2022年高二同步学讲义-圆锥曲线典型基本知识点和例题 .pdf

名师总结精品知识点圆锥曲线一、椭圆1. 椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、 F2的距离之和等于定值2a(2a|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义 : 平面内到定点F与到定直线l 的距离之比是常数e(0e1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l叫做椭圆的准线,常数e叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示 ) 标准方程22221(0)xyabab22221(0)xyabba图形顶点(,0)a,(0,)b(0,)a,(,0)b对称轴x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b焦点1(,0)Fc、2( ,0)Fc1(0,)Fc、2(0, )Fc焦距焦距为122 (0),F Fc c222cab离心率eca(0eb0) 的两个焦点，P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点 ,若 PF1F2=5PF2F1, 则椭圆的离心率为( ) (A)32 (B)63 (C)22 (D)23例 5. P点在椭圆1204522yx上， F1、F2是两个焦点，若21PFPF，则 P点的坐标是. 例 6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：( 1) 长轴与短轴的和为18，焦距为6; . ( 2) 焦点坐标为)0,3(,)0,3(,并且经过点 (2，1) ; . ( 3) 椭圆的两个顶点坐标分别为)0, 3(,)0, 3(,且短轴是长轴的31; _. ( 4) 离心率为23，经过点 ( 2，0) ; . 例 7. 12FF、是椭圆2214xy的左、右焦点， 点P在椭圆上运动， 则12| |PFPF的最大值是二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点F1、 F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e叫做双曲线的离心率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页名师总结精品知识点例 8 . 命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a(a0)；命题乙：点 P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( ) (A) 充要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 不充分也不必要条件例 9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log23 的点的轨迹是（）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线例 10. 过点 (2 ，-2) 且与双曲线1222yx有相同渐近线的双曲线的方程是( ) (A)12422yx(B)12422xy(C)14222yx(D)14222xy例 11.双曲线221(1)xynn的两焦点为12,FFP在双曲线上 ,且满足1222PFPFn,则三角形12FPF的面积为 ( ) ( )1A1()2B()2C()4D例12 设ABC的顶点)0,4(A，)0, 4(B，且CBAsin21sinsin，则第三个顶点C 的轨迹方程是_. 例 13. 根据下列条件，求双曲线方程: 双曲线221916xy有共同渐近线，且过点(- 3，32) ；与双曲线221164xy有公共焦点，且过点(3 2，2) . 例 14. 设双曲线2212yx上两点 A、B， AB中点 M（1， 2）求直线AB 方程；注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页名师总结精品知识点三、 .抛物线1.抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F不在l上).定点 F叫做抛物线的焦点 , 定直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程及其几何性质(如下表所示 ) 标准方程22(0)ypx p22 (0)ypx p22(0)xpy p22 (0)xpyp图形对称轴x轴x轴y轴y轴焦点(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF顶点原点(0,0)准线2px2px2py2py离心率e1 注: 通径为 2p，这是抛物线的过焦点的所有弦中最短的弦. 例 15. 顶点在原点，焦点是(0, 2)的抛物线方程是( ) (A)x2=8y(B)x2= 8y(C)y2=8x (D)y2=8x 例 16 抛物线24yx 上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) (A)1716(B)1516(C)78(D)0 例 17. 过点 P(0,1)与抛物线y2=x 有且只有一个交点的直线有( ) (A)4 条(B)3 条(C)2条(D)1 条例 18. 过抛物线2yax(a0)的焦点 F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与 FQ的长分别为p、q，则11pq等于 ( ) (A)2a(B)12a(C)4a(D)4a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页名师总结精品知识点例 19 若点 A的坐标为 (3，2)，F为抛物线y2=2x 的焦点，点P在抛物线上移动，为使| PA |+| PF | 取最小值，P点的坐标为 ( ) (A)(3，3) (B)(2，2) (C)(21， 1) (D)(0，0) 例 20 动圆 M 过点 F(0，2)且与直线y=- 2 相切，则圆心M 的轨迹方程是. 