2022年高三数学第一轮总复习考点教学设计数列归纳法 .pdf
名师精编优秀教案高三数学第一轮总复习考点教学设计数列归纳法高考命题分析数学归纳法在高考试题中常以解答题出现，主要有证明不等式、证明恒等式和整除三个方面的应用，考题又以数列问题为背景。值得注意的是将数学归纳法与探索性的问题综合起来出现一些非常新颖的题型。考点回顾：1. 数学归纳法的内容：数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要方法，它的内容是：（1）验证当n 取第一个值n0时结论正确，这一步骤称为奠基步骤，是归纳的基础。（2） 假设当nk kNkk()，且0时结论成立， 并以此推出当nk1时结论成立，这一步骤称为递推步骤。2. 数学归纳法的应用：在应用数学归纳法时要重点掌握以下几种类型：（1）等式问题（2）不等式问题（3）数列问题（4）整除问题考点训练EG1、自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 . 用 xn表示某鱼群在第n 年年初的总量，nN*，且 x10.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.（1）求 xn+1与 xn的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设 a2，b1，c=1,为保证对任意x1（ 0,2） ，都有 xn0，nN*，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论 . 解（ 1）从第 n 年初到第n+1 年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为.(*)*),1(.(*)*,1212NncxbaxxNncxbxaxxxcxnnnnnnnnn即因此（ 2 ） 若 每 年 年 初 鱼 群 总 量 保 持 不 变 ， 则xn恒 等 于x1，n N* ， 从 而 由 （ * ） 式 得.0*,0)(11cbaxcxbaNncxbaxnn即所以恒等于因为 x10，所以 ab. 猜测：当且仅当ab，且cbax1时，每年年初鱼群的总量保持不变. （3）若 b 的值使得xn0，n N* 由 xn+1=xn(3bxn), nN*, 知0 xn3b, nN*, 特别地，有0 x13b. 即 0b0. 又因为 xk+1=xk(2 xk)= (xk1)2+110， nN* ，则捕捞强度b 的最大允许值是1. EG2、已知数列:,且满足的各项都是正数na.),4( ,21, 110Nnaaaannn（1）证明;,21Nnaann（2）求数列na的通项公式an. 解： （1）方法一用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21, 10010aaaa210aa，命题正确 . 2假设 n=k 时有.21kkaa则)4(21)4(21,1111kkkkkkaaaaaakn时).4)(21)(21)(211111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa而.0,04.0111kkkkkkaaaaaa又.2)2(421)4(2121kkkkaaaa1kn时命题正确 . 由 1、 2知，对一切nN 时有.21nnaa方法二：用数学归纳法证明：1当 n=1 时，,23)4(21,10010aaaa2010aa；2假设 n=k 时有21kkaa成立，令)4(21)(xxxf，)(xf在0，2上单调递增，所以由假设有：),2()()(1fafafkk即),24(221)4(21)4(2111kkkkaaaa也即当 n=k+1 时21kkaa成立，所以对一切2,1kkaaNn有（2）下面来求数列的通项：,4)2(21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaannbbbbbabnnnnnn202212122222112)21()21(21)21(2121,2 则令, 又 b0=1，所以1212)21(22,)21(nnnnnbab即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编优秀教案EG3 、 已 知 函 数).1(13)(xxxxf设 数 列na 满 足)(,111nnafaa， 数 列nb 满 足).(|,3|*21NnbbbSabnnnn（）用数学归纳法证明12)13(nnnb；（）证明.332nS本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力，满分12 分。（）证明：当.1121)(,0 xxfx时因为 a1=1，所以*).( 1Nnan 2 分下面用数学归纳法证明不等式.2)13(1nnnb（1）当 n=1 时， b1=13，不等式成立，（2）假设当n=k 时，不等式成立，即.2)13(1kkkb那么kkkkaaab1|3|) 13(|3|11 6 分.2)13(2131kkkb所以，当n=k+1 时，不等也成立。根据（ 1）和（ 2） ，可知不等式对任意nN* 都成立。 8 分（）证明：由（）知，.2)13(1nnnb所以12212)13(2)13()13(nnnnbbbS实战训练1、已知某个命题与正整数有关,如果当)(*Nkkn时该命题成立,那么可以推得1kn时该命题也成立.现已知5n时该命题不成立,则( C ) A 4n时该命题成立B 6n时该命题不成立C 4n时该命题不成立D 6n时该命题成立2、用数学归纳法证明:)1,(12131211*nNnnn时,在证明过程的第二步从n=k 到 n=k+1 成立时 ,左边增加的项数是. ( k2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编优秀教案3、设平面内有n 条直线（ n3） ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三直线不过同一点.若用)(nf表示这 n 条直线交点的个数，)4(f= ；当 n4 时，)(nf= .（用 n 表示） 145，) 1)(2(21nn4、已知不等式nnn其中,log21131212为大于 2 的整数，log2n表示不超过n2log的最大整数 . 设数列na的各项为正，且满足, 4,3,2,),0(111nannaabbannn（）证明,5 ,4 ,3,log222nnbban（）猜测数列na是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（）试确定一个正整数N，使得当Nn时，对任意b0，都有.51na本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （）证法1：当,111,0,211111nanaanaannaannnnnnnn时即,1111naann于是有.111,3111,211112312naaaaaann所有不等式两边相加可得.13121111naan由已知不等式知，当n3 时有，.log211121naan.log22.2log2log2111,2221nbbabnbnbabann证法 2：设nnf13121)(，首先利用数学归纳法证不等式.,5 ,4 ,3,)(1nbnfban（i）当 n=3 时，由.)3(11223313333112223bfbaaaaaa知不等式成立. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编优秀教案（ii ）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即,)(1bkfbak则1)(1) 1(11) 1(1)1() 1(1bbkfkkakkakakakkkk,) 1(1)11)(1)()1()1() 1(bkfbbkkfbbbkfkkbk即当 n=k+1 时，不等式也成立. 由（ i） 、 （ii）知，.,5,4,3,)(1nbnfban又由已知不等式得.,5 ,4 ,3,log22log21122nnbbbnban（）有极限，且.0limnna（）,51log2,log2log22222nnnbb令则有,10242,10loglog1022nnn故取 N=1024 ，可使当nN 时，都有.51na精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
