2022年高中数学导数压轴题专题拔高训练 .pdf

高中数学导数压轴题专题拔高训练一选择题共16 小题1已知函数f x=ax3+bx2的图象在点1，2处的切线恰好与x3y=0 垂直，又fx在区间 m，m+1上单调递增，则实数m 的取值范围是Am 3 Bm 0 Cm 3 或 m0 Dm 3 或 m 0 考点 ： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数单调性的性质；两条直线垂直的判定专题 ： 计算题；压轴题分析：求出 f x，根据切线与x3y=0 垂直得到切线的斜率为3，得到 f 1 =3，把切点代入fx中得到 f 1=2，两者联立求出a 和 b 的值，确定出fx的解析式，然后求出f x大于等于0 时 x 的范围为 ， 2或 0， +即为 fx的增区间根据fx在区间 m，m+1上单调递增，得到关于m的不等式，即可求出m 的取值范围解答：解： f x=3ax2+2bx，因为函数过1，2，且切线与x3y=0 垂直得到切线的斜率为3，得到：即解得：，则 fx=x3+3x2fx=3x2+6x=3x x+2 0 解得： x 0 或 x 2，即 x 0 或 x 2 时， fx为增函数；所以 m，m+1? ， 2或m， m+1? 0，+即 m+1 2 或 m 0，解得 m 3 或 m 0 故选 D 点评：考查学生掌握两条直线垂直时斜率的关系，会利用导数研究曲线上某点的切线方程，会利用导数研究函数的单调性此题的突破点是确定函数的解析式2已知函数fx=lnx+m 2f1 ，m R函数 fx的图象过点1， 2且函数 gx=+afx在点 1，g1 处的切线与y 轴垂直，则gx的极小值为A1B1 C2D2 考点 ： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值专题 ： 计算题；压轴题分析：求出导函数，令x=1 求出 f1的值，再将1， 2代入 fx求出 m 的值；求出gx令其 x=1 求出 g 1 =0 求出 a值；求出gx=0 的根，判断出根左右两边的符号，求出极小值解答：解： f 1=1 fx=lnx+m 2 函数 fx的图象过点1， 2 2=m2 m=0 fx=lnx 2 在点 1，g1 处的切线与y 轴垂直 g 1=0 即 1+a=0 解得 a=1 令 g x=0 得 x=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 26 页当 x 1 时， g x 0；当 0 x1 时， g x 0 所以当 x=1 时， gx有极小值g 1=1 2=1 故选 B 点评：此题考查曲线的切线问题时，常利用的是切线的导数在切点处的导数值为切线的斜率；解决函数的极值问题唯一的方法是利用导数3平面直角坐标系xOy 中，曲线 y=axa0 且 a 1在第二象限的部分都在不等式x+y 1 xy+1 0 表示的平面区域内，则a的取值范围是A0aB a1 C1a e Da e 考点 ： 利用导数研究曲线上某点切线方程；二元一次不等式组与平面区域专题 ： 计算题；压轴题分析：先画出不等式x+y1 xy+1 0 表示的平面区域，然后根据曲线y=axa0 且 a 1在第二象限的部分都在不等式 x+y 1xy+10 表示的平面区域内，则考虑零界位置，直线xy+1=0 与曲线 y=ax相切与点 0，1是零界位置，求出此时a 的值，从而得到结论解答：解：画出不等式x+y 1 x y+1 0 表示的平面区域曲线 y=axa0 且 a 1在第二象限的部分都在不等式x+y1 xy+1 0 表示的平面区域内 a1，直线 xy+1=0 与曲线 y=ax相切与点 0，1是零界位置而 ax=axlna，则 lna=1 即 a=e 1a e 故选 C点评：此题主要考查了二元一次不等式组与平面区域，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，属于中档题4对于三次函数fx=ax3+bx2+cx+da 0 ，定义：设f x是函数y=f x的导数，假设方程f x =0 有实数解 x0，则称点 x0，f x0 为函数y=f x的 “ 拐点 ” 有同学发现：“ 任何一个三次函数都有 拐点 ；任何一个三次函数都有对称中心；且 拐点 就是对称中心 ” 请你将这一发现为条件，解答问题：假设函数 g x =x3x2+3x+，则的值是A2010 B2011 C2012 D2013 考点 ： 实际问题中导数的意义专题 ： 综合题；压轴题；新定义分析：构造 h x=x3x2+3x，mx=，则 gx=hx+mx，分别求得对称中心，利用g x+g1x=hx+h1x+mx+m1x=2，可得结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 26 页解答：解：由题意，令hx=x3x2+3x，mx=则 h x =x2x+3，h x=2x1，令 h x=0，可得 x= h=1，即 hx的对称中心为，1， hx+h1x=2 m x=的对称中心为，0 m x+m1x=0 gx=hx+mx gx+g1x=hx+h1x+mx+m1x=2 =2010 故选 A点评：本小题考查新定义，考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查计算能力，属于中档题5假设函数f x=a3xax3在区间 1，1上的最小值等于3，则实数a 的取值范围是A 2，+BCD 2，12考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题 ： 计算题；压轴题；分类讨论分析：由函数 f x=a3xax3在区间 1，1上的最小值等于3，由函数解析式先求其导函数，进而可判断函数在区间1， 1上的单调性，从而可求函数的最小值，即可解答：解：由函数fx= a3x ax3 求导函数为：fx= 3ax2+ a3， 当 a=0 时， f x =3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f 1 =3，符合题意，所以 a=0 符合题意； 当 a 0 时， fx=0，即3ax2=a3 I当 0a 3 时， fx=3ax2+ a3为开口向下的二次函数，且=12aa3 0，fx 0 恒成立所以函数fx在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f1=3，此时符合题意； II当 a 0 或 a3 时， fx=0，即3ax2=a3 解得：， 当，即 a，函数 f x在 1，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以此时函数在定义域的最小值为f 1=3 或 f=令解得： a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 26 页，即时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f 1 =3，符合题意综上所述：当即时符合题意故选 B 点评：此题考查了利用导数求函数的单调区间，还考查了学生在函数字母的不等式分类讨论思想及学生的计算能力6已知函数的两个极值分别为fx1 ，fx2 ，假设 x1，x2分别在区间 0，1与1，2内，则b 2a 的取值范围是A 4， 2B，27，+ C2，7D 5，2考点 ： 利用导数研究函数的极值专题 ： 计算题；压轴题分析：先根据导函数的两个根的分布建立a、 b的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可解答：解： 函数 f x=x2+ax+2b=0 的两个根为x1，x2， x1，x2分别在区间 0， 1与 1，2内?画出区域图得 b2a 2，7，故选 C点评：此题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题7f x=2x36x2+a 在2，2上有最大值3，那么在 2， 2上 f x的最小值是A5 B11 C29 D37 考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值专题 ： 计算题；压轴题分析：此题需要先根据条件：fx有最大值3 来求出参数a 的值，再进一步求出fx的最小值来解答：解：由已知f x=6x212x，令f x 0 得 x 0或 x 2，又因为x 2， 2因此 f x在 2， 0上是增函数，在0，2上是减函数，所以 f x在区间 2，2的最大值为fxmax=f0 =a=3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 26 页由以上分析可知函数的最小值在x=2 或 x=2 处取到，又因为 f 2 =37，f2=5，因此函数的最小值为37故应选 D 点评：此题考查了函数的导数的应用，以三次的多项式类型函数为模型进行考查，以同时考查函数的单调性为辅，紧扣大纲要求，模型典型而又考查全面，虽是基础题，却是一个非常好的题目8已知 fx=x33x+m，在区间 0，2上任取三个数a，b， c，均存在以fa ，fb ，fc为边长的三角形，则 m 的取值范围是Am2 Bm4 Cm6 Dm8 考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题 ： 计算题；压轴题分析：三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间0， 2上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解解答：解：由 fx =3x23=3x+1 x1=0 得到 x1=1，x2=1舍去 函数的定义域为0，2 函数在 0，1上 f x 0， 1，2上 fx 0， 函数 fx在区间 0，1单调递减，在区间1，2单调递增，则 fxmin=f 1=m2，fxmax=f2=m+2，f0 =m 由题意知， f 1=m20 ；f1 +f1 f2，即 4+2m2+m由 得到 m6 为所求故选 C 点评：此题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间0，2上的最小值与最大值9 2011?开封二模已知fx=lnx2+1 ，gx=x m，假设 ?x1 0，3， ?x2 1，2，使得 fx1 gx2 ，则实数m 的取值范围是A，+B ，C，+D ，考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值专题 ： 计算题；压轴题分析：先利用函数的单调性求出两个函数的函数值的范围，再比较其最值即可求实数m 的取值范围解答：解：因为x1 0，3时， fx1 0，ln4；x2 1，2时， gx2 m，m故只需 0 m? m 故选 A点评：此题主要考查函数恒成立问题以及函数单调性的应用，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题10假设不等式x2+2xy a2x2+y2对于一切正数x、 y 恒成立，则实数a 的最小值为A2BCD1考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；基本不等式专题 ： 计算题；压轴题；不等式的解法及应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 26 页分析：不等式整理为 2a122?+a 0 对于一切正数x， y 恒成立，换元，再别离参数，求出函数的最值，即可求得结论解答：解：由题意可得：不等式x2+2xy a2x2+y2对于一切正数x，y 恒成立，即不等式 2a1x22xy+ay2 0 对于一切正数x，y 恒成立，即不等式 2a1 22? +a 0 对于一切正数x， y 恒成立，令 t=，则有 t0，所以 2a1t22t+a 0 对于一切t 0，+恒成立，对于一切t 0，+恒成立，令 ft=，则 f t= t 0，1时， f t 0，函数单调递增，t 1， +时， ft 0，函数单调递减 t=1 时，函数取得最大值1 a 1 实数 a 的最小值为1 故选 D 点评：此题考查恒成立问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题11 2011?上饶二模已知定义在1， +上的函数当 x 2n1，2nn N*时，函数fx的图象与x 轴围成的图形面积为S，则 S=A1B2C3D4考点 ： 定积分在求面积中的应用；函数的图象与图象变化；函数的周期性专题 ： 压轴题；数形结合分析：本选项题利用特殊值法解决取n=1，由题意可知当x 1，2时，函数f x的图象与x 轴围成的图形是一个三角形，然后根据三角形的面积的运算公式进行求解即可解答：解：令 n=1 得， 2n1，2n=1，2，当 x 1，2时，函数 f x的图象与x 轴围成的图形是一个三角形，如下图，其面积为： S= 1 4=2，故选： B点评：此题考查函数的图象与图象变化、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 26 页化归与转化思想属于基础题12设函数，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x1 时， f x与 gx的大小关系是Afx g xBfx gxCfx=gxDfx gx与 gx的大小不确定考点 ： 利用导数研究曲线上某点切线方程；对数函数的图像与性质专题 ： 计算题；压轴题分析：fx与 x 轴的交点 1，0在 gx上，所以a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，可求出a 与 b的值，令hx=fxg x，然后利用导数研究该函数在1，+上的单调性，从而得到正确选项解答：解： fx与 x 轴的交点 1，0在 gx上，所以 a+b=0，在此点有公切线，即此点导数相等，fx=， g x=a，以上两式在x=1 时相等，即1=ab，又因为 a+b=0，所以 a= ，b=，即 g x=， fx=lnx ，定义域 x|x 0，令 h x=f x gx=lnx +，对 x 求导，得h x= x1 h x 0 hx在 1，+单调递减，即hx 0 fx g x故选 B点评：此题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数的基本性质，同时考查分析问题的能力，属于中档题13假设函数，且 0 x1x21，设，则 a，b 的大小关系是Aab Ba b Ca=b Db 的大小关系不能确定考点 ： 利用导数研究函数的单调性专题 ： 综合题；压轴题分析：求出函数的导函数，根据x 的范围和正切函数的图象判断出导函数的正负即可单调函数的单调性，利用函数的单调性即可判断出a 与 b 的大小解答：解： f x=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 26 页 0 x 1时， x tanx f x 0，故函数单调递减，所以当 0 x1x21 时， fx1 fx2即 ab 故选 A 点评：此题考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调性，会根据函数的单调性由自变量的大小判断出其对应的函数值的大小，是一道中档题14已知函数fx=x2+mx+lnx 是单调递增函数，则m 的取值范围是Am 2Bm 2Cm2Dm 2考点 ： 利用导数研究函数的单调性专题 ： 计算题；压轴题分析：先求出导函数，然后将函数fx=x2+mx+lnx 是单调递增函数，转化成fx 0 在0，+上恒成立，然后将 m 别离出来，利用基本不等式求出另一侧的最值，即可求出所求解答：解： fx=x2+mx+lnx f x=2x+m+ 函数 fx=x2+mx+lnx 是单调递增函数， f x=2x+m+ 0 在 0，+上恒成立即 m 2x+在 0，+上恒成立而 x 0，+时 2x+ 2 m 2即 m 故选 B点评：此题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及恒成立问题，同时考查了转化的数学思想，属于中档题15已知奇函数fx在 x0 时，fx在上的值域为ABCD考点 ： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域；函数奇偶性的性质专题 ： 计算题；压轴题分析：利用导数先求函数fx在 x 1，2时的单调性，然后根据单调性可求函数在上的最值，根据奇函数的对称性可求函数在上的值域解答：解：当 x时， f x=x21 当 x 1，2时， fx 0，fx在 1 ，2单调递增；当x时， fx 0，fx在 上单调递减 当 x=1 时，函数有最小值f1=，而 f f2=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 26 页 函数 fx为奇函数，图象关于原点对称fx在上的值域为 故选 C 点评：此题主要考查了利用导数研究函数的单调性，求解函数的最值，奇函数的对称性的应用是求解此题的关键16设函数 fx=exsinx cosx ，假设 0 x 2012 ，则函数 fx的各极大值之和为ABCD考点 ： 利用导数研究函数的极值专题 ： 计算题；综合题；压轴题；转化思想分析：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f 2k + =e2k +sin2k + cos 2k + =e2k +，再利用数列的求和方法来求函数fx的各极大值之和即可解答：解：因为函数fx=ex sinx cosx，所以 fx=ex sinxcosx+exsinxcosx=2exsinx， x 2k ，2k + 时原函数递增，x 2k + ，2k +2 时，函数递减故当 x=2k +时， fx取极大值，其极大值为f2k + =e2k +sin2k + cos 2k + =e2k +又 0 x 2012 ， 函数 f x 的各极大值之和S=e+e3+e5+ +e2009=故选： D点评：此题主要考查利用导数研究函数的极值以及数列的求和利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握二解答题共14 小题17已知函数fx=2x的定义域是 0， 3，设 gx =f2x f x+2 1求 gx的解析式及定义域；2求函数gx的最大值和最小值3是否存在实数k，使得 k2f x gx有解，假设存在，求出k 的范围；假设不存在，说明理由考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法专题 ： 计算题；综合题；压轴题；换元法分析： 1把 2x、x+2 代入 fx=2x中，即可求得gx的解析式，利用复合函数定义域的求法可得，解此不等式即可求得函数的定义域； 2令 t=2x，则可将函数gx=2x24?2x，转化为一个二次函数，然后根据二次函数在定区间上的最值问题，即可得到gx的最大值和最小值； 3假设存在实数k，使得 k2f x gx有解，即k2f x+g x有解，构造函数Fx=2f x+gx=2x22?2x， 0 x 1，利用换元法，转化为二次函数在定区间上的最值问题，即可求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 26 页得结果解答：解： 1 gx=f2x fx+2=22x2x+2=2x24?2x，其定义域须满足，解得 0 x 1， gx=2x2 4?2x，函数 gx的定义域为0，1； 2gx=2x24?2x0 x 1，令 t=2x， 0 x 1，1 t 2，所以有： ht=t24t=t2241 t 2所以：当t 1，2时， ht是减函数， fxmin=h 2=4，fxmax=h1=3； 3假设存在实数k，使得 k2f x gx有解，即k2f x+g x有解，令 F x=2fx+gx=2x22?2x， 0 x 1，令 t=2x， 0 x 1，1 t 2，所以有： Gt=t22t=t1211 t 2所以：当t 1，2时， Gt是增函数， Fxmin=G2=1 k 1点评：此题只要考查代入法求函数的解析式和复合函数的定义域，以及利用换元法求函数的最值问题，表达了换元的数学方法和转化的数学思想，特别注意新变量的取值范围，同时也考查了二次函数在定区间上的最值问题，属中档题18已知函数fx=讨论函数fx的极值情况；设 gx=lnx+1 ，当 x1x20 时，试比较fx1x2与 g x1x2及 gx1 gx2三者的大小；并说明理由考点 ： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性专题 ： 综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想；综合法分析： 对函数的解析式进行研究，当x0 时，函数是增函数，且函数值为正，故极值只可能存在于x0时，求导，研究函数的单调性，由于导数中存在参数m，其取值范围对导数的取值有影响，故需要对其分类讨论，观察发现需要分m=0，m 0，m0 三类进行研究 三数的比较中前两数的比较可以构造新函数，研究其函数值的取值范围确定两数的大小，后两数的比较由于牵涉到两个变量，且函数名相同故可以采用作差法比较解答：解： 当 x0 时， fx=ex1 在 0，+单调递增，且fx 0；当 x 0 时， f x=x2+2mx 假设 m=0，f x=x2 0，fx=x3在 ，0上单调递增，且fx=x3 0又 f0=0，fx在 R 上是增函数，无极植； 假设 m0，f x=xx+2m 0，则 fx=x3+mx2在 ，0单调递增，同 可知 fx在 R 上也是增函数，无极值；4 分 假设 m0，fx在 ， 2m上单调递增，在2m，0单调递减，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 26 页又 fx在 0，+上递增，故fx有极小值f0=0，fx有极大值f 2m=m3 6 分 当 x0 时，先比较ex1 与 lnx+1的大小，设 h x=ex1lnx+1 x0h x=ex0 恒成立 hx在 0，+是增函数，hx h0 =0 ex 1lnx+1 0 即 ex1 ln x+1也就是 fx gx，对任意x 0 成立故当 x1x20 时， fx1x2 gx1x2 10 分再比较 gx1x2=lnx1x2+1与 g x1 g x2=lnx1+1 lnx2+1的大小 gx1x2gx1 g x2=lnx1x2+1ln x1+1+lnx2+1=ln=ln1+0 gx1x2 gx1 g x2 fx1x2 gx1x2 gx1 gx2 12 分点评：此题考查利用导数研究函数的极值，求解的关键在第一小题中是根据导数的解析式对参数进行分类，在第二小题中通过观察灵活选择比较大小的方法是解此题的关键，很重要，前两者的比较选用了函数法，后两者的比较选用了作差法，根据不同情况作出不同选择，表达了数学解题的灵活性此题考查了观察能力及灵活转化的能力以及分类讨论的思想，较难！19已知函数求函数fx的单调区间；函数 fx在区间 1，2上是否有零点，假设有，求出零点，假设没有，请说明理由；假设任意的x1，x2 1，2且 x1 x2，证明： 注： ln2 0.693考点 ： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值专题 ： 压轴题分析： 先求导函数，根据，可得，从而可得在区间和2，+上， fx 0；在区间上 f x 0，由此可得f x的单调递增区间与单调递减区间； 确定 fx在 x 1，2的最大值，即可判断不存在符合条件的a，使得 fx=0； 证明一：当时， fx在上单调递增，在上单调递减，只需证明，都成立，即可得证命题成立；证明二：当时，x 1，2fx在上单调递减，在上单调递增，确定，利用导数的几何意义即可证得结论解答：解：x0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 26 页 x0 2分， ， 在区间和 2，+上， f x 0；在区间上 f x 0，故 fx的单调递增区间是和 2，+，单调递减区间是 4 分 先求 fx在 x 1，2的最大值由 可知，当时， fx在上单调递增，在上单调递减，故 6 分由可知，所以 2lna 2，所以 2lna2，所以， 22lna0，所以 f xmax0，故不存在符合条件的a，使得 fx=0 8 分 证明一：当时， fx在上单调递增，在上单调递减，只需证明，都成立，即可得证命题成立10 分，设， ga在上是减函数，设， ha在上是增函数，综上述命题成立12 分证明二：当时，x 1，2fx在上单调递减，在上单调递增，f 1=1a0，f 2=0， 10 分由导数的几何意义，有对任意x1，x2 1，2，x1 x2 12 分点评：此题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查不等式的证明，解题的关键是确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 26 页函数的最值20已知函数fx是在 0，+上每一点处均可导的函数，假设xf x fx在 0， +上恒成立 求证：函数在 0，+上是增函数； 当 x1 0，x20 时，证明： f x1+fx2 fx1+x2 ；已知不等式lnx+1 x 在 x 1 且 x 0 时恒成立，求证：考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的单调性与导数的关系专题 ： 压轴题分析：I 先利用导数的四则运算，求函数g x的导函数，结合已知证明导函数g x 0 在 0，+上恒成立，即可证明其在0，+上是增函数； 利用 的结论，且x10，x20 时， x1+x2x1，且x1+x2x2，得，从中解出f x1、fx2即可证得结论；II构造一个符合条件的函数f x=xlnx ，利用 I的结论，得x1lnx1+x2lnx2+ +xnlnxn x1+x2+ +xnlnx1+x2+ +xn n 2，令，再将放缩，即可证得所证不等式解答：解 ， xf x fx， gx 0 在 0，+上恒成立，从而有在 0，+上是增函数 由 知在 0，+上是增函数，当x10， x20 时，有，于是有：，两式相加得：fx1+fx2 fx1+x2 由 可知： fx1+f x2 fx1+x2， x10，x20恒成立由数学归纳法可知：xi0 i=1，2，3， ，n时，有： f x1 +fx2+fx3 + +fxn f x1+x2+x3+ xn n 2恒成立设 f x =xlnx ，则，则xi0 i=1，2，3， ，n 时， x1lnx1+x2lnx2+ +xnlnxn x1+x2+ +xn ln x1+x2+ +xn n 2 *恒成立令，记精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 26 页又，又，且 lnx+1 x x1+x2+ +xn ln x1+x2+ +xn x1+x2+ +xnln1x1+x2+ +xn=* 将 * 代入 *中，可知：于是点评：此题综合考查了导数的四则运算，利用导数证明函数的单调性，利用函数的单调性证明不等式，以及利用函数性质构造数列证明数列不等式的方法，难度较大21已知函数fx=mlnx1+ m1x，m R 是常数1假设，求函数 fx的单调区间；2假设函数fx存在最大值，求m 的取值范围；3假设对函数fx定义域内任意x1、x2x1 x2 ，恒成立，求m 的取值范围考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性专题 ： 综合题；压轴题分析：1先确定函数的定义域，然后求出函数的导函数f x，在函数的定义域内解不等式f x 0 和 f x 0，即可求出函数的单调区间 2根据函数的增减区间确定函数的最大值，从而解出m 的取值范围 3由得，利用基本不等式得出再利用对数函数的性质，得出所以，从而 m 只需小于0 即可解答：解： 1 fx的定义域为1，+ 1 分时， 2 分解 f x=0 得 x=2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 26 页当 x 1，2时， f x 0，即 fx在 1，2单调递增 3 分；当 x 2，+时， f x 0，即 fx在 2，+单调递减 4 分 2假设 m 1，则 fx 0，f x单调递增，不存在最大值 5 分假设 m 0，则 fx 0，f x单调递减，不存在最大值 6 分假设 0m1，由 f x=0 得，当时， fx 0，fx单调递增，当时， f x 0，fx单调递减 8 分，所以 f x在取得最大值，所求m 的取值范围为0，1 9 分 3由得 10 分，依题意 x110，x21 0 且 x11 x21，所以 11 分，y=lnx 是增函数，所以 12 分= 13 分，所求 m 的取值范围为，0 14 分点评：此题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力22已知函数，设 Fx=fx+gx 1求 Fx的单调区间；2假设以，图象上任意一点Px0，y0为切点的切线的斜率k 1 恒成立，求实数a的最小值；3是否存在实数m，使得函数的图象与qx =f1+x2的图象恰好有四个不同的交点？假设存在，求出m 的取值范围，假设不存在，说明理由考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性专题 ： 综合题；压轴题；转化思想分析：1先由 fx和 gx构造得到F x的解析式，利用导数大于0 得增区间，小于0 得减区间 2 切线的斜率k 1 恒成立即导数小于等于1 恒成立，从而建立起a与 x 的关系式，利用恒成立求得a3px与 qx的图象有四个不同的交点转化成方程有四个不同的根，别离出m 后，转化成新函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 26 页的最大值和最小值解答：解 1 F a0，由 Fx 0? x 2a，+，由 Fx 0? x 0，2a Fx的单调递减区间为0，2a，单调递增区间为2a，+ 2，则，所以实数a的最小值为 3假设的图象与 q x=f 1+x2=ln x2+1的图象恰有四个不同交点，即有四个不同的根，亦即有四个不同的根令，则当 x 变化时 G x Gx的变化情况如下表：由表格知：又因为可知，当时，方程有四个不同的解的图象与y=f 1+x2 =lnx2+1的图象恰有四个不同的交点点评：此题是个难题，主要考查了导数在函数单调性和最值中的应用，同时考查了导数的几何意义和恒成立问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 26 页题注意函数的定义域，别离参数在解决恒成立问题中的应用23已知函数fx=x2 alnx，x 1，2 ，1判断函数fx的单调性；2假设 fx在 1，2为增函数，在 0， 1上为减函数求证：方程fx=gx+2 在 0，+内有唯一解；3当 b 1 时，假设在 x 0，1内恒成立，求实数b 的取值范围考点 ： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性专题 ： 计算题；证明题；综合题；压轴题分析：1由 fx的解析式求出fx的导函数，分a 2 和 a 8 以及 2a8 三种情况，分别令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的递增区间；令导函数小于0 列出关于 x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的递减区间； 2由 1不难给出方程fx=gx+2，然后构造函数，利用函数的单调性证明方程解的唯一性； 3fx在 0，1上恒成立在 0，1上恒成立由此能导出b的取值范围解答：解： 1 当 2a8 时，当时， f x 0，fx在单调递减；当时， fx 0，fx在单调递增； 当 a 2 时， fx 0，fx在 1，2单调递增； 当 a 8 时， fx 0，fx在 1，2单调递减； 2，依题意fx 0，x 1，2，即 a 2x2，x 1，2 上式恒成立， a 2又，依题意 gx 0，x 0， 1，即，x 0，1 上式恒成立， a 2由 得 a=2 方程 fx=gx +2，设，令 hx 0，并由 x0，得，解知 x1 令 hx 0，由 x 0，解得 0 x1 列表分析：知 h x在 x=1 处有一个最小值0 当 x 0 且 x 1 时， hx 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 26 页 hx=0 在 0，+上只有一个解即当 x0 时，方程 fx=gx+2 有唯一解； 3fx在 0，1上恒成立，在 0，1上恒成立设，则， 0 x 1? x220， 2lnx0， H x 0，Hxd 0，1单调递减， 1b 1，又 b 1，点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意fx0或 fx0仅是 fx在某个区间上为增函数或减函数的充分条件，在a， b内可导的函数fx在 a，b上递增或递减的充要条件应是fx 0或 fx 0，x a，b恒成立，且fx在 a，b的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数fx在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f x0=0，甚至可以在无穷多个点处fx0 =0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f x是增函数 或减函数 求参数的取值范围时，应令fx 0或 fx 0恒成立，解出参数的取值范围一般可用不等式恒成立理论求解，然后检验参数的取值能否使fx恒等于 0，假设能恒等于0，则参数的这个值应舍去，假设f x不恒为0，则由 fx 0或 f x 0恒成立解出的参数的取值范围确定，属难题24定义 Fx，y=1+xy，x， y 0，+1令函数f x=F 1，log2x24x+9 的图象为曲线c1，曲线 c1与 y 轴交于点 A0，m ，过坐标原点O作曲线 c1的切线，切点为Bn，t n0设曲线c1在点 A、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S，求 S 的值；2当 x，y N*且 xy 时，证明F x，y Fy，x 考点 ： 用定积分求简单几何体的体积专题 ： 综合题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：1 求出 f x 的解析式，求出A 的坐标，利用曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率，切点在曲线上，列出方程组求出B 的坐标，将曲边图象的面积用定积分表示，利用微积分基本定理求出面积 2构造函数hx，求出其导函数判断导函数的符号，判断出hx的单调性，利用其单调性得到不等式，利用不等式的性质得证解答：解： 1Fx，y=1+xy fx=F1，log2x24x+9 =2log2x24x+9 =x2 4x+9 故 A0， 9fx=2x4，过 O 作 C1的切线，切点为Bn，t n 0，解得 B3，6 2令令 Px在 0，+单调递减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 26 页 当 x0 时，有 Px P0， 当 x 1 时有 hx 0hx在 1，+上单调递减 1 xy 时，有yln1+x xln1+y 1+xy 1+yx 当 x，y N*且 xy 时， Fx，y Fy，x点评：此题考查导数的几何意义|导数在曲线切点处的值是曲线的切线斜率、利用定积分求曲边梯形的面积、利用导数研究函数的单调性、不等式的性质25已知函数fx=x3ax2+a21x+b a，b R 假设 x=1 为 fx的极值点，求a 的值；假设 y=f x的图象在点1， f1 处的切线方程为x+y 3=0，求 fx在区间 2，4上的最大值；当 a 0 时，假设f x在区间1，1上不单调，求a的取值范围考点 ： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题 ： 计算题；综合题；压轴题；探究型；数形结合；转化思想分析： 对函数fx求导 f x，根据x=1 为 fx的极值点，得到f1=0，解这个方程即可求得a的值； 根据切点在切线上，求得f1，且切点在y=fx的图象上，代入求得关于a，b的一个方程，根据导数的几何意义知f 1=1，解方程组即可求得a，b 的值，求函数fx在区间2，4上的极值，再与f 2， f4比较大小，可求fx在区间 2，4上的最大值； 由 fx在区间1，1上不单调，得函数f x在 1，1上存在零点，讨论求得a 的值解答：解： f x=x2 2ax+a21 x=1 为 f x的极值点， f 1=0，即 a22a=0， a=0 或 2； II 1，f1 是切点， 1+f1 3=0f 1=2 即 a2a+b=0 切线方程 x+y 3=0 的斜率为 1， f1=1，即 a22a+1=0， a=1， fx= fx=x22x，可知 x=0 和 x=2 是 y=fx的两个极值点 f0=，f 2=4，f4=8 y=fx在区间 2，4上的最大值为8 因为函数fx在区间 1，1不单调，所以函数fx在 1，1上存在零点而 f x=