例 21 过抛物线y22px 的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，则y1y2_. 例 22 以抛物线xy23的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是_. 例 23. 过点 (- 1,0)的直线 l 与抛物线 y2=6x 有公共点，则直线l 的斜率的范围是. 例 24 设0p是一常数，过点(2,0)pQ的直线与抛物线22ypx交于相异两点A、B，以线段AB 为直经作圆 H（H 为圆心）。()试证 :抛物线顶点在圆H 的圆周上；()求圆 H 的面积最小时直线AB 的方程 . 四、求点的轨迹问题如何求曲线 ( 点的轨迹 ) 方程 ,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程( 等量关系 ) ，侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤: 建、设、现（限） 、代、化 .例 25. 已知两点M（ 2， 0） ，N（2，0） ，点 P满足PM PN=12，则点 P的轨迹方程为（）22( )116xAy22( )16B xy22()8C yx22()8D xy例 26. O1与 O2的半径分别为1 和 2， |O1O2|=4 ， 动圆与 O1内切而与 O2外切，则动圆圆心轨迹是( ) (A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线(D)双曲线的一支精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页名师总结精品知识点例 27. 动点 P在抛物线y2=-6x 上运动 ,定点 A(0,1) ,线段 PA中点的轨迹方程是( ) （A）(2 y+1)2=-12x（B）(2 y+1)2=12x （C）(2 y-1)2=-12 x（D）(2 y-1)2=12x 例 28.过点A（2，0）与圆1622yx相内切的圆的圆心P的轨迹是（）（A）椭圆（B）双曲线（C）抛物线（D）圆例 29. 已知ABC的周长是16，)0,3(A，B)0, 3(则动点的轨迹方程是( ) (A)1162522yx(B)0(1162522yyx(C)1251622yx(D)0( 1251622yyx例 30. 椭圆13422yx中斜率为34的平行弦中点的轨迹方程为. 例 31. 已知动圆P 与定圆 C: （x2）2y2相外切，又与定直线l：x相切 ,那么动圆的圆心P的轨迹方程是 _ 五、圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程 ,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、0. 线与圆锥曲线相交所得的弦长直 线 具 有 斜 率k, 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 两 个 交 点 坐 标 分 别 为1122( ,), (,)A x yB x y,则 它 的 弦 长22212121 21211(1) ()41ABxxxxx xyy2kkk注 :实 质 上 是 由 两 点 间 距 离 公 式 推 导 出 来 的 , 只 是 用 了 交 点 坐 标 设 而 不 求 的 技 巧 而 已 ( 因 为1212()yyxxk，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,则12AByy. 注: 1. 圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法. 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页名师总结精品知识点例 32. AB 为过椭圆2222byax=1 中心的弦， F(c，0)为椭圆的右焦点，则AFB的面积最大值是( ) (A)b2 (B)ab (C)ac (D)bc 例 33 若直线 ykx2 与双曲线622yx的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）()A315(,)315()B0(,)315()C315(,)0()D315(,)1例 34. 若双曲线x2y2=1右支上一点P( a, b) 到直线 y=x 的距离为2，则 a b 的值是 () . 1( )2A1()2B1()2C或12( D) 2 或 2 例 35 抛物线 y=x2上的点到直线2x- y =4 的距离最近的点的坐标是( ) 1 1( )(,)2 4A(B)(1,1) (C) (49,23) (D) (2,4) 例 36 抛物线 y2=4x 截直线2yxk所得弦长为35，则 k 的值是 ( ) (A)2 (B)- 2 (C)4 (D)- 4 例 37 如果直线)1(xky与双曲线422yx没有交点，则k的取值范围是例 38 已知抛物线22xy上两点),(),(2211yxByxA关于直线mxy对称，且2121xx，那么m 的值为. 例 39 双曲线 3x2-y2=1 上是否存在关于直线y=2x 对称的两点A、B?若存在，试求出A、B 两点的坐标；若不存在，说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页名师总结精品知识点基本知识点与典型题举例答案一、椭圆例 1. D 例 2. B 例 3. C 先考虑 M+m=2a，然后用验证法. 例 4. B1212|22sin15sin751sin15sin75sin15cos15PFPFPFPFca，216232sin60cea. 例 5 (3,4) 或(- 3, 4) 例 6. (1)1162522yx或1251622yx; (2) 13622yx; (3)1922yx或181922yx; (4) 1422yx或116422yx. 例 7. 12| |PFPF2212|()42PFPFa二、双曲线：例 8. B 例 9. C 例 10. D 例 11. A假设12PFPF,由双曲线定义122PFPFn且1222PFPFn, 解得122,2PFnn PFnn而1221F Fn由勾股定理得1 212112PFFSPF PF 点评 考查双曲线定义和方程思想. 例 12)2(112422xyx例 13.