ln2( )xxexmf x的根的个数。解： （I）)ln()(aexfx是奇函数，则(0)0f恒成立 .0ln()0.ea01,0.eaa（II ）又)(xg在 1，1 上单调递减，, 1sin)1()(maxgxg, 11sin2tt只需.)1(011sin)1(2恒成立其中tt令),1(11sin)1()(2tth则, 011sin1012ttt,01sin01sin122恒成立而ttttt1t. （III ）由（ I ）知,2ln,)(2mexxxxxxf方程为令mexxxfxxxf2)(,ln)(221，21ln1)(xxxf，当,0()(,0)(,),0(11exfxfex在时上为增函数；),0)(,0)(,),11exfxfex在时上为减函数，当ex时，.1)()(1max1eefxf而222)()(emexxf，)(1xf函数、)(2xf在同一坐标系的大致图象如图所示，当eemeem1,122即时，方程无解 . 当eemeem1,122即时，方程有一个根 . 当eemeem1,122即时，方程有两个根 . 5、. 已知函数3( )sin(),2f xaxxaR且在, 0,2上的最大值为32，（1）求函数 f(x) 的解析式；(2) 判断函数 f(x) 在（ 0，）内的零点个数，并加以证明。（I）33( )sin22f xaxx在2,0上恒成立，且能取到等号( )sin2g xxxa在2,0上恒成立，且能取到等号( )sincos0( )g xxxxyg x在2, 0上单调递增（II）3( )sin( )( )sincos2f xxxh xfxxxx当x2,0时，( )0( )fxyf x在(0,2上单调递增33(0) ()0( )222ffyf x在(0,2上有唯一零点当x, 2时，( )2cossin0( )h xxxxfx当x, 2上单调递减2( )()022ff存在唯一0(,)2x使0()0fx得：( )f x在0,)2x上单调递增，0(,x上单调递减得：x0,2x时，( )0f x，x0,x时，0()( )0f xf，( )yfx在0,x上有唯一零点由得：函数)(xf在),0(内有两个零点。6、已知函数32( )f xaxbxcx在点0 x处取得极小值 4，使其导数( )0fx的x的取值范围为(1,3)，求：（1）( )f x的解析式；（2）若过点( 1,)Pm可作曲线( )yf x的三条切线，求实数m的取值范围解： （1）由题意得：2( )323 (1)(3),(0)fxaxbxca xxa在(,1)上( )0fx；在(1,3)上( )0fx；在(3,)上( )0fx因此( )f x在01x处取得极小值44abc，(1)320fabc，(3)2760fabc由联立得：169abc，32( )69f xxxx（2）设切点 Q( ,( )t f t，,( )( )()yf tftxt22( 3129)(26 )ttxttt过( 1,)m令22( )66126(2)0g ttttt，求得：1,2tt，方程( )0g t有三个根。需：( 1)0(2)0gg23 129016 122490mm1611mm故：1116m；因此所求实数m的范围为：( 11,16)7、已知32( )4f xxaxx（a为常数）在2x时取得一个极值，（1）确定实数t的取值范围，使函数( )f x在区间 ,2t上是单调函数；（2）若经过点 A（2，c） （8c）可作曲线( )yf x的三条切线，求c的取值范围解： （1）函数( )f x在2x时取得一个极值，且2( )324fxxax，(2)12440fa，2a2( )344(32)(2)fxxxxx23x或2x时，2( )0,3fxx或2x时，2( )0,23fxx时，( )0fx，( )f x在2(,2,)3上都是增函数，在2,23上是减函数使( )f x在区间 ,2t上是单调函数的t的取值范围是2,2)3（2）由（ 1）知32( )24f xxxx设切点为00(,)P xy，则切线的斜率2000()344kfxxx，所以切线方程为：322000000(24 )(344)()yxxxxxxx将点(2, )Ac代人上述方程，整理得：3200028880 xxxc经过点(2, )(8)Ac c可作曲线( )yf x的三条切线，方程3200028880 xxxc有三个不同的实根设320000()2888g xxxxc，则2000002()6168023g xxxxx或，0()g x在2(,)3上单调递增，在2(,2)3上单调递减，在(2,)上单调递增，故2( ) 0,3(2) 0,gggg极大极小得：280827c
