2022年必修四平面向量共线的坐标表示 .pdf
平面向量共线的坐标表示学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线 .3.掌握三点共线的判断方法知识点一平面向量共线的坐标表示1设 a(x1， y1)，b(x2，y2)，其中 b0， a、b 共线，当且仅当存在实数 ，使 a b.2如果用坐标表示可写为(x1，y1) (x2，y2)，当且仅当x1y2 x2y10 时，向量a、b(b0)共线思考 1向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，若 x1y1x2y2 0或 x1x2y1y20 能判断 ab 吗？答不能思考 2如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？答能将 b 写成 a 形式， 0 时 b 与 a 同向， 0 时， b 与 a 反向知识点二共线向量与线段分点坐标在平面直角坐标系中，我们可以利用共线向量坐标之间的关系，求解坐标 如图所示，设P 点是直线P1P2上的一点，且P1PPP2 .思考 1定比 与分点位置的一一对应关系如下表： 1 11 0 0P 点位置在 P1P2的延长线上不存在在 P2P1的延长线上与 P1重合P 点名称外分点外分点始点0 1P 点位置在 P1与中点之间P 为中点在中点与 P2之间P 点名称内分点思考 2设 P1(x1， y1)，P2(x2，y2)，试用 及 P1，P2点的坐标表示P(x，y)点的坐标答案OPOP1P1P OP1 PP2OP1 (OP2OP)OP1 OP2OP，OPOP1OP2111(x1，y1)1 (x2，y2)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页11x1，11y11x2，1y2x1x21，y1 y21.Px1x21，y1y21 .题型一平面向量共线的判定例 1已知 a(1,2)，b(3,2)，当 k 为何值时， ka b 与 a 3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10， 4)，kab 与 a3b 平行，(k3) (4)10(2k2)0，解得 k13.此时 kab 133，232 13(a3b)，当 k13时， kab 与 a3b 平行，并且反向跟踪训练1已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5， 3)判断 AB与CD是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解AB(0,4)(2,1)(2,3)，CD(5， 3)(1,3)(4， 6)方法一(2)(6)340，且 (2)40)，即 (x，y) (2,3)，x 2 ，y 3 ，又|AB|2 13，x2y252.429252， 2 ( 0)即AB(4,6)点 B 的坐标为 (5,4) 题型三平面向量共线的综合运用例 3如图所示， 已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6)， 求 AC 和 OB 交点 P 的坐标解方法一设OPtOBt(4,4) (4t,4t)，则APOP OA(4t,4t)(4,0)(4t4,4t)，AC(2,6)(4,0) (2,6)由AP，AC共线的条件知(4t4)64t(2)0，解得 t34.OP(4t,4t)(3,3)，P 点坐标为 (3,3)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页方法二设 P(x，y)，则 OP(x，y)，OB (4,4)OP，OB共线， 4x4y0，又CP(x2，y 6)， CA(2， 6)，且向量 CP、 CA共线，6(x2)2(6y)0，解 组成的方程组，得x3， y3，点 P 的坐标为 (3,3)跟踪训练3如图所示，在四边形ABCD 中，已知A(2,6)、B(6,4)、C(5,0)、D(1,0)，求直线AC 与 BD 交点 P 的坐标解设 P(x，y)，则 DP (x1，y)，DB(5,4)，CA(3,6)，DC(4,0)由 B，P，D 三点共线可得 DPDB(5 ，4 )又CPDPDC(5 4,4 )，由于 CP与CA共线得， (5 4)6 12 0.解之得 47， DP47DB207，167，P 的坐标为277，167.用向量方法研究平面几何问题例 4已知 ABCD 是正方形， BEAC， ACCE， EC 的延长线交BA 的延长线于点F， 求证：AFAE.证明建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便不妨设正方形ABCD 的边长为1，则 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(x，y)，这里 y0，于是 AC(1,1)， BE(x1，y)ACBE，1y(x1)10? yx1.ACOCCE(已知 )，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页CE2OC2? (x1)2(y1)2 2.由 y0，联立 解得x332，y132，即 E332，132.AEOE3322132231.设 F(t,0)，则 FC(1t,1)，CE132，132.F、C、E 三点共线， FCCE.(1t)13213210，解得 t 13.AFOF 13，AFAE.1已知 a(1,2)，b (2，y)，若 ab，则 y 的值是 ()A1 B 1 C4 D 42下列各组的两个向量共线的是()Aa1(2,3)，b1(4,6)Ba2(1， 2)，b2(7,14)Ca3(2,3)，b3(3,2)Da4(3,2)，b4(6， 4)3 已知向量 OA(k,12)， OB(4,5)， OC(10， k)， 如果 A、 B、 C 三点共线，则实数 k_.4已知四边形ABCD 的四个顶点A，B，C，D 的坐标依次是(3，1)，(1,2)，( 1,1)，(3，5)求证：四边形ABCD 是梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页5已知点A(1， 3)，B(1,1)，直线 AB 与直线 xy50 交于点 C，求点 C 的坐标一、选择题1向量 a(1， 2)，|b|4|a|，ab，则 b 可能是 ()A(4,8) B(8,4)C(4， 8) D (4,8)2已知三点A(1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若 AB和CD是相反向量，则D 点坐标是 ()A(1,0) B(1,0) C(1， 1) D(1,1)3已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y 轴D平行于第二、四象限的角平分线4若 a(2cos ，1)，b (sin ，1)，且 a b，则 tan 等于 ()A2 B.12C 2 D125已知向量a (1,2)，b (0,1)，设 uakb，v2ab，若 uv，则实数 k 的值为 ()A 1 B12C.12D16已知 A、B、C 三点在一条直线上，且A(3， 6)，B(5,2)，若 C 点的横坐标为6，则 C点的纵坐标为 ()A 13 B 9 C 9 D13二、填空题7已知向量a (2x1,4)，b(2x,3)，若 ab，则实数x 的值等于 _8若三点P(1,1)，A(2， 4)，B(x， 9)共线，则 x 的值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页9设向量a(1,2)，b (2,3)若向量 ab 与向量 c( 4， 7)共线，则 _.10已知点A，B 的坐标分别为(2， 2)， (4,3)，向量p 的坐标为 (2k1,7)且 pAB，则 k的值为 _三、解答题11已知两点A(3， 4)，B(9,2)在直线 AB 上，求一点P 使|AP|13|AB|.12已知 ABC 的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)试确定 ABC 的重心 G 的坐标13如图所示，已知AOB 中， A(0,5)， O(0,0)，B(4,3)，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC相交于点M，求点 M 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页当堂检测答案1答案D解析a b， (1)y220，y 4.2答案D解析3624，a4b4，故选 D.3答案 2 或 11解析OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，AB(4k， 7)，BC (6，k5)，A、B、C 三点共线，(4k)(k5)(7)60，解得 k 2 或 k 11.4证明 A(3， 1)，B(1,2)，C(1,1)，D(3， 5)AB(2,3)，CD(4， 6)CD 2AB， |AB|12|CD|，ABCD，且 ABCD，四边形 ABCD 是梯形5解设点 C(x，y)A、B、 C 三点共线，ACAB (2,4)(2 ，4 )(x1，y3)(2 ， 4 )，x 2 1y 4 3，C(2 1,4 3)把点 C(2 1,4 3)代入 x y50 得(2 1)(4 3)50，解得 32.C(2,3)课时精练答案一、选择题1答案D2答案C3答案C解析a b(0,1x2)，平行于 y 轴精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页4答案A解析a b， 2cos 1sin .tan 2.故选 A.5答案B解析u (1,2)k(0,1)(1,2k)，v(2,4)(0,1)(2,3)，又 u v，132(2 k)，得 k12.故选 B.6答案C解析设 C 点坐标 (6，y)，则 AB (8,8)，AC(3，y6)A、B、C 三点共线， 38y68，y 9.二、填空题7答案12解析由 ab 得 3(2x1)4(2x)，解得 x12.8答案3解析PA(1， 5)，PB(x1， 10)，P、A、B 三点共线， PA与PB共线1(10)(5)(x1)0，解得 x3.9答案2解析 ab( 2,2 3)，c (4， 7)， 242 3 7， 2.10 答案1910解析由 A(2， 2)，B(4,3)知AB(2,5)，又 p(2k1,7)且 pAB，(2k1)5270，k1910.三、解答题11解设点 P 的坐标为 (x，y)，若点 P 在线段 AB 上，则 AP12PB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页(x3，y4)12(9x,2y)解得 x 1，y 2，P(1， 2)若点 P 在线段 BA 的延长线上，则AP14PB，(x3，y4)14(9x,2y)解得 x 7，y 6，P(7， 6)综上可得点P 的坐标为 (1， 2)或(7， 6)12 解延长 AG 交 BC 于点 D，G 为ABC 的重心，D 为 BC 的中点，AG23AD23(12AB12AC)13AB13AC，OGOAAGOA13AB13ACOA13(OBOA)13(OC OA)13(OAOBOC)x1x2x33，y1y2y33.即ABC 的重心 G 的坐标为x1x2x33，y1y2y33.13 解OC14OA14(0,5)0，54，C(0，54)OD12OB12(4,3) 2，32，D 2，32.设 M(x，y)，则 AM(x，y5)，AD 20，325 2，72.AMAD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页72x2(y5) 0，即 7x4y20.又CM x，y54，CB 4，74，CMCB，74x4 y540，即 7x16y 20.联立 解得 x127，y2，故点 M 的坐标为127，2 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