设双曲线方程为22916xy( 0) ,22( 3)(23)91614, 双曲线方程为221944xy;设双曲线方程为221164xykk16040kk22(32)21164kk,解之得 k=4, 双曲线方程为221128xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页名师总结精品知识点评注：与双曲线22221xyab共渐近线的双曲线方程为2222xyab( 0) ，当 0 时，焦点在x 轴上；当 0， b2- k0) 。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想. 例 14 解题思路分析：法一：显然AB斜率存在设AB：y- 2=k(x- 1) 由22212ykxkyx得： (2- k2)x2- 2k(2- k)x- k2+4k- 6=0 当 0时，设 A（x1,y1） ，B（x2,y2） 则122(2)22xxkkk k=1，满足 0 直线 AB：y=x+1 法二：设A（x1,y1） ，B（x2,y2）则221122221212yxyx两式相减得：(x1- x2)(x1+x2)=21(y1- y2)(y1+y2) x1 x2121212122()yyxxxxyy2 112ABk AB：y=x+1 代入2212yx得： 0 评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件0 是否成立。（2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件.本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设 A、B、C、D 共圆于 OM，因 AB为弦，故M 在 AB 垂直平分线即CD上；又 CD为弦，故圆心M 为 CD中点。因此只需证CD中点 M 满足 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| 由22112yxyx得： A（- 1，0） ，B（ 3，4）又 CD方程： y=- x+3 由22312yxyx得： x2+6x-11=0 设 C（x3,y3） ，D（x4,y4） ，CD中点 M（x0,y0）则340003,362xxxyx M（ - 3，6）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页名师总结精品知识点 |MC|=|MD|=21|CD|=102又|MA|=|MB|=102 |MA|=|MB|=|MC|=|MD| A、B、 C、D 在以 CD中点， M（- 3，6）为圆心，102为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视. 三、抛物线：例 15. B(22,4282ppxpyy即) 例 16. B 例 17 B(过 P可作抛物线的切线两条，还有一条与x 轴平行的直线也满足要求。) 例 18. C作为选择题可采用特殊值法, 取过焦点， 且垂直于对称轴的直线与抛物线相交所形成线段分别为p, q，则 p=q=|F K|1|2FKa而, 112241()2apqpa例 19.解析：运用抛物线的准线性质.答案： B 例 20.x2=8y例 21 p2例 22 223()94xy例 23- 例 24. 解：由题意，直线AB不能是水平线，故可设直线方程为：pxky2. 又设),(),(BBAAyxByxA，则其坐标满足.2,22pxypxky消去 x 得04222ppkyy由此得.4,22pyypkyyBABA22224)2()(,)24()(4ppyyxxpkyykpxxBABABABA因此0ABABOA OBx xy y,即OAOB. 故 O 必在圆 H 的圆周上 . 又由题意圆心H（HHyx,）是 AB 的中点，故.2,)2(22kpyyypkxxxBABBAH由前已证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页名师总结精品知识点OH 应是圆 H 的半径，且pkkyxOHHH45|2422.从而当 k=0 时，圆 H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小 .此时，直线 AB的方程为： x=2p. 注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系求解有时借助图形的几何性质更为简洁此题设直线方程为x=ky+2p；因为直线过x 轴上是点Q(2p，0)，通常可以这样设，可避免对直线的斜率是否存在讨论2凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算3在引入点参数(本题中以 AB 弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算量由 OAOB得 x1x2+y1y2=O 这个关系对于解决此类问题十分有用 4列出目标函数，|OH|=4524kkP，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路，也可利用基本不等式a2+b2 2ab 当且仅当a=b 时“ =” 成立求解四、求点的轨迹问题例 25. B 例 26. D 例 27. C 例 28. A 例 29. B 例 30. 9x+16y=0 (椭圆内部分 ) 例 31. y 8x五、圆锥曲线综合问题例 32 解析： SAFB=2SAOF，当点A 位于短轴顶点处面积最大.答案： D 例 33. D 例 34. B例 35. B 数形结合估算出D 例 36 D 例 37.k332332k或例 38. 23例 39解：设 AB：y=21x+m,代入双曲线方程得11x2+4mx 4( m2+1) =0, 这里=( 4m)24 11 4( m2+1)=16( 2m2+11)0 恒成立，设 A( x1,y1) ,B( x2,y2) ,AB 的中点为 M( x0,y0), 则 x1+x2=11m4，x0=112m,y0=21x0+m=1112m, 若 A、B关于直线y=2x 对称，则M 必在直线y=2x 上，1112m=114m得 m=1，由双曲线的对称性知，直线 y=21x 与双曲线的交点的A、B必关于直线y=2x 对称 .存在 A、B 且求得 A(112，111)，B(112，111) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页