2022年高三数学第一轮复习——数列 .pdf
高三数学第一轮复习数列一、知识梳理数列概念1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. 2. 通项公式：如果数列na的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(nfan. 3. 递推公式：如果已知数列na的第一项（或前几项） ，且任何一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1nnafa或),(21nnnaafa，那么这个式子叫做数列na的递推公式 . 如数列na中，12, 11nnaaa，其中12nnaa是数列na的递推公式 . 4. 数列的前n项和与通项的公式nnaaaS21；)2()1(11nSSnSannn. 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 . 递增数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 递减数列 : 对于任何Nn, 均有nnaa1. 摆动数列 : 例如 : ., 1, 1 ,1, 1 , 1常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 有界数列 : 存在正数M使NnMan,. 无界数列 : 对于任何正数M, 总有项na使得Man. 等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d， 这个数列叫做等差数列，常数d称为等差数列的公差. 2. 通项公式与前n项和公式通项公式dnaan) 1(1，1a为首项，d为公差.前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn)1(211.3. 等差中项如果bAa,成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 即：A是a与b的等差中项baA2a，A，b成等差数列 . 4. 等差数列的判定方法定义法：daann 1（Nn，d是常数）na是等差数列；中项法：212nnnaaa(Nn)na是等差数列 . 5. 等差数列的常用性质数列na是等差数列，则数列pan、npa（p是常数）都是等差数列；在等差数列na中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即,32knknknnaaaa为等差数列，公差为kd. dmnaamn)(；banan(a,b是常数 )；bnanSn2(a,b是常数，0a) 若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页若等差数列na的前n项和nS，则nSn是等差数列；当项数为)(2Nnn，则nnaaSSndSS1,奇偶奇偶；当项数为)( 12Nnn，则nnSSaSSn1,奇偶偶奇. 等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比数列的公比.2. 通项公式与前n项和公式通项公式：11nnqaa，1a为首项，q为公比.前n项和公式：当1q时，1naSn当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11.3. 等比中项如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列baG2. 4. 等比数列的判定方法定义法：qaann 1（Nn，0q是常数）na是等比数列；中项法：221nnnaaa(Nn) 且0nana是等比数列 . 5. 等比数列的常用性质数列na是等比数列，则数列npa、npa（0q是常数）都是等比数列；在等比数列na中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即,32knknknnaaaa为等比数列，公比为kq. ),(Nmnqaamnmn若),(Nqpnmqpnm，则qpnmaaaa；若等比数列na的前n项和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是等比数列 . 二、典型例题A、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知nS为等差数列na的前n项和，63,6,994nSaa，求n；2、等差数列na中，410a且3610aaa， ，成等比数列，求数列na前 20 项的和20S3、设na是公比为正数的等比数列，若16, 151aa，求数列na前 7 项的和 . 4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页两数之和为36，求这四个数 . 2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知nS为等差数列na的前n项和，1006a，则11S；2、设nS、nT分别是等差数列na、na的前n项和，327nnTSnn，则55ba . 3、设nS是等差数列na的前 n 项和，若5935,95SSaa则（）4、等差数列na,nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（）5、已知nS为等差数列na的前n项和，)(,mnnSmSmn，则nmS . 6、在正项等比数列na中，153537225a aa aa a，则35aa_。7、已知数列na是等差数列，若471017aaa,45612131477aaaaaa且13ka, 则k_。8、已知nS为等比数列na前n项和，54nS，602nS，则nS3 . 9、在等差数列na中，若4, 184SS，则20191817aaaa的值为（）10、在等比数列中，已知910(0)aaa a，1920aab，则99100aa . 11、已知na为等差数列，20, 86015aa，则75a12、等差数列na中，已知848161,.3SSSS求B、求数列通项公式1） 给出前几项，求通项公式1,0,1,0,21,15,10,6, 3, 13，-33,333 ，-3333,33333 2）给出前n 项和求通项公式1、nnSn322；13nnS.2、设数列na满足2*12333()3nnaaaanNn-1+3，求数列na的通项公式3）给出递推公式求通项公式a、已知关系式)(1nfaann，可利用迭加法或迭代法；11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn例：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页b、已知关系式)(1nfaann，可利用迭乘法.1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn例、已知数列na满足：111(2),21nnannaan，求求数列na的通项公式；c、构造新数列1递推关系形如“qpaann 1” ，利用待定系数法求解例、已知数列na中，32, 111nnaaa，求数列na的通项公式 . 2递推关系形如“，两边同除1np或待定系数法求解例、nnnaaa32, 111，求数列na的通项公式 . 3递推已知数列na中，关系形如“nnnaqapa12” ，利用待定系数法求解例、已知数列na中，nnnaaaaa23,2, 11221，求数列na的通项公式 . 4递推关系形如11nnnnapaqa a （p,q0), 两边同除以1nna a例 1、已知数列na中，1122nnnnaaa a1（n2),a，求数列na的通项公式 . 例 2、数列na中，)(42,211Nnaaaannn，求数列na的通项公式 . d、给出关于nS和ma的关系例 1、 设数列na的前n项和为nS， 已知)(3,11NnSaaannn， 设nnnSb3，求数列nb的通项公式例 2、设nS是数列na的前n项和，11a，)2(212nSaSnnn. 求na的通项；设12nSbnn，求数列nb的前n项和nT. C、证明数列是等差或等比数列1)证明数列等差例 1、已知nS为等差数列na的前n项和，)(NnnSbnn. 求证：数列nb是等差数列 . 例 2、已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足an+2SnSn1=0（n2） ，a1=21. 求证： nS1是等差数列；2）证明数列等比例 1、设 an 是等差数列， bnna21，求证：数列 bn 是等比数列；例 2、数列 an 的前 n 项和为 Sn，数列 bn中，若 an+Sn=n.设 cn=an1，求证：数列 cn是等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页比数列；例 3、已知nS为数列na的前n项和，11a，24nnaS. 设数列nb中，nnnaab21，求证：nb是等比数列；设数列nc中，nnnac2，求证：nc是等差数列；求数列na的通项公式及前n项和 . 例 4、设nS为数列na的前n项和，已知21nnnbabS证明：当2b时，12nnan是等比数列；求na的通项公式例 5、已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaa nN证明：数列1nnaa是等比数列；求数列na的通项公式；若数列nb满足12111*44.4(1) (),nnbbbbnanN证明nb是等差数列 . D、求数列的前 n 项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.例 1、求数列n223n的前n项和nS. 例 2、求数列，)21(813412211nn的前n项和nS. 例 3、求和： 2 5+3 6+4 7+n（n+3）2 ） 裂项相消法， 数列的常见拆项 有：11 11()()n nkk nnk；nnnn111；例 1、求和： S=1+n32113211211例 2、求和：nn11341231121. 3）倒序相加法，例、设221)(xxxf，求：)4()3()2()()()(213141ffffff；).2010()2009()2()()()()(21312009120101fffffff4）错位相减法，例、若数列na的通项nnna3) 12(，求此数列的前n项和nS. 5）对于数列等差和等比混合数列分组求和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页例、已知数列 an的前 n 项和 Sn=12n n2，求数列 |an| 的前n项和 Tn. E、数列单调性最值问题例 1、数列na中，492nan，当数列na的前n项和nS取得最小值时，n . 例 2、已知nS为等差数列na的前n项和，.16,2541aa当n为何值时，nS取得最大值；例 3、数列na中，12832nnan，求na取最小值时n的值 . 例 4、数列na中，22nnan，求数列na的最大项和最小项. 例 5、设数列na的前n项和为nS已知1aa，13nnnaS，*nN（）设3nnnbS，求数列nb的通项公式；（）若1nnaa，*nN，求a的取值范围例 6、已知nS为数列na的前n项和，31a，)2(21naSSnnn. 求数列na的通项公式；数列na中是否存在正整数k，使得不等式1kkaa对任意不小于k的正整数都成立？若存在，求最小的正整数k，若不存在，说明理由. 例 7、非等比数列na中，前 n 项和21(1)4nnSa，（1）求数列na的通项公式；（2）设1(3)nnbna(*)nN，12nnTbbb，是否存在最大的整数m，使得对任意的 n 均有32nmT总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由。F、有关数列的实际问题例 1、用砖砌墙 , 第一层 ( 底层 ) 用去了全部砖块的一半多一块, 第二层用去了剩下的一半多一块, 依次类推 ,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块, 到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块 ? 例 2、2002 年底某县的绿化面积占全县总面积的40，从 2003 年开始 , 计划每年将非绿化面积的8绿化 , 由于修路和盖房等用地, 原有绿化面积的2被非绿化 . 设该县的总面积为1,2002年底绿化面积为1041a, 经过n年后绿化的面积为1na, 试用na表示1na；求数列na的第1n项1na；至少需要多少年的努力, 才能使绿化率超过60%(参考数据 :4771.03lg,3010.02lg)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
