2022年数字信号处理离散时间信号和系统借鉴 .pdf

一、离散时间信号描述离散时间信号的时域描述1 信号的描述：时域、频域、变换域功率谱概率密度2 信号的性质：确知、随机、平稳非平稳、周期非周期、对称性、奇偶性等; 3 信号的分类4信号的分解：实序列的偶部和奇部5信号的运算：序列的相加z(n)=x(n)+y(n) 序列的相乘f(n)=x(n) y(n) 序列的移位y(n)=x(n-n0)序列的能量6常见离散信号- 序列概念点：正弦信号的周期性判定7任意序列的单位脉冲序列表示信号确定性信号(能量、功率 ) 随机信号(功率信号 ) 周期信号非周期信号P平稳非平稳各态遍历非各态遍历( )( )( )eox nx nxn1( ) ( )()2ex nx nxn1( ) ( )()2oxnx nxn2( )nSx n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 离散时间信号的变换域描述1Z 变换的定义与收敛域要点（1）序列 x(n) 的 Z变换定义为11( )( )2ncx nX Z ZdZj（2）Z 变换存在的充分条件：( )nnx n Z( )nnx n r满足上式的Z 变量取值的域称为收敛域。只要( )x n的增长速度小于nr，则 Z 变换就存在，一般收敛域用环状域表示。（3）Z 变换的收敛域的特点收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有( )( )x nn的收敛域是整个 z 平面。收敛域是连通的；收敛域内没有极点；收敛域由极点确定X(Z) 的收敛域有多种形式；X(Z) + 收敛域，二者共同唯一确定x(n) 因此收敛与对于Z 变换尤为重要， 而序列的特性决定其Z变换收敛域。 典型序列 Z 变换的收敛域（双边，因果，左、右序列）。( )() ()mx nx mnm( )( )nnX zx n zxxnnRzRznxzX|)()(cndzzzXjnx1)(21)(,)xxcRR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 2.离散时间信号的傅里叶变换要点（1）序列 x(n) 的 DTFT定义为1( )()2jjnx nX eed（2）DTFT存在的充分条件：( )nx n（3）DTFT具有唯一性和周期性（4）DTFT主要性质线性：设时移与频移共轭对称性质：( )( )( )rix nx njx n()()()jjjeoX eXeXe( )( ) ( )eox nx nxn()()()jjjRIX eXejXe若令2kN,则是上面的对应关系即为DFT 的共轭对称性。时域卷积：( )( )( )()()()jjjy nx nh nY eX eH e（5）Z 变换与 DTFT （离散时间傅里叶变换）的关系()( )jjnnX ex n e0000( ()()( )()jnjjnjFT x nneX eFT ex nX e11221212()( ),()( ),( )( )()()jjjjXeFT x nXeFT x nFT ax nbx naX ebXe名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - （6）Z 变换与连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系，S域到 Z 域的映射关系；3离散傅里叶变换（DFT ）（1）DFT 的定义要点：（ 1）物理概念： DTFT 的等间隔采样；（ 2）变换区间：有限长N 点（ 3）变换结果：与序列长度N 有关，当N 足够大时，( )X k的包络趋近于()jX e曲线（ 4）频谱分析的意义：( )X k表示(2/)kN k频点的幅度谱线，如果( )x n是模拟信号的采样， 采样间隔为T，2/TfT，则 k 与相应的模拟频率的关系为：22kkkf TN即kkfNT。对模拟频率域而言，N 点 DFT 意味着频域采样间隔为1NTHZ 。所以用DFT 进行谱分析时，称1FNT为频率分辨率。而NT 表示时域采样的区间长度(即观察时间或记录长度PTNT)，显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大。（时宽和带宽的不确定性）（ 5）DFT 的隐含周期性：1) 由 DFT 是 DTFT 的等间隔采样，由于()jX e以 2为周期。2）由kNW的周期性：3）由时域抽样频域周期延拓，频域抽样时域周期延拓。DFT 与 Z 变换 (ZT) 、连续信号傅里叶变换(CTFT) 、离散傅里叶变换(DTFT) 和傅里叶级数(DFS) 的关系：其相互关联的是都是复频域的变换，只不过是变换区间在变化，由面到线再到点，再到主值区间。即由连续到离散再到有限长。10( ) ( )( ), k=0, 1, &, N-1 NknNnX kDFT x nx n W101( )( )( ), k=0, 1, &, N-1 NknNnx nIDFT X kX k WN( )( )( )NX kx k Rk( )()( )( )( )mNx nx nmNx nx nRn(),kkmNNNWWk m N名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - （1）DFT 与 Z 变换 (ZT) kNW是 z 平面单位圆上幅角为的点，即将z 平面上的单位圆N 等分后的第k 点。1）( )X k也就是 z 变换在单位圆上等间隔的采样值。2）( )X k也可看作是对序列付氏变换()jX e的采样，采样间隔为：2NNi.DFT 与连续信号傅里叶变换(DTFT) ii.DFT 与傅里叶级数(DFS)4线性卷积周期卷积与圆周卷积的关系（1）具有不同的卷积特性线性卷积( )()()()()(jjjy nx nh nY eX eH e1010( ) ( )( )( ) ( )( )0kN-1NnnNknNnX zZT x nx n zX kDFT x nx n W22( )( ),0kN-1( )(),0kN-1jkNz ejkNX kX zX kX e2kN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 周期卷积( )()()()()(y nx nh nY kX k Hk圆周卷积()()()()()(y nx nh nYkXk Hk（2）对运算对象有不同要求1）线性卷积的对象可以是有限长或无限长非周期序列，若两个序列的长度分别为M 和N，则卷积后的序列长度为L=M+N-1 2） 周期卷积的对象同周期的周期序列，周期卷积的结果也是同周期的周期序列。3）圆周卷积的对象是两个同长度（若长度不同可用补零的方法达到同长度）的有限长序列，圆周卷积的结果也是同一长度的有限长序列。（3）三种卷积之间的关系圆周卷积是周期卷积的主值区间；圆周卷积是线性卷积L 点周期延拓的主值区间5用 DFT 对模拟信号进行频谱分析的误差: DFT( 实际中用FFT 计算 )可用来对连续信号和数字信号进行谱分析。(1) 混叠现象 (由采样引起 )：(2) 栅栏效应（由频域抽样引起）：减小栅栏效应方法：尾部补零，使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来。(3) 频率泄漏（由截断引起） ： 根据傅里叶变换的频域卷积定理有(4) DFT 的分辨率：参数选择的一般原则：a若已知信号的最高频率防止混叠，选定采样频率max2sffb根据频率分辩率F，确定所需DFT 的长度/sNfFc和 N 确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度/PsTfNNT, 这里 T 是采样周期。6DFT 的应用频谱采样截短DFT a()Xja( )xt( )x n()jX e( )( )( )NNxnx n Rn()jNXe( )NXk2/()jNk NXe名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 二、离散时间系统描述1时域描述一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。即y(n)= Tx(n) 对 T 加以种种约束， 可定义出各类离散时间系统。离散时间系统最重要、最常用的是 “ 线性、时不变系统” 。（1）差分方程（2）状态方程（3）系统的冲激响应（4）系统函数系统性质（1） . 线性系统（满足迭加原理的系统）（2） . 时不变系统（系统的特性不随时间而变化）（3.） 线性时不变系统（既满足迭加原理又具有时不变性）线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成单位脉冲序列的移位加权和当单位脉冲响应用h(n)表示时，对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应 h （n）来表示。 这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积， 或线性卷积。（4） 系统的稳定性与因果性稳定系统：输入有界 - 输出有界 (PIPO)。对线性时不变系统，稳定的充分必要条件为系统的冲激响应绝对可和。( )() ()mx nx mnm( )() ()( )*( )my nx m h nmx nh n( )nh n名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 因果系统：系统的输出y（n）只取决于当前以及过去的输入，与未来的输入无关。对线性时不变系统，因果性的充分必要条件为：( )0 0h nn或Rx- |Z| 稳定系统的H（z）必在单位圆上收敛，即存在。归纳上述性质，线性时不变系统因果稳定系统单位脉冲响应既是单边的，又是绝对可积的，即1 Z|其系统函数H（ z）在从单位圆到的整个区域收敛。H（z）的全部极点必在单位圆以内。这种稳定因果系统既是可实现的又是稳定工作的，这种系统是最主要的系统。全通系统： 全通系统的极点与零点便以共轭倒易关系出现线性相位系统：零点共轭倒易关系最大最小相位延迟系统：最大最小相位超前系统：2变换域描述（1）系统函数H（z） ：可用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r|z|，0r1 。（2）系统频率响应：jeHnnhnnnhnh|)(|000)()(00( )( )( )MiiiNiiib zY zH zX za z( )( )nnH zh n z()( )jjz eH eH z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 要点：对于稳定的因果系统，如果输入一个频率为复正弦序列( )j nx ne，则其输出为( )()jnjy neH e。（3）系统频响的几何确定法：利用系统的极零点分布分析系统的频率特性11()MjrjrNjkkecH eed各零矢量模的连乘积各极矢量模的连乘积三、抽样定理与内插恢复两个内容 : 连续信号经理想抽样后时域、频域发生的变化（理想抽样信号与连续信号频谱之间的关系）理想抽样信号能否代表原始信号、如何不失真地还原信号即由离散信号恢复连续信号的条件（抽样定理）1理想采样过程描述：时域描述：?()() ()() ()( ) ()aaTaannx tx ttx tt nTx nT t nT( )()TnttnT()( )jjnnH eh n e名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 频域描述：利用傅氏变换的性质，时域相乘频域卷积，若()( )TTjt22()()TkjjjkTT则有1?()()()2aaTXjXjj?()aXj与()aXj的关系：理想抽样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样角频率 )。如果：即连续信号是带限的，且信号最高频率不超过抽样频率的二分之一，则可不失真恢复。奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍：22shshff或2抽样信号的内插恢复工程上使用D/A 转换器。理论推导过程如下：（1）频域讨论：当满足奈奎斯特采样定理时有：1?()() 2saaXjXjT这一过程可描述为：?()() 2saaXjTXj?()( )aaXjx t()( )aaXjx t121?()()()aaaskkXjXjjkXjjkTTT()/ 2()0/ 2asasXjXj1?()()aaskXjXjjkT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 或?()()() aaX jH jX j将采样信号通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于S/2，模植为T，采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱。（2）时域内插恢复讨论采样信号通过理想低通滤波器H（j）响应过程的时域描述。由?()()() aaXjH jXj根据频域相乘时域卷积则有：?( )( )( )aax txth t上式说明连续信号的恢复过程是内插函数的移位加权和，在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。内插公式的意义： 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息 奈奎斯特定律。/ 2()0/ 2SSTHjsinsin22ssttTttT221( )()22ssjtjtTh tHjeded?( )( ) ()( ) ()()aaamx txh tdxmTh td( ) () ()() ()aammxh tmT dxmT h tmTsin()()()tmTTh tmTtmTT名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -