2022年最新初一数学奥林匹克竞赛题 .pdf

精品文档精品文档初一数学奥林匹克竞赛题（含答案）初一奥数题一甲多开支100 元，三年后负债 600元求每人每年收入多少？S的末四位数字的和是多少？4一个人以 3 千米/ 小时的速度上坡， 以 6 千米/ 小时的速度下坡， 行程 12 千米共用了 3 小时 20 分钟，试求上坡与下坡的路程5求和：6证明：质数 p 除以 30 所得的余数一定不是合数8若两个整数 x，y 使 x2+xy+y2能被 9 整除，证明： x 和 y 能被 3 整除9如图 195 所示在四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD的中点为 M ，N，MN的延长线与 AB边交于 P点求证： PCD 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半解答：所以x=5000(元) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以 S的末四位数字的和为1995=243因为 a-b0，即ab即当 b a0 或 ba0 时，等式成立4设上坡路程为 x 千米，下坡路程为y 千米依题意则有由有 2x+y=20，由有 y=12-x将之代入得 2x+12-x=20 所以x=8(千米) ，于是 y=4(千米) 5第 n 项为所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档6设 p=30qr ，0r 30因为 p 为质数，故 r 0，即 0r30假设 r为合数，由于r30，所以 r 的最小质约数只可能为2，3，5再由 p=30qr知，当 r 的最小质约数为 2，3，5 时，p 不是质数，矛盾所以， r 一定不是合数7设由式得 (2p-1)(2q-1)=mpq ，即(4-m)pq+1=2(p+q) 可知 m 4由， m 0，且为整数，所以m=1 ，2，3下面分别研究 p，q(1) 若 m=1时，有解得 p=1，q=1，与已知不符，舍去(2) 若 m=2时，有因为 2p-1=2q 或 2q-1=2p 都是不可能的，故m=2时无解(3) 若 m=3时，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解之得故 p q=88因为 x2+xy+y2=(x-y)2+3xy由题设， 9(x2+xyy2) ，所以 3(x2xyy2)，从而 3(x-y)2因为 3 是质数，故 3(x-y) 进而 9(x-y)2由上式又可知，93xy，故 3xy所以 3x 或 3y若 3x，结合 3(x-y) ，便得 3y；若 3y，同理可得， 3x9连结 AN ，CN ，如图 1103所示因为 N是 BD的中点，所以上述两式相加另一方面，SPCD=SCNDSCNPSDNP因此只需证明SANDSCNPSDNP由于 M ，N分别为 AC ，BD的中点，所以SCNP=SCPM-SCMN=SAPM-SAMN=SANP又 SDNP=SBNP，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档SCNPSDNP=SANP+SBNP=SANB=SAND名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档初一奥数题二1已知 3x2-x=1，求 6x3+7x2-5x 2000 的值2某商店出售的一种商品，每天卖出100 件，每件可获利 4 元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1 元，每天就少卖出 10 件试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润？最大利润是多少元？3 如图 196 所示 已知 CB AB ， CE平分 BCD ， DE平分 CDA ， 12=90 求证：DA AB 4已知方程组的解应为一个学生解题时把c 抄错了，因此得到的解为求 a2b2c2的值5求方程 xy- 2x+y=4的整数解6王平买了年利率7.11的三年期和年利率为7.86的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后， 把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761 元， 问王平买三年期与五年期国库券各多少？( 一年期定期储蓄年利率为5.22) 7对 k，m的哪些值，方程组至少有一组解？8求不定方程 3x4y13z=57 的整数解9小王用 5 元钱买 40 个水果招待五位朋友水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为 20 分、8 分、3 分小王希望他和五位朋友都能分到苹果，并且各人得到的苹果数目互不相同，试问他能否实现自己的愿望？解答：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档1原式 =2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000 =2x 131-2x+2000=20032原来每天可获利 4100 元，若每件提价 x 元，则每件商品获利 (4x) 元，但每天卖出为 (100-10 x) 件如果设每天获利为y 元，则y (4x)(100-10 x)=400 100 x-40 x-10 x2=-10(x2-6x 9) 90400=-10(x-3)2490所以当 x=3 时，y 最大=490元，即每件提价 3 元，每天获利最大，为490 元3因为 CE平分 BCD ，DE平分 ADC 及12=90(图 1104)，所以ADC BCD=180 ，所以AD BC 又因为 ABBC ，由， ABAD 4依题意有所以a2+b2+c2=345xy-2x+y=4，即 x( y-2)+( y-2)=2 ，所以(x+1)( y-2)=2 因为 x10，且 x，y 都是整数，所以所以有6设王平买三年期和五年期国库券分别为x 元和 y 元，则因为y=35000-x，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以 x(1 0.07113)(1 0.0522)2+(35000-x)(1+0.07865)=47761，所以 1.3433x 48755-1.393x=47761，所以 0.0497x=994 ，所以 x=20000( 元) ，y=35000-20000=15000(元)7因为 (k1)xm-4， m为一切实数时，方程组有唯一解当k=1，m=4时，的解为一切实数，所以方程组有无穷多组解当 k=1，m 4 时，无解所以， k1，m为任何实数，或 k=1，m=4时，方程组至少有一组解8由题设方程得z3m-yx=19-y-4(3m-y)-m =19+3y-13m 原方程的通解为其中 n，m取任意整数值9设苹果、梨子、杏子分别买了x，y，z 个，则消去 y，得 12x-5z=180它的解是 x=90-5t ，z=180-12t 代入原方程，得 y=-23017t 故 x=90-5t ，y=-230+17t ，z=180-12t x=20， y=8， z=12因此，小王的愿望不能实现，因为按他的要求，苹果至少要有123+4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档56=2120 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档初一奥数题三1解关于 x 的方程2解方程其中 abc03求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和4液态农药一桶，倒出8 升后用水灌满，再倒出混合溶液4 升，再用水灌满，这时农药的浓度为72，求桶的容量5满足-1.77x=-2x的自然数 x 共有几个？这里 x 表示不超过 x 的最大整数，例如-5.6=-6，3=3 6设 P是ABC内一点求： P到ABC 三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围7甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24 千米，甲经过 9小时到东站，乙经过16 小时到西站，求两站距离8黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2？9设有 n 个实数 x1，x2， xn，其中每一个不是 +1就是-1 ，且求证： n 是 4 的倍数解答：1化简得 6(a-1)x=3-6b+4ab ，当 a1 时，2将原方程变形为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档由此可解得 x=ab+c3当 x=1 时，(8-6+4-7)3(2-1)2=1即所求展开式中各项系数之和为1依题意得去分母、化简得 7x2-300 x+800=0，即 7x-20)(x-40)=0，5 若n为 整 数 ， 有 n x=n x， 所 以 -1.77x=-2x0.23x=-2x+0.23x由已知 -1.77x=-2x，所以 -2x=-2x+0.23x，所以 0.23x=0又因为 x 为自然数，所以 00.23x 1，经试验，可知 x 可取 1，2，3，4，共 4 个6如图 1105 所示在 PBC 中有 BC PB PC ， 延长 BP交 AC于 D易证 PB PC AB AC 由， BCPB PC AB+AC ，同理 ACPA PC AC BC ，AB PA PB AC AB 得 AB BC CA 2(PAPB PC)2(ABBC CA)所以7设甲步行速度为x 千米/ 小时，乙步行速度为y 千米/ 小时，则所求距离为(9x+16y) 千名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档米依题意得由得 16y2=9x2，由得 16y=249x，将之代入得即 (24 9x)2=(12x)2解之得于是所以两站距离为 98166=168(千米)8答案是否定的对于2，2，2，首先变为 2，2，3，其中两个偶数，一个奇数以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数( 数值可以改变，但奇偶性不变 ) ，所以，不可能变为19，1997，1999 这三个奇数。又因为所以， k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档初一奥数题四1已知 a，b，c，d 都是正数，并且 ada，cdb求证： acbdab2已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5 倍因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2 倍调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了 2，求乙种商品提价的百分数3在锐角三角形 ABC中，三个内角都是质数求三角形的三个内角4某工厂三年计划中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000 台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台？ z=x+y+y+1+x-2y+4，求 z 的最大值与最小值8从 1 到 500 的自然数中，有多少个数出现1 或 5？9从 19，20，21， 98 这 80 个数中，选取两个不同的数，使它们的和为偶数的选法有多少种？