2022年高中数学诱导公式全集 .pdf
读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k）sin （kZ）cos （2k）cos （kZ）tan（2k）tan （kZ）cot（2k）cot （kZ）公式二：设为任意角， +的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin（） sincos （） cos tan（）tancot（）cot公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin（） sincos （）cos tan（） tancot（）cot公式四：利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系：sin（）sincos （） cos 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思tan（） tancot（） cot公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系：sin（2） sincos （2）cos tan（2） tancot（2）cot公式六：/2及 3/2与的三角函数值之间的关系：sin（/2）cos cos （/2） sintan（/2） cotcot（/2） tansin（/2）cos cos （/2）sintan（/2）cotcot（/2）tansin（3/2） cos cos （3/2）sintan（3/2） cot cot（3/2）tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思sin（3/2） cos cos （3/2） sintan（3/2）cotcot（3/2）tan（以上 kZ）注意：在做题时，将a 看成锐角来做会比较好做。诱导公式记忆口诀规律总结上面这些诱导公式可以概括为：对于/2*k （kZ）的三角函数值，当 k 是偶数时，得到 的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，得到 相应的余函数值， 即 sincos ； cos sin；tancot，cot tan. （奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限）例如：sin（2）sin（4/2） ，k4 为偶数，所以取 sin。当是锐角时， 2（ 270，360） ，sin（2） 0，符号为“” 。所以 sin （2） sin上述的记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思公式右边的符号为把 视为锐角时，角k360+（kZ） ，-、180，360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦（余割）；三两切；四余弦（正割） ” 这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限内只有正弦是“” ，其余全部是“”；第三象限内切函数是“” ，弦函数是“”；第四象限内只有余弦是“” ，其余全部是“”上述记忆口诀，一全正，二正弦，三内切，四余弦还有一种按照函数类型分象限定正负：函数类型第一象限第二象限第三象限第四象限正弦 余弦 正切 余切 同角三角函数基本关系同角三角函数的基本关系式倒数关系：tancot1 sincsc 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos sec 1 商的关系：sin/cos tansec /csc cos /sincotcsc /sec 平方关系：sin2（）cos2 （）1 1tan2（）sec2 （）1cot2（）csc2 （）同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin（）sincos cos sinsin（）sincos cos sincos （）cos cos sinsincos （）cos cos sinsintan（）（ tan+tan）（ 1-tantan）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思tan（）（ tantan）（ 1tantan）二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin22sincos cos2 cos2 （）sin2（） 2cos2 （）112sin2（）tan22tan/1tan2（） 半角公式半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）sin2（/2）（ 1cos ）2 cos2 （/2）（ 1cos ）2 tan2（/2）（ 1cos ）（ 1cos ）另也有 tan（/2）=（1cos ）/sin=sin/（1+cos ）万能公式sin=2tan（/2）/1+tan2（/2） cos =1-tan2（/2）/1+tan2（/2） tan=2tan（/2）/1-tan2（/2） 万能公式推导附推导：sin2=2sincos =2sincos /（cos2 （）+sin2（） ） *，（因为 cos2 （）+sin2（）=1）再把*分式上下同除 cos2 （） ，可得 sin22tan/（1tan2（） ）然后用 /2 代替即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin33sin4sin3（）cos3 4cos3 （）3cos tan33tantan3（）13tan2（） 三倍角公式推导附推导：tan3sin3/cos3 （sin2cos cos2 sin）/（cos2 cos -sin2sin）（ 2sincos2 （） cos2 （）sinsin3（） ）/（cos3（）cos sin2（） 2sin2（）cos ）上下同除以 cos3 （） ，得：tan3（3tantan3（） ）/（1-3tan2（） ）sin3sin（2） sin2 cos cos2 sin2sincos2 （）（ 12sin2（） ）sin2sin2sin3（）sin2sin3 （）3sin4sin3（）cos3 cos （2）cos2 cos sin2sin（2cos2 （） 1）cos 2cos sin2（）2cos3 （）cos （2cos 2cos3 （） ）4cos3 （）3cos 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思即sin33sin4sin3（）cos3 4cos3 （）3cos 三倍角公式联想记忆记忆方法：谐音、联想正弦三倍角： 3 元 减 4元 3 角（欠债了（被减成负数），所以要“挣钱” （音似“正弦”） ）余弦三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余” ）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。另外的记忆方法：正弦三倍角： 山无司令 （谐音为三无四立） 三指的是“3 倍”sin， 无指的是减号，四指的是“ 4 倍” ， 立指的是 sin立方余弦三倍角：司令无山与上同理和差化积公式三角函数的和差化积公式sinsin2sin（）/2cos （）/2 sinsin2cos （）/2sin（）/2 cos cos 2cos （）/2cos （）/2 cos cos 2sin（）/2sin（）/2 积化和差公式三角函数的积化和差公式sincos 0.5sin（）sin（） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos sin0.5sin（）sin（） cos cos 0.5cos （）cos （） sinsin0.5cos （）cos （） 和差化积公式推导附推导：首 先 ， 我 们 知 道sin （ a+b ） =sina*cosb+cosa*sinb ， sin（ a-b ）=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb 所以， sina*cosb= （sin（a+b）+sin（a-b） ）/2 同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb= （sin（a+b）-sin（a-b） ）/2 同 样 的 ， 我 们 还 知 道cos（ a+b） =cosa*cosb-sina*sinb ， cos（ a-b）=cosa*cosb+sina*sinb 所以，把两式相加，我们就可以得到cos （a+b）+cos （a-b）=2cosa*cosb 所以我们就得到， cosa*cosb= （cos （a+b）+cos （a-b） ）/2 同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos （a+b）-cos （a-b） ）/2 这样，我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb= （sin（a+b）+sin（a-b） ）/2 cosa*sinb= （sin（a+b）-sin（a-b） ）/2 cosa*cosb= （cos （a+b）+cos （a-b） ）/2 sina*sinb=-（cos （a+b）-cos （a-b） ）/2 有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。我们把上述四个公式中的a+b 设为 x，a-b 设为 y，那么 a=（x+y）/2，b=（x-y）/2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思把 a，b 分别用 x，y 表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin （ （x+y）/2）*cos（ （x-y）/2）sinx-siny=2cos （ （x+y）/2）*sin（ （x-y）/2）cosx+cosy=2cos（ （x+y）/2）*cos（ （x-y）/2）cosx-cosy=-2sin （ （x+y）/2）*sin（ （x-y）/2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
