2022年高中数学重点知识汇总 .pdf

第 1 页 共 18 页高中数学重点知识与结论分类解析河南省信阳市张宜玉一、集合与简易逻辑1集合的元素具有确定性、无序性和互异性2对集合AB、，AB时，必须注意到 “ 极端 ” 情况：A或B；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集3对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n2，12n.22n，12n4 “ 交 的 补 等 于 补 的 并 ， 即()UUUCABC AC B” ； “ 并 的 补 等 于 补 的 交 ， 即()UUUCABC AC B” 5判断命题的真假关键是 “ 抓住 关联字词 ” ；注意： “ 不 或 即 且 ，不 且 即 或”6“ 或命题 ” 的 真假特点是 “ 一真即真，要假全假” ；“ 且命题 ” 的真假特点是“ 一假即假，要真全真 ” ；“ 非命题 ” 的真假特点是“ 一真一假 ” 7四种命题 中“逆 者 交换 也 ” 、“否 者 否认 也” 原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价 反证法分为三步： 假设、推矛、得果注意 ：命题的否认是“ 命题的非命题，也就是 条件不变，仅否认结论 所得命题 ” ，但否命题是 “ 既否认原命题的条件作为条件，又否认原命题的结论作为结论的所得命题” 8充要条件二、函数1指数式、对数式，mnmnaa，1mnmnaa，logaNaNlog(0,1,0)baaNNb aaN，01a，log 10a，log1aa，lg 2lg51，loglnexx，logloglogcacbba，loglogmnaanbbm2 1映射 是 “全部射出 加 一箭一雕 ”；映射中第一个集合A中的元素必有像，但第二个集合B中的元素不一定有原像A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页第 2 页 共 18 页有，也可任意个 ；函数是 “ 非空数集上的映射” ，其中 “ 值域是映射中像集B的子集 ” 2函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个3函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像3单调性和奇偶性1奇函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性完全相同偶函数在关于原点对称的区间上假设有单调性，则其单调性恰恰相反注意： 1确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等 对于偶函数而言有：()( )(|)fxf xfx2假设奇函数定义域中有0，则必有(0)0f即0( )f x的定义域时，(0)0f是( )f x为奇函数的必要非充分条件3确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法取值、作差、鉴定、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法图像法、特殊值法等等4既奇又偶函数有无穷多个( )0fx，定义域是关于原点对称的任意一个数集7复合函数的单调性特点是：“ 同性得增，增必同性；异性得减，减必异性” 复合函数的奇偶性特点是：“ 内偶则偶， 内奇同外 ” 复合函数要考虑定义域的变化。即复合有意义4对称性与周期性以下结论要消化吸收，不可强记1函数xfy与函数xfy的图像关于直线0 xy轴对称推广一：如果函数xfy对于一切xR，都有faxf bx成立，那么xfy的图像关于直线2abx由 “x和的一半()()2axbxx确定 ” 对称推 广 二 ： 函 数xafy，yf bx的 图 像 关 于 直 线2bax 由axbx确定对称2函数xfy与函数xfy的图像关于直线0yx轴对称3函数xfy与函数yfx的图像关于坐标原点中心对称推广： 曲线( , )0f x y关于直线yxb的对称曲线是(,)0fyb xb；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页第 3 页 共 18 页曲线( ,)0f x y关于直线yxb的对称曲线是(,)0fybxb5类比 “ 三角函数图像” 得：假设( )yf x图像有两条对称轴,()xa xb ab，则( )yf x必是周期函数，且一周期为2|Tab如 果( )yf x是R上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为T， 那 么()( )()f xnTfx nZ特 别 ： 假 设()( )(0)f xaf x a恒成 立， 则2Ta假 设1()(0)( )f xaaf x恒成立，则2Ta假设1()(0)( )f xaaf x恒成立，则2Ta三、数列1数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：11,(1),(2)nnnSnaSSn必要时请分类讨论 注意：112211()()()nnnnnaaaaaaaa；121121nnnnnaaaaaaaa2等差数列 na中：1等差数列公差的取值与等差数列的单调性21(1)naand()manm d；pqmnpqmnaaaa31(1)nkma、nka也成等差数列4两等差数列对应项和差组成的新数列仍成等差数列51211,mkkkmaaaaaa仍成等差数列61()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad，21()22nddSnan，2121nnSan，( )(21)nnnnAaf nfnBb7,()0pqpqaq ap pqa；,()()pqp qSq Sp pqSpq；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页第 4 页 共 18 页m nmnSSSmnd8“ 首正 ” 的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“ 首负 ” 的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；9有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定假设总项数为偶数，则“ 偶数项和 ” “ 奇数项和 ” 总项数的一半与其公差的积 ；假设总项数为奇数，则“ 奇数项和 ” “ 偶数项和 ” 此数列的中项10两数的等差中项惟一存在在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“ 中项关系 ” 转化求解11判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式3等比数列na中：1等比数列的符号特征 全正或全负或一正一负 ， 等比数列的首项、公比与等比数列的单调性211nnaa qnmma q；pqmnpqmnbbbb3|na、1(1)nkma、nka成等比数列； nnab、成等比数列nna b成等比数列4两等比数列对应项积商组成的新数列仍成等比数列51211,mkkkmaaaaaa成等比数列6111111 (1) (1)(1) (1) (1)1111nnnnnaqnaqSaaaa qaqqqqqqqq特别：123221()()nnnnnnnabab aabababb7mnmnmnnmSSq SSq S8“ 首大于 1” 的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1 的项的积； “ 首小于 1” 的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1 的项的积；9有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定假设总项数为偶数，则“ 偶数项和 ” “ 奇数项和 ” 与“ 公比 ” 的积 ；假设总项数为奇数，则“ 奇数项和 ” “ 首项 ” 加上 “ 公比 ” 与“ 偶数项和 ” 积的和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页第 5 页 共 18 页10并非任何两数总有等比中项仅当实数,a b同号时，实数,a b存在等比中项对同号两实数,a b的等比中项不仅存在，而且有一对Gab 也就是说，两实数要么没有等比中项非同号时 ， 如果有，必有一对同号时在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“ 中项关系 ” 转化求解11判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式4等差数列与等比数列的联系1如果数列na成等差数列，那么数列naAnaA总有意义必成等比数列2如果数列na成等比数列，那么数列log|(0,1)anaaa必成等差数列3如果数列 na既成等差数列又成等比数列，那么数列na是非零常数数列；但数列 na是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件4 如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“ 由特殊到一般的方法” 进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，并构成新的数列注意：1公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab但也有少数问题中研究nnab，这时既要求项相同，也要求项数相同 2三四个数成等差 比的中项转化和通项转化法5数列求和的常用方法：1公式法 ：等差数列求和公式三种形式，等比数列求和公式三种形式，1123(1)2nn n，22221123(1)(21)6nn nn，2135(21)nn，2135(21)(1)nn2分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“ 和式 ” 中 “ 同类项 ” 先合并在一起，再运用公式法求和3倒序相加法 ：在数列求和中，假设和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页第 6 页 共 18 页列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和这也是等差数列前n和公式的推导方法 4错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“ 一个新的的等比数列的和” 求解注意：一般错位相减后，其中 “ 新等比数列的项数是原数列的项数减一的差” ！ 这也是等比数列前n和公式的推导方法之一5裂项相消法 ：如果数列的通项可“ 分裂成两项差 ” 的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和常用裂项形式有：111(1)1n nnn，11 11()()n nkk nnk，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1 的关系，必要时分类讨论6通项转换法。四、三角函数1终边与终边相同的终边在终边所在射线上2()kkZ终边与终边共线的终边在终边所在直线上终边与终边关于x轴对称2()kkZ终边与终边关于y轴对称2()kkZ终边与终边关于原点对称2()kkZ一般地：终边与终边关于角的终边对称22()kkZ与2的终边关系由 “ 两等分各象限、一二三四” 确定2弧长公式：|lR，扇形面积公式：211|22SlRR，1 弧度 1rad57.33三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正注意：6262sin15cos75,sin75cos1544，tan15cot7523,tan75cot1523，51sin1844三角函数线的特征是：正弦线 “ 站在x轴上起点在x轴上 ” 、余弦线 “ 躺在x轴上起精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页第 7 页 共 18 页点是原点 ” 、正切线 “ 站在点(1,0)A处起点是A” 务必重视 “ 三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系， 正弦 纵坐标 、 余弦 横坐标 、 正切 纵坐标除以横坐标之商”；务必记住 ：单位圆中角终边的变化与sincos值的大小变化的关系为锐角sintan5三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视 “ 根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号” ；6三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限7三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数常值的变换，其核心是 “ 角的变换 ” !角的变换主要有： 已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换如()()，2()()，2()()，22，222等常值变换主要指“1”的变换：22221sincossectantancottansincos042xxxxxx等三角式变换主要有：三角函数名互化 切割化弦 、三角函数次数的降升降次、 升次、运算结构的转化和式与积式的互化解题时本着 “ 三看 ” 的基本原则来进行: “ 看角、看函数、看特征 ”,基本的技巧有:巧变角 ,公式变形使用,化切割为弦 ,用倍角公式将高次降次注意 ：和差 角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次升次公式中的符号特征“ 正余弦 三兄妹 sincos sin cosxxxx、 的联系 ” 常和三角换元法联系在一起sincostxx2,2,sincosxx 辅助角公式中辅助角确实定：22sincossinaxbxabx其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由tanba确定在求最值、 化简时起着重要作用尤其 是 两 者 系 数 绝 对 值 之 比 为13或的 情 形 sincosAxBxC有 实 数 解222ABC8三角函数性质、图像及其变换：1三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性注意：正切函数、 余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页第 8 页 共 18 页某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变； 其他不定 如xyxysin,sin2的周期都是, 但sincosyxxxxycossin的 周 期 为2，y=|tanx| 的 周 期 不 变 ， 问 函 数y=cos|x|,xyxyxycos,sin,sin2，y=cos|x|是周期函数吗？2三角函数图像及其几何性质：3三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换4三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法 五点横坐标成等差数列和变换法9三角形中的三角函数：1内角和定理 ：三角形三角和为，任意两角和 与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方2正弦定理 ：2sinsinsinabcRABCR 为三角形外接圆的半径注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，假设运用正弦定理，则务必注意可能有两解3余弦定理 ：22222222()2cos ,cos122bcabcaabcbcAAbcbc等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型4面积公式：11sin224aabcSahabCR五、向量1向量运算的几何形式和坐标形式，请注意 ：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征2 几 个 概 念 ： 零 向 量 、 单 位 向 量 与AB共 线 的 单 位 向 量 是|ABAB， 特 别 ：()()ABACABACABACABAC 、平行共线向量无传递性，是因为有0 、相等向量有传递性 、相反向量 、 向量垂直 、以及 一个向量在另一向量方向上的投影a在b上的投影是cos,a baa bbR 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页第 9 页 共 18 页3两非零向量平行共线的充要条件/abab22()(| |)a bab12120 x xy y两个非零向量垂直的充要条件0| |aba babab12120 x xy y特别：零向量和任何向量共线ba是向量平行的充分不必要条件! 4平面向量的基本定理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使 a=1e12e25三点ABC、 、共线ABAC、共线；向量PA PB PC、中三终点ABC、 、共线存在实数、使得：PAPBPC且16向量的数量积：22|( )aaa a，1212|cosa babx xy y，121222221122cos|x xy ya babxyxy，12122222|cos,|x xy ya babaa bbxy在 上的投影注意 ：,a b为锐角0a b且a b、不同向；,a b为直角0a b且0a b、；,a b为钝角0a b且a b、不反向；0a b是,a b为钝角的必要非充分条件向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量， 这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“ 乘法 ” 不满足结合律，即cbacba)()(?，切记两向量不能相除相约 7| | |ababab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页第 10 页 共 18 页注意 ：a b、同向或有0| |abab| |abab ；a b、反向或有0| |abab| |abab ；a b、不共线| | |ababab 这些和实数集中类似8.中点坐标公式121222xxxyyy，122MPMPMPP为12PP的中点ABC中，ABAC过BC边中点；()()|ABACABACABACABAC；|ABABAB与共线的单位向量是1()3PGPAPBPCG为ABC的重心；特别0PAPBPCP为ABC的重心PA PBPB PCPC PAP为ABC的垂心；()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心 是BAC的角平分线所在直线 ；|0AB PCBC PACA PBPABC的内心22211sin()22ABCSAB ACAABACAB AC六、不等式1 1解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值2解分式不等式0aaxgxf的一般解题思路是什么？移项通分，分子分母分解因式， x 的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回 ；3含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化 ；4解含参不等式常分类等价转化 ，必要时需分类讨论注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但假设按未知数讨论，最后应求并集精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页第 11 页 共 18 页2利用重要不等式abba2以及变式2()2abab等求函数的最值时，务必注意 a，bR或 a ， b 非负 ，且 “ 等号成立 ” 时的条件是积ab 或和 ab 其中之一应是定值一正二定三等四同时 3常用不等式有：2222211abababab根据目标不等式左右的运算结构选用a、b、cR，222abcabbcca当且仅当abc时，取等号4比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法 、商比较法、函数性质法、综合法、分析法5含绝对值不等式的性质：ab、同号或有0| | |abab| |abab；ab、异号或有0| |abab| |abab 注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？常应用方程函数思想和“ 别离变量法 ” 转化为最值问题 6不等式的恒成立,能成立 ,恰成立等问题1 恒成立问题假设不等式Axf在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上minfxA假设不等式Bxf在区间D上恒成立 ,则等价于在区间D上maxfxB2 能成立问题假设在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 ,即Axf在区间D上能成立, ,则等价于在区间D上maxfxA假设在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 ,即Bxf在区间D上能成立, ,则等价于在区间D上的minfxB3 恰成立问题假设不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页第 12 页 共 18 页假设不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D, 七、直线和圆1 直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义(1, )ak或(0,1)(0)及其直线方程的向量式00(,)xxyyaa为直线的方向向量 应用直线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x 轴时，即斜率k 不存在的情况？2知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或0 x；知直线横截距0 x，常设其方程为0 xmyx直线斜率k 存在时，m为 k 的倒数或0y知直线过点00(,)xy，常设其方程为00()yk xxy或0 xx注意 ： 1直线方程的几种形式：点斜式、 斜截式、 两点式、 截矩式、 一般式、向量式 以及各种形式的局限性 如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？与直线:0lAxByC平行 的直线可表示为10AxByC；与直线:0lAxByC垂直 的直线可表示为10BxAyC；过点00(,)P xy与直线:0lAxByC平行 的直线可表示为：00()()0A xxB yy；过点00(,)P xy与直线:0lAxByC垂直 的直线可表示为：00()()0B xxA yy2直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0直线两截距相等直线的斜率为-1 或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1 或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点3在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合3相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,2，而其到角是带有方向的角，范围是(0,)注：点到直线的距离公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页第 13 页 共 18 页0022|AxByCdAB特别 ：12121212121()0llk kkkA AB B、都存在时；1212211212121221/()kkABA BllkkbbACA C、都存在时；12211212121212211221()=A BA BkkllkkbbACA CBCB C、 重合、都存在时或4线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解5圆的方程：最简方程222xyR；标准方程222()()xaybR；一般式方程22xyDx220(40)EyFDEF；参数方程cos(sinxRyR为参数；直径式方程121()()()xxxxyy2()0yy注意：1 在圆的一般式方程中， 圆心坐标和半径分别是221(,),4222DERDEF2圆的参数方程为“ 三角换元 ” 提供了样板，常用三角换元有：221cos ,sinxyxy，2222cos ,2 sinxyxy，221cos ,sin (01)xyxryrr，222xycos,sin(02)xryrr6解决直线与圆的关系问题有“ 函数方程思想 ” 和“ 数形结合思想 ” 两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“ 圆的平面几何性质如半径、 半弦长、 弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等的作用! ”1过圆222xyR 上一点00(,)P xy圆的 切线方程 是：200 xxyyR，过圆222()()xaybR上一点00(,)P xy圆的切线方程是：200()()()()xaxayayaR，过圆220 xyDxEyF22(40)DEF上一点00(,)P xy圆的切线方程是：0000()()022DExxyyxxyyF如果点00(,)P xy在圆外 ，那么上述直线方程表示过点P两切线上两切点的“ 切点弦 ”精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页第 14 页 共 18 页方程如果点00(,)P xy在圆内 ，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于1O P1O为圆心的直线方程，21|O PdRd为圆心1O到直线的距离 7曲线1:( , )0Cf x y与2:( ,)0Cg x y的交点坐标方程组( ,)0( , )0f x yg x y的解；过两圆1:( , )0Cf x y、2:( ,)0Cg x y交点的圆公共弦系为( ,)( , )0f x yg x y，当且仅当无平方项时，( , )( , )0f x yg x y为两圆公共弦所在直线方程八、圆锥曲线1圆锥曲线的两个定义，及其 “ 括号 ” 内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果 涉及到其两焦点两相异定点 ，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果 涉及到其焦点、准线一定点和不过该点的一定直线或离心率， 那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及 到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用1注意 ：圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用；圆锥曲线第二定义是：“ 点点距为分子、点线距为分母” ，椭圆点点距除以点线距商是小于1 的正数，双曲线点点距除以点线距商是大于1 的正数，抛物线点点距除以点线距商是等于1圆锥曲线的焦半径公式如下列图：2圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势其中cea，椭圆中21bea、双曲线中21bea重视 “ 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其 顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质 ” ，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点注意 ：等轴双曲线的意义和性质3在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“ 函数方程思想” 和“ 数形结合思想” 两种思路，等价转化求解特别是：直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必 “ 判别式 0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“ 判别式 0”()a exa exa ex()a ex2pxa exa ex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页第 15 页 共 18 页直线与抛物线相交不一定交于两点、双曲线位置关系相交的四种情况的特殊性，应谨慎处理在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与 “ 弦” 相关，“ 平行弦 ” 问题的 关键是 “ 斜率 ” 、“ 中点弦 ” 问题 关键是 “ 韦达定理 ” 或 “ 小小直角三角形” 或“ 点差法 ” 、“ 长度弦长 ” 问题关键是长度弦长公式221212|()()ABxxyy，2222|1|1|xABkxxka, 1221|1|AByyk211|yka或 “ 小小直角三角形” 如果在一条直线上出现 “ 三个或三个以上的点” ，那么 可选择应用 “ 斜率 ” 为桥梁 转化4要重视常见的寻求曲线方程的方法待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法、向量法等, 以及 如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点注意 ：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“ 摘帽子或脱靴子” 转化，还是选择向量的代数形式进行“ 摘帽子或脱靴子”转化曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上 特殊点 对轨迹的 “ 完备性与纯粹性” 的影响在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于 “ 平面几何性质” 数形结合 如角平分线的双重身份、“ 方程与函数性质” 化解析几何问题为代数问题、“ 分类讨论思想” 化整为零分化处理、 “ 求值构造等式、求变量范围构造不等关系” 等等九、直线、平面、简单多面体1计算异面直线所成角的关键是平移补形转化为两直线的夹角计算2计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法直线上向量与平面法向量夹角的余角 ，三余弦公式最小角定理，12coscoscos ，或先运用等积法求点到直线的距离， 后虚拟直角三角形求解注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线3空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，请重视线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页第 16 页 共 18 页面平行关系、线面垂直关系三垂线定理及其逆定理的桥梁作用注意：书写证明过程需标准特别声明：证明计算过程中，假设有 “ 中点 ” 等特殊点线， 则常借助于 “ 中位线、 重心 ” 等知识转化在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化构造为特殊几何体如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等中问题，并获得去解决如果根据已知条件，在几何体中有“ 三条直线两两垂直” ，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题4直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质如长方体中：对角线长222labc，棱长总和为4()abc，全表面积为2()abbcca， 结合2222()222abcabcabbcca可得关于他们的等量关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