解答：1由对称性，不妨设ba，则 acbdacad=a(cd) ab2设乙种商品原单价为x 元，则甲种商品的原单价为1.5x 元设甲商品降价 y，则乙商品提价2y依题意有1.5x(1-y )+x(1 2y)=(1.5x x)(12)，化简得 1.5-1.5y+1+2y=2.5 1.02所以 y=0.1=10，所以甲种商品降价10，乙种商品提价203因为 A+BC=180 ，所以 A，B，C 中必有偶数唯一的偶质数为 2，所以 C=2 所以 A+B=178由于需 A，B为奇质数，这样的解不唯一，如名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档4设每年增产 d 千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，ad 依题意有解之得所以三年产量分别是4 千台、 6 千台、 8 千台不等式组：所以 x2；无解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档6设原式为 S，则所以又0.112-0.001=0.111 因为所以 =0.1057由 x1，y1 得 -1 x1，-1y1所以 y10，x-2y+4-1-2 1+4=10所以 z=x+y+(y+1)+(x-2y+4)=x+yx-y 5(1) 当 x+y+0 时，z=-(x+y) x-y+5=5-2y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档由-1 y1 可推得 35-2y 7，所以这时， z 的最小值为 3、最大值为 7(2) 当 x+y0 时，z=(x y)+(x-y+5)=2x+5 由-1 x1 及可推得 32x+57，所以这时 z 的最小值为 3、最大值为 7由(1) ，(2) 知，z 的最小值为 3，最大值为 78百位上数字只是 1 的数有 100，101， 199 共 100 个数；十位上数字是 1 或 5 的( 其百位上不为 1)有 2310=60(个) 个位上出现 1 或 5 的( 其百位和十位上都不是 1 或 5) 有 238=48(个) 再加上 500 这个数，所以，满足题意的数共有100+60+48+1=209(个) 9从 19 到 98 共计 80 个不同的整数，其中有40 个奇数， 40 个偶数第一个数可以任选，有 80 种选法第一个数如果是偶数，第二个数只能在其他的39个偶数中选取，有39 种选法同理，第一个数如果是奇数，第二个数也有39种选法，但第一个数为 a，第二个为 b 与第一个为 b，第二个为 a 是同一种选法，所以总的选法应该折半，即共有种选法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档初一奥数题五1一项任务，若每天超额2 件，可提前计划 3 天完工，若每天超额4 件，可提前 5 天完工，试求工作的件数和原计划完工所用的时间2已知两列数2，5，8，11，14，17， 2(200-1) 3，5，9，13，17，21，25， 5(200-1) 4，它们都有 200 项，问这两列数中相同的项数有多少项？3求 x3-3px2q 能被 x22axa2整除的条件4证明不等式5若两个三角形有一个角对应相等求证：这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比6已知 (x-1)2除多项式 x4ax3-3x2bx3 所得的余式是 x+1，试求 a，b的值7今有长度分别为 1，2，3， 9 的线段各一条，可用多少种不同方法，从中选用若干条，使它们能围成一个正方形？8平面上有 10 条直线，其中 4 条是互相平行的问：这10 条直线最多能把平面分成多少部分？9边长为整数，周长为15 的三角形有多少个？解答：1设每天计划完成 x 件，计划完工用的时间为y 天，则总件数为 xy 件依题意得解之得总件数 xy=815=120(件) ，即计划用 15天完工，工作的件数为120件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档2 第一列数中第 n项表示为 2(n-1) 3， 第二列数中第 m项表示为 5(m-1)4要使 2(n-1) 35+(m-1) 4所以因为 1n200，所以所以m=1 ，4，7，10， 148共 50项3x3-3px+2q 被 x22axa2除的余式为 3(a2-p)x 2(qa3)，所以所求的条件应为4令因为所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档5如图 1-106(a) ，(b) 所示 ABC与FDE中，A=D现将 DEF移至 ABC中，使 A与D重合， DE=AE ，DF=AF ，连结 FB此时， AE F的面积等于三角形DEF的面积得6不妨设商式为 x2+x由已知有x4ax3-3x2bx3 =(x-1)2(x2+x)+(x 1) =(x2-2x 1)(x2 x ) x1 =x4+(-2)x3+(1-2 )x2(1-2)x +1比较等号两端同次项的系数，应该有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档只须解出所以 a=1，b=0即为所求7因为所以正方形的边长 11下面按正方形边的长度分类枚举：(1) 边长为 11：92=8+3=7 4=6+5，可得 1 种选法(2) 边长为 10：91=82=73=6+4，可得 1 种选法(3) 边长为 9：9=8+1=7+2=6+3=5+4 ，可得 5 种选法(4) 边长为 8：8=7+1=6+2=5+3 ，可得 1 种选法(5) 边长为 7：7=6+1=52=43，可得 1 种选法(6) 边长 6 时，无法选择综上所述，共有 1+1+5+1+1=9 种选法组成正方形8先看 6 条不平行的直线，它们最多将平面分成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档2+23+4+56=22个部分现在加入平行线加入第 1 条平行线，它与前面的 6 条直线最多有 6 个交点，它被分成 7 段，每一段将原来的部分一分为二，故增加了7 个部分加入第 2，第 3 和第 4 条平行线也是如此， 即每加入一条平行线， 最多增加 7 个部分因此，这些直最多将平面分成22+74=50 个部分9不妨设三角形的三边长a，b，c 满足 abc由 bca，abc=15，abc 可得，15=a(bc) 2a，所以 a7又 15=a+bc3a，故 a5于是 a=5，6，7当 a=5时，bc=10，故 b=c=5；当 a=b 时，bc=9于是 b=6，c=3，或 b=5，c=4；当 a=7 时，b+c=8，于是 b=7，c=1，或 b=6，c=2，或 b=5，c=3，或 b=4，c=4所以，满足题意的三角形共有7 个名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -