2022年微分方程复习题 .pdf

精品资料欢迎下载常微分方程复习题一、填空题1微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是 _. 答：1 2形如 _ 的方程称为齐次方程. 答：)(xygdxdy3方程04yy的基本解组是答：cos2 , sin 2xx. 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21xyxy为方程的基本解组充分必要条件是答： 线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）2. 方程02yyy的基本解组是答：xxxe,e3. 若( ) t和( ) t都 是( )XA t X的 基 解 矩 阵 ， 则( ) t和( ) t具 有 的 关 系是。4. 一 阶 微 分 方 程0),(),(dyyxNdxyxM是 全 微 分 方 程 的 充 分 必 要 条 件是。5. 方 程0),(),(dyyxNdxyxM有 只 含x的 积 分 因 子 的 充 要 条 件是。有只含y的积分因子的充要条件是。6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点yx,处 的切线斜率为yx2，则曲线方程为。7. 称为 n阶齐线性微分方程。8. 常系数非齐线性方程( )(1)11( )nnxnnmya yaya yePx(其中( )mPx是 m 次多项式 )中，则方程有形如的特解。9. 二阶常系数线性微分方程32xyyye有一个形如的特解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页精品资料欢迎下载10. 微分方程4210yyy的一般解为。9. 微分方程4230 xyyy的阶数为。10. 若( )(0,1,2, )ix tin为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为. 11. 设( )x t为非齐次线性方程的一个特解, ( )(0,1,2, )ix tin是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为. 12. 若( )(0,1,2, )ix tin是齐次线性方程( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y的n个解，)(tw为其朗斯基行列式，则)(tw满足一阶线性方程。答：1( )0wax w13. 函数是微分方程02yyy的通解 . 14. 方程02yyy的基本解组是15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1(二重根 )，那么该方程有基本解组16.( )YA x Y一定存在一个基解矩阵( )x，如果( )x是( )YA x Y的任一解，那么( )x。17. 若)(t是( )XA t X的 基 解 矩 阵 ， 则 向 量 函 数)(t= 是( )( )XA t XF t的 满 足 初 始 条 件0)(0t的 解 ； 向 量 函 数)(t= 是( )( )XA t XF t的满足初始条件)(0t的解。18. 设12( ),( )XtXt分别是方程组1( )( )XA t XFt，2( )( )XA t XFt的解，则满足方程12( )( )( )XA t XF tFt的一个解可以为。19. 设*X为非齐次线性方程组( )( )XA t XF t的一个特解 , )(t是其对应的齐次线性方程组( )XA t X的基解矩阵 , 则非齐线性方程组( )( )XA t XF t的所有解可表为. 20. 方 程 组( )XA t X的n个 解12( ),( ),( )nXtXtXt线 性 无 关 的 充 要 条 件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页精品资料欢迎下载是. 21. 若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,nv vv，它们对应的特征值分别是12,n，那么矩阵( ) t= 是常系数线性方程组XAX的一个基解矩阵。二、单项选择题1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（A ）个（A）n；（B）n1；（C）n+1；（D）n+2. 2一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（C ） （A）不是其对应齐次微分方程组的解；（ B）是非齐次微分方程组的解；（C）是其对应齐次微分方程组的解；（ D）是非齐次微分方程组的通解. 3若)(1xy，)(2xy是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（C ） （A）)()(21xx；（B）)()(21xx；（C）)()()(121xxxC； （D）)()(21xxC. 4下列方程中为常微分方程的是（）(A) 2210 xx；(B)2 yxy；(C) 2222uuutxy；(D) 2yxc(c 为常数） . 5. 下列微分方程是线性的是（）(A)22yxy；(B)2xyye；(C)20yx；(D)2yyxy. 6. 方程2232xyyyx e特解的形状为 ( ) (A)221xyax ey；(B)221()xyaxbxc e；(C)2221()xyxaxbxc e；(D)2221()xyxaxbxc e. 7. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)4, x；(B)2,2 ,xx x；(C)225,cos,sinxx； (D)21,2, , x x. 8. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)20t dtxdx；(B)sin1x；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页精品资料欢迎下载(C)1yxc(c 为常数 )；(D)22220uuxy. 9. 下列微分方程是线性的是（）(A)21yy； (B)11dydxxy； (C)2ybycx； (D)40yxy. 10. 方程22( cos2sin)xyyyexxx特解的形状为( ) (A) 1()cossin xyeAxBxCx；(B) yeAxxCxx1cossin；(C)yeAxBxCxDxx1() cos()sin ；(D)yxeAxBxCxDxx1() cos()sin. 11. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)31,x x; (B)222, ,xx x；(C)21,sin,cos2xx；(D)225,sin (1),cos (1)xx. 12. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)2210 xy；(B)2xyy；(C)222222uuuxy；(D)2xyc(c 为常数 ). 13. 下列微分方程是线性的是（）(A)dydxyx；(B)261yy； (C)3sinyyx； (D) 2cosyyyx. 14. 方程2sinyyx特解的形状为( ) (A) )sincos(1xBxAxy；(B) yAxx1sin；(C) yBxxcos；(D) yAxxx12(cossin) .15. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)2220 xyz；(B)ycex；(C) 22uutx；(D) y=c1cost+c2sint (c1, c2为常数 ). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精品资料欢迎下载16. 下列微分方程是线性的是（）(A) ( )( )x txf t；(B)3cosyyx；(C) 2xyy；(D)413yyy. 17. 方程23cosxyyyex特解的形状为( ) (A)yAxBx1cossin；(B) yAex1；(C)yeAxBxx1(cossin )；(D)yAxexx1cos. 18. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)23,ttte ee；(B) 20, , t t；(C) )22cos(),1(sin12tt，；(D) 4t, 2t 3, 6t+8. 19. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)x3+1=0；(B)ycex； (C)2220uuatx； (D) 2xyye. 20. 下列微分方程是线性的是（）(A)221yyx； (B)2cosyyx；(C) 222yyx；(D) xdx+ydy=0. 21. 方程36916xyyye特解的形状为( ) (A) 31xyAe；(B)yAx ex123；(C) yAxex13；(D)yeAxBxx1333(sincos). 22. 下列函数组在定义域内线性无关的是（）(A)2,xxxexex e；(B)222,cos , cosxx； (C)21,2,x；(D)5420,xxe x e x. 23. 微分方程y 3y+2y=2x 2ex的特解 y*的形式是( ) (A) (ax+b)ex(B) (ax+b)xex(C) (ax+b)+cex(D) (ax+b)+cxex 24. 微分方程230yyy的通解是y=( ) (A)33xx；(B) c xcx123；(C) c ec exx123；(D) c ec exx123. 25. 设yxyxyx123( ),( ),( )是线性非齐次方程( )( )( )ya x yb x yf x的特解，则yccyxc yxc yx()( )( )( )11211223( ) (A) 是所给微分方程的通解；(B) 不是所给微分方程的通解；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页精品资料欢迎下载(C) 是所给微分方程的特解；(D) 可能是所给微分方程的通解也可能不是所给微分方程的通解，但肯定不是特解. 26. 微分方程yyx4212cos的特解的形式是y=（）(A)cos2ax；(B)cos2axx；(C)sin2cos2axbx；(D)sin2cos2axxbxx.27. 下列方程中为常微分方程的是（）(A)42310 xxx；(B) 2yyx；(C) 222222uuutxy；(D)2uvw. 28. 下列微分方程是线性的是（）(A)2yxyyx； (B)22yxy; (C)2( )yxyf x； (D)3yyy. 29.设123( ),( ),( )y xyxyx是二阶线性非齐次微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x的三个线性无关解，12,c c是任意常数，则微分方程的通解为( ) (A)11223c yc yy;(B)1122123(1)c yc yccy; (C)1122123()c yc yccy; (D)1122123(1)c yc yccy. 30. 若连续函数( )f x满足关系式20( )ln 22xtfxfdt，则( )fx为（）(A)ln 2xe; (B)2ln 2xe; (C)ln 2xe(D)2ln 2xe. 31. 若3312,xxyeyxe，则它们所满足的微分方程为（）(A)690yyy; (B)90yy; (C)90yy; (D)690yyy. 32. 设123,yyy是二阶线性微分方程( )( )( )yp x yq x yf x的三个不同的特解，且1223yyyy不是常数，则该方程的通解为（）(A)11223c yc yy; (B)1122231()()cyycyyy; (C)11232c yc yy; (D)112223()()c yycyy. 33. 设12,yy是方程( )( )0yp x yq x y的两个特解，则1122yc yc y（12,c c为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页精品资料欢迎下载任意常数）（）(A) 是此方程的通解; (B) 是此方程的特解; (C)不一定是该方程的解; (D) 是该方程的解 . 34. 微分方程1xyye的一个特解形式为（）(A)xaeb; (B)xaxebx; (C)xaebx; (D)xaxeb. 35. 方程22()(2)0pxyydxqxyxdy是全微分方程的充要条件是（B ）(A)4,2pq; (B)4,2pq; (C)4,2pq; (D)4,2pq. 36. 表达式22cos()cos()3 xyay dxbyxyx dy是某函数的全微分，则（）(A)2,2ab; (B)3,2ab; (C)2,3ab; (D)3,3ab. 37. 方程xyyyyxe是特解*y的形式为（）(A)()xaxb e; (B)()xx axb e; (C)2()xxaxb e; (D)()cos 2()sin 2 xeaxbxcxdx. 38. 方程2xyyyxe的特解*y的形式为（）(A) xaxe; (B)()xaxb e; (C)()xx axb e; (D)2()xxaxb e. 39. 已知1cosywx与23cosywx是微分方程20yw y的解 ,则1122yc yc y是（）(A) 方程的通解 ; (B) 方程的解 , 但不为通解 ; (C)方程的特解 ; (D) 不一定是方程的解. 40. 方程3232xyyyxe的特解*y的形式为（）(A) ()xaxb e；(B)()xaxb xe; (C)()xaxbce; (D)()xaxbcxe. 41. 方程2232xyyyx e特解的形式为（）(A) 22xyax e; (B)22()xyaxbxc e; (C)22()xyx axbxc e; (D)222()xyxaxbxc e. 42. 方程2613(512)txxxe tt特解形状为（）(A)21()txAtBtc e; (B)1()txAtB e; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页精品资料欢迎下载（C)1txAte; (D)1txAe. 43. 方程22cosxyyyex的特解形状为（）(A)1cosxyAxe; (B)1sinxyAxe; (C)1(cossin )xyeAxBx; (D)1xyAe. 44. 方程22costxxxtet的特解形状为（）(A)21()costxAtBtc et; (B)21()sintxAtBtc et; (C)1(cossin )txeAtBt; (D)221()cos()sinttxAtBtc etDt EtF et. 45. 方程432422(22)(3 )0yyxy exyy dxx y ex yx dy的积分因子为（）(A)21( )xx; (B)1( )xx; (C)41( )yy; (D)21( )yy. 46. 方程(2)0yyexxyedy的积分因子为（）(A)21( )xx; (B) 1( )xx; (C)21( )yy; (D) 1( )yy. 47. 方程2(3)20 xeydxxydy的积分因子为（）(A) 1( )xx; (B)2( )xx; (C) 1( )yy; (D) 2( )yy. 48. 方程(1)0yxy dxxdy的积分因子为（）(A)( )xxe; (B)( )xxe; (C)( )yye; (D)( )yye. 49. 方程23(225)(22 )0 x yydxxx dy的积分因子为（）(A) 1( )xx; (B)21( )1xx; (C) 1( )yy; (D)21( )1yy. 50. 方程3222(1)0 xy dxx ydy的积分因子为（）(A) 1( )xx; (B) 21( )xx; (C) 1( )yy; (D) 21( )yy. 51. 方程(2 cos )0 xxe dxe ctgxyy dy的积分因子为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页精品资料欢迎下载(A)( )sinxx; (B)( )cosxx; (C)( )sinyy; (D)( )cosyy. 52. 方程22()0ydxxyx dy的积分因子为（）(A)21( )xx; (B)21( )yy; (C)221( , )x yxy; (D)1( , )x yxy. 53. 方程3222()0y dxxxydy的积分因子为（）(A) 21x; (B)1xy; (C)221x y; (D)21x y. 54. 方程440yyy的一个基本解组是( ). (A) xex2,; (B)xe2, 1; (C)xex22,; (D)xxxee22,. 55. 方程23xyx ye是 ( ) . (A) 可分离变量方程; (B)齐次方程 ; (C)全微分方程 ; (D)线性非齐次方程. 三、证明题1. 在方程0)()(yxqyxpy中，)(),(xqxp在),(上连续，求证：若)(xp恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(xW是),(上的严格单调函数证明 ：设)(1xy，)(2xy是方程的基本解组，则对任意),(x，它们朗斯基行列式在),(上有定义，且0)(xW又由刘维尔公式x0d)(0e)()(xsspxWxW，),(0 x（5 分）)(e)()(x0d)(0 xpxWxWxssp由于0)(0 xW，0)(xp，于是对一切),(x，有0)(xW或0)(xW故)(xW是),(上的严格单调函数（10 分）2设)(1xy和)(2xy是方程0)(yxqy的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式CxW)(，其中C为常数证明 : 如果)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页精品资料欢迎下载0)()(yxqyxpy的解，那么由刘维尔公式有x0d)(0e)()(xttpxWxW现在，0)(xp故有CxWxWxWxt)(e)()(0d00 x03设nn矩阵函数)(1tA，)(2tA在区间 I 上连续， 试证明， 若方程组XtAdtdX)(1与XxAdtdX)(2在区间 I 上有相同的基本解组，则12( )( )A tAt，xI. 证明： 因为方程组与XxAdtdX)(2在区间I 上有相同的基本解组，所以可设)(t是其基本解矩阵。从而有：1( )( )( ),dtA tttIdt，2( )( )( ),dtAtttIdt，所以12( )( )( )( ),A ttAtttI，又由于)(t是其基本解矩阵，所以0)(dett，即)(t可逆，故12( )( )A tAt，xI. 4设)(1xy和)(2xy是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证： 它们不能有共同的零点证明： 因)(1xy和)(2xy是两个线性无关解，故它们的朗斯基行列式0)()()()()(2121xxxxxW(*) 反证。假如它们有共同零点，那么存在一个点0 x，使得1020()()0 xx于是0)()(00)()()()()(0201020102010 xxxxxxxW这与 (*) 式矛盾所以它们不能有共同的零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页精品资料欢迎下载5给定方程32( )xxxf t,其中( )f t在t上连续 ,设12( ),( )tt是上述方程的两个解, 证明极限12lim( )( )ttt存在 . 证 明 : 由 条 件 知 ,12( )( )tt是 齐 次 线 性 方 程320 xxx的 解 , 因 为320 xxx的特征方程是32320,特征根是1230,1,2, 所以320 xxx的基本解组为1,te2te从而12( )( )tt可由基本解组1,te2te线性表示 , 即212123( )( )ttttcc ec e所以极限121lim( )( )tttc存在 . 6设12( ),( ),( )nyxyxyx是 n 阶齐线性方程( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y的任意 n 个解，它们所构成的朗斯基行列式为( )w x，证明：(1) ( )w x满足1( )( )( )0w xa x w x；(2) 10( )0( )()xxa t dtw xw x e. 证明： (1) 设12( ),( ),( )nyxyxyx是 n 阶齐次线性方程的任意n 个解，它们所构成的朗斯基行列式为123123(2)(2)(2)(2)123(1)(1)(1)(1)123( )nnnnnnnnnnnnyyyyyyyyw xyyyyyyyy由行列式的求导公式得123123123123(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)123123( )nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyyw xyyyyyyyyyyyyyyyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页精品资料欢迎下载123123123123(1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2)123123(1)(1)(1)(1)( )( )( )( )123123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy123123(2)(2)(2)(2)123( )( )( )( )123nnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyy1231231(2 )(2 )(2 )(2 )123(1 )(1 )(1 )(1 )1111123()()()()()()nnnnnnnnnnnnyyyyyyyyax w xyyyyax yax yax yax y所以1231231231231(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)123123( )( )( )(1)(1)(1)( )(1)1111123123( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyyyywxax w xyyyyyyyyyyyyax yax ya x ya x y123123(2)(2)(2)(2)123( )(1)( )(1)( )(1)( )(1)1111112233( )( )( )( )nnnnnnnnnnnnnnnnnyyyyyyyyyyyyyax yyax yyax yyax y把这个行列式的第1 行、第 2 行、 、第 n 行分别乘以12( ),( ),( )nnaxaxax 后加到最后一行上，最后一行全部变成0，所以1( )( ) ( )0w xa x w x. (2)当( )0w x时，等式当然成立。当( )0w x时，1( )( )( )0w xax w x1( )( )( )w xaxw x两端取 x0到 x 的定积分，得001( )( )( )xxxxw tdta t dtw t0011( )( )( )xxxxdw ta t dtw t精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页精品资料欢迎下载001ln( )( )xxxxw ta t dt001ln( )ln()( )xxw xw xa t dt10( )0( )()xxa t dtw xw xe7设( )A t为区间I 上的连续n n实矩阵，( ) t为方程( )XA t X的基解矩阵，而( )XX t为其一解 . 试证： 对于方程( )TYAt Y的任一解( )YY t必有( )( )TYt X t常数 . ( ) t为方程( )TYAt Y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C，使( )( )TttC. 证明 : 因( )XX t为方程( )XA t X的解 , ( )YY t方程( )TYAt Y的解，故( )( )( )XtA t X t, ( )( ) ( )TY tAt Y t( )( )( )TTYtYt A t令( )( )( )Tf tYt X t，则( )( )( )( )( )TTftYt X tYt Xt( ) ( )( )( )( )( )TTYt A t X tYt A t X t0令由拉格郎日中值定理，( )( )( )TYt X tf t常数。：若存在非奇异的常数矩阵C 使得( )( )TttC，求导得：( )( )( )( )0TTtttt因( ) t为方程( )XA t X的基解矩阵，故( )( )( )tA tt，代入上式得( )( )( )( )( )0TTttt A tt( )( )( )( )0TTtt A tt( )( ) ( )0TTtt A t将上式转置，得( )( )( )0TtAtt这 就 说 明)(t是 方 程( )TYAt Y的 解 矩 阵 ， 而( )( )TttC非 奇 异 ， 所 以0)(d e tt，所)(t是基解矩阵。：若)(t、)(t分别是这两个方程的基解矩阵，则( )( )( )tA tt, ( )( )( )TtAtt( )( )( )TTtt A t从而( )( )( )( )( )( )TTTtttttt( ) ( )( )( )( )( )TTt A ttt A tt0所以CttT)()(，而0)(det)(detdetttCT，以C为非奇异的常数矩阵. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页