2022年高中数学解题思路大全—例析反函数的几种题型及解法 .pdf

立身以立学为先，立学以读书为本例析反函数的几种题型及解法反函数是高中数学中的重要概念之一，也是学生学习的难点之一。在历年高考中也占有一定的比例。为了更好地掌握反函数相关的内容，本文重点分析关于反函数的几种题型及其解法。一 . 反函数存在的充要条件类型例 1. （20XX 年北京高考） 函数fxxax( )223在区间12，上存在反函数的充要条件是（）A. a，1B. a2，C. a，12D. a12，解析：因为二次函数fxxax( )223不是定义域内的单调函数，但在其定义域的子区间，a或a，上是单调函数。而已知函数f x( )在区间 1，2上存在反函数所以12，a或者12，a即a1或a2故选（ C）评注： 函数yf x( )在某一区间上存在反函数的充要条件是该函数在这一区间上是一一映射。特别地：如果二次函数yfx( )在定义域内的单调函数，那么函数f（x）必存在反函数；如果函数f（ x）不是定义域内的单调函数，但在其定义域的某个子区间上是单调函数，那么函数 f（x）在这个子区间上必存在反函数。二 . 反函数的求法类型例 2. （20XX 年全国卷）函数yxx2310()的反函数是（）A. yxx() ()113B. yxx() ()113C. yxx() ()103D. yxx() ()103解析：由x0可得x230，故y1从yx231解得xy()13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本因x0所以xy()13即其反函数是yxx() ()113故选（ B）。评注：这种类型题目在历年高考中比较常见。在求反函数的过程中必须注意三个问题：（1）反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；（2）求反函数的步骤：求原函数的值域，反表示，即把x 用 y 来表示，改写，即把x 与 y 交换，并标上定义域。其中例3 在反表示后存在正负两种情况，由反函数存在的充要条件可知，只能根据函数的定义域（x0）来确定xy() 13，再结合原函数的值域即可得出正确结论。另外，根据反函数的定义域即为原函数的值域，所以求反函数时应先求出原函数的值域，不应该直接求反函数的定义域。例如：求yxxx2231()的反函数。由x1可得y y|0反表示解出xy14由x1应取xy14即xy14所以yxx140()为其反函数。（3） f（x）与fx1( )互为反函数，对于函数yfx() 1来说，其反函数不是yfx11()，而是yfx11( )。同理yfx11()的反函数也不是yf x()1，而是yf x( )1。三 . 求反函数定义域、值域类型例 3.（20XX 年北京春季） 若fx1( )为函数f xx( )lg()1的反函数，则 f1（x） 的值域为 _ 。解析：通法是先求出f（x）的反函数fxx1101( )，可求得f1（x）的值域为()1，而利用反函数的值域就是原函数的定义域这条性质，立即得f1（x）的值域为()1，。评注：这种类型题目可直接利用原函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域这一性质求解。四 . 反函数的奇偶性、单调性类型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本例 4. 函数yeexx2的反函数是（）A. 奇函数，在（0，）上是减函数B. 偶函数，在（0，）上是减函数C. 奇函数，在（0，）上是增函数D. 偶函数，在（0，）上是增函数解析：因为ex在（0，）上是增函数，ex在（0，）上是减函数所以yeexx2在（0，）上是增函数易知yeexx2为奇函数利用函数yf x( )与 f1（x） 具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C） 。五 . 反函数求值类型例 5. （20XX 年湖南省高考） 设函数 f （x） 的图象关于点 （1， 2） 对称，且存在反函数fxf140( )( )，则f14( )_。解析：由f ( )40，可知函数f（x）的图象过点（4，0）。而点（ 4，0）关于点（ 1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数f（x）的图象上，即有f ()24，所以f142( )。评注：此题是关于反函数求值的问题，但又综合了函数图象关于点的对称问题。在反函数求值时经常要用到这条性质：当函数f（x）存在反函数时，若af b( )，则bfa1( )。如 （ 20XX年 湖 南 省 高 考 ） 设f1（ x ） 是 函 数f xx( )l o g()21的 反 函 数 ， 若11811fafb( )( )，则f ab()的值为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. log23分析：直接利用：若af b( )，则bfa1( )。选（ B）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本六 . 反函数方程类型例 6.（20XX 年上海市高考） 已知函数fxx( )log342， 则方程 f1（x） =4 的解 x=_。解析： 当函数 f（x）存在反函数时， 若af b( )，则bfa1( )。所以只需求出f ( )4的值即为 f1（x）=4 中的 x 的值。易知f ( )41，所以x1即为所求的值。评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求。即先求出反函数f1（x）的解析式，再解方程f1（x）=4，也可得x1。七 . 反函数不等式类型例 7. （20XX 年天津市高考）设f1（x）是函数fxaaaxx( )()21的反函数，则f1（x）1 成立时 x 的取值范围是（）A. aa212，B. ，aa212C. aaa212，D. ()a，解析：由a1，知函数f（x）在 R 上为增函数，所以f1（x）在 R 上也为增函数。故由 f1（x）1，有xf ( )1而faaaa( )1121122可得xaa212故选（ A）。评注：此题除了这种方法外，也可以用常规方法去求，但比较繁琐。而下面的题目选用常规方法解则更为简便。如（20XX 年湖南省高考）设 f1（ x）是函数fxx( )的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A. fxx121( )B. fxx121( )C. fxx121( )D. fxx121( )分析：依题意知fxxx120( )()。画出略图，故选（A）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本八 . 反函数的图象类型例 8. （20XX 年福建省高考）已知函数yxlog2的反函数是yfx1( )，则yfx11()的图象是（）解析：由题意知fxx12( )则fxxxx111112212()()所以yfx11()的图象可由yx12的图象向右平移1 个单位而得到。故选（ C）。评注：解反函数的图象问题，通常方法有：平移法，对称法等。对称法是指根据原、反函数的图象关于直线yx对称来求解；特殊地，若一个函数的反函数是它本身，则它的图象关于直线y=x 对称，这种函数称为自反函数。九 . 与反函数有关的综合性类型例 9. （20XX 年黄冈市模考）设xR， f（x）是奇函数，且fxaaxx()24412。（1）试求 f（ x）的反函数f1（x）的解析式及f1（x）的定义域；（2）设g xxk( )log21，若x1223，时，fxg x1( )( )恒成立，求实数k 的取值范围。解析：（ 1）因为 f（x）是奇函数，且xR所以faa( )00102，即得a1所以fxxx( )2121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页立身以立学为先，立学以读书为本可求得fx( )()11，令yxx2121，反解出211112xyyxyy，log从而fxxxx121111( )log()，（2）因为x1223，所以k0由fxg x1( )( )得logloglog22221111xxxkxk所以1112xxxk即kx221对x1223，恒成立令h xx( )12其在1223，上为单调递减函数则h xh( )min2359所以kh x259( )min又k0，故实数 k 的取值范围是053k评注：本题综合了反函数与函数的奇偶性，换元法求函数的解析式，对数不等式的解法以及含参不等式在定区间上恒成立等知识，是一道综合性较强的好题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页