2022年师高中数学圆锥曲线所有知识点总结、图表总结、圆锥曲 2.pdf
第 1 页高中数学第八章- 圆锥曲线方程 08. 圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程 . 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0( 12222babyax. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0( 12222babxay. 一般方程：)0, 0(122BAByAx.椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20）. 顶点：),0)(0 ,(ba或)0,)(,0(ba.轴：对称轴：x 轴， y轴；长轴长a2 ， 短轴长b2 .焦点：)0,)(0 ,(cc或), 0)(,0(cc.焦距：2221,2baccFF.准线：cax2或cay2.离心率：) 10(eace.焦点半径：i. 设),(00yxP为椭圆)0( 12222babyax上的一点，21,FF为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. ii. 设),(00yxP为椭圆)0( 12222baaybx上的一点，21,FF为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出. 由椭圆第二定义可知：) 0()(),0()(0002200201xaexxcaepFxexacaxepF归结起来为 “ 左加右减 ” . 注意：椭圆参数方程的推导：得)sin,cos(baN方程的轨迹为椭圆. 通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(2222abcabd和),(2abc共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0( 12222babyax的离心率是)(22bacace，方程ttbyax(2222是大于0 的参数，)0ba的离心率也是ace我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 若P 是椭圆：12222byax上的点 .21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得） . 若是双曲线，则面积为2cot2b. 二、双曲线方程. 1. 双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF 双曲线 标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax. 一般方程：)0( 122ACCyAx. i. 焦点在 x 轴上：0201,exaPFexaPF0201,eyaPFeyaPFasinacos,()bsinbcos(),NyxN的轨迹是椭圆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页第 2 页顶点：)0,(),0,(aa焦点：)0,(),0,(cc准线方程cax2渐近线方程：0byax或02222byaxii. 焦点在 y 轴上：顶点：),0(),0(aa. 焦点：), 0(),0(cc. 准线方程：cay2. 渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx.轴yx,为对称轴， 实轴长为2a, 虚轴长为2b， 焦距 2c. 离心率ace. 准线距ca22（两准线的距离） ； 通径ab22. 参数关系acebac,222. 焦点半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax. 例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21, 3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21, 3(得12822yx. 直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；区域： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线， 1条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4 条. （2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号 . 若 P 在双曲线12222byax，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则 P 到两准线的距离比为mn. yxMMF1F2yxMMF1F2yxF1F21234533精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页第 3 页简证：ePFePFdd2121= nm. 常用结论 2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b. 三、抛物线方程. 3. 设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2, 0(pF准线2px2px2py2py范围Ryx, 0Ryx,00, yRx0, yRx对称轴x 轴y 轴顶点（0，0）离心率1e焦点12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：xcbyay2顶点)244(2ababac.)0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx） （ t 为参数） . 四、圆锥曲线的统一定义. 4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F 和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹 . 当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当0e时，轨迹为圆（ace，当bac,0时） . 5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页第 4 页因为具有对称性，所以欲证AB=CD, 即证 AD 与 BC 的中点重合即可. 注： 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1 到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 .（0e1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹 . 图形方程标准方程12222byax(ba0) 12222byax(a0,b0) y2=2px 参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222(t 为参数 ) 范围ax a，by b |x| a，y R x 0 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), ( a,0) , (0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0) 对称轴x 轴， y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b x 轴， y 轴; 实轴长 2a, 虚轴长 2b. x 轴焦点F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)0,2(pF焦距2c （c=22ba）2c （ c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1 准线x=ca2x=ca22px渐近线y=abx 焦半径exar)(aexr2pxr通径ab22ab222p 焦参数ca2ca2P 1.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程的其他形式及相应性质. 2.等轴双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页第 5 页3.共轭双曲线5. 方程 y2=ax 与 x2=ay 的焦点坐标及准线方程. 6.共渐近线的双曲线系方程. 一、椭圆知识总结表格：项目内容第一定义平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12|F F）的点的轨迹叫椭圆。第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(01)ee的点的轨迹叫椭圆。图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页第 6 页标准方程22221()xyaboab22221()xyaboba几何性质范围|,|xayb|,|xbya顶点与长短轴的长1212(,0),( ,0),2(0,),(0, ),2AaA aaBbBbb长轴长短轴长1212(0,),(0, ),2(,0),( ,0),2AaAaaBbB bb长轴长短轴长焦点焦距1222212(,0),( ,0)|2 ()FcFcF Fccab其中1222212(0,),(0, )|2 ()Fc FcF Fccab其中准线方程2axc2ayc焦半径左1020,PFaexPFaex右下1020,PFaeyPFaey上焦准距22abpccc离心率2(01),1cbeeeaa（e越小，椭圆越近似于圆）准线间距22adc对称性椭圆都是关于, x y轴成轴对称，关于原点成中心对称通径22bqa焦点三角形椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形，其周长为22ac ，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三角形椭圆的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形，其周长为4a 。参数方程cos(sinxayb为参数）cos(sinxbya为参数）注意：1、椭圆按向量(, )am n 平移后的方程为：2222()()1xmynab或2222()()1xmynba，平移不改变点与点之间的相对位置关系（即椭圆的焦准距等距离不变）和离心率。2、弦长公式：已知直线：ykxb 与曲线交于两点1122(,),(,)A xyB xy，则22212112|1|1()4ABkxxkxxx x或2121122211|1|1()4AByyyyy ykk3、中点弦问题的方法：方程组法，代点作差法。两种方法总体都体现高而不求的数学思想。双曲线项目内容第一定义平面内与两个定点12,F F 的距离之差等于常数（小于12|F F） 的点的轨迹叫双曲线。第二定义平面内到定点与到定直线的距离之比为常数(1)e e的点的轨迹叫双曲线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页第 7 页图形标准方程22221( ,)xya boab22221( ,)yxa boab几何性质范围|,xa yR,|xRya顶点与实虚轴的长12(,0),( ,0),22 ,AaAaab ab实轴长虚轴长叫等轴双曲线12(0,),(0, ),22 ,AaAaab ab实轴长虚轴长叫等轴双曲线焦点焦距1222212(,0),( ,0)|2 ()FcFcF Fccab其中1222212(0,),(0, )|2 ()Fc FcF Fccab其中准线方程2axc2ayc焦半径当00(,)P xy在右支上时左1020,PFexaPFexa右当00(,)P xy在左支上时左1020(),()PFexaPFexa右当00(,)P xy在上支上时下1020,PFeyaPFeya上当00(,)P xy在下支上时下1020(),()PFeyaPFeya上渐近线方程2222(0)bxyyxaab或2222(0)ayxyxbab或焦准距22abpccc离心率2(1),1cbeeeaa（e越小，双曲线开口越小）,等轴双曲线的2e准线间距22adc对称性双曲线都是关于, x y轴成轴对称，关于原点成中心对称通径22bqa焦点三角形双曲线上一点与双曲线的两个焦点组成的三角形，解题中常用余弦定理和勾股定理来进行相关的计算焦点弦三角形双曲线的一焦点与过另一焦点的弦组成的三角形。参数方程sec(tanxayb为参数）tan(secxbya为参数）项目内容精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页第 8 页抛物线一、焦点弦的结论： （针对抛物线：22ypx 其中0p）1122(,),(,)A xyB xy，AB为过焦点(,0)2pF的弦，则1、焦点弦长公式：2122222cotsinpABxxppp2、通径是焦点弦中最短的弦其长为2p3、2124px x，212y yp ，2121234OA OBx xy yp4、以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切5、已知A、B在准线上的射影分别为1A 、1B ，则三点A、 O 、1B 共线，同时B、 O 、1A 三点也共线6、已知A、B在准线上的射影分别为1A 、1B ，则1190A FB7、112|AFBFp二、顶点直角三角形：直角顶点在抛物线顶点的三角形与其对称轴交于一个定点(2 ,0)Pp，反之，过定点(2,0)Pp的弦所对的顶点角为直角。三、从抛物线的焦点出发的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行。【同步基础】定义平面内到定点F的距离等于到定直线距离的点的轨迹叫抛物线。图形标准方程22ypx (0)p22ypx (0)p22xpy (0)p22xpy (0)p几何性质范围0,xyR0,xyR0,yxR0,yxR开口方向向右向左向上向下焦准距(0)p p顶点坐标坐标原点（ 0，0）焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF准线方程:2plx:2plx:2ply:2ply对称轴x轴x轴y轴y轴离心率1e通径长2p焦半径0|2pPFx0|2pPFx0|2pPFy0|2pPFy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页第 9 页圆锥曲线基础测试1 已知椭圆1162522yx上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为（）A2B3C5D72若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）A116922yxB1162522yxC1162522yx或1251622yxD以上都不对3动点P到点)0 ,1 (M及点)0,3(N的距离之差为2，则点P的轨迹是（）A双曲线B双曲线的一支C两条射线D一条射线4设双曲线的半焦距为c，两条准线间的距离为d，且dc，那么双曲线的离心率e等于（）A2B3C2D35抛物线xy102的焦点到准线的距离是（）A25B5C215D106若抛物线28yx上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）A(7,14)B(14,14)C(7, 2 14)D( 7, 2 14)7若椭圆221xmy的离心率为32，则它的长半轴长为_. 8双曲线的渐近线方程为20 xy，焦距为10，这双曲线的方程为_。9若曲线22141xykk表示双曲线，则k的取值范围是。10抛物线xy62的准线方程为 . 11椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k。12k为何值时，直线2ykx和曲线22236xy有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？13在抛物线24yx上求一点，使这点到直线45yx的距离最短。14双曲线与椭圆有共同的焦点12(0, 5),(0,5)FF，点(3,4)P是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与椭圆的方程。15若动点( , )P x y在曲线2221(0)4xybb上变化，则22xy的最大值为多少？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页第 10 页参考答案1D 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为210,1037a2C 2222218,9,26,3,9,1ababcccabab得5,4ab，2212516xy或1251622yx3D 2,2PMPNMN而，P在线段MN的延长线上4C 2222222,2,2,2acc caeeca5B 210,5pp，而焦点到准线的距离是p6C 点P到其焦点的距离等于点P到其准线2x的距离，得7,2 14Ppxy71,2或当1m时，221,111xyam；当01m时，22222223111,1,4,21144yxabemmaaamm8221205xy设双曲线的方程为224,(0)xy，焦距2210,25cc当0时，221,25,2044xy；当0时，221,()25,2044yx9(, 4)(1,)(4)(1)0,(4)(1)0,1,4kkkkkk或1032x326,3,22pppx111焦点在y轴上，则22251,14,151yxckkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页第 11 页12解：由222236ykxxy，得2223(2)6xkx，即22(23)1260kxkx22214424(23)7248kkk当272480k，即66,33kk或时，直线和曲线有两个公共点；当272480k，即66,33kk或时，直线和曲线有一个公共点；当272480k，即6633k时，直线和曲线没有公共点。13解：设点2( ,4)P tt，距离为d，224454451717ttttd当12t时，d取得最小值，此时1(,1)2P为所求的点。14解：由共同的焦点12(0, 5),(0,5)FF，可设椭圆方程为2222125yxaa；双曲线方程为2222125yxbb，点(3,4)P在椭圆上，2221691,4025aaa双曲线的过点(3,4)P的渐近线为225byxb，即2243,1625bbb所以椭圆方程为2214015yx；双曲线方程为221169yx15解：设点(2cos,sin)Pb，22224cos2 sin4sin2 sin4xybb令22 ,sin,( 11)Txytt，2424,(0)Ttbtb，对称轴4bt当1,44bb即时，max1|2tTTb；当01,044bb即时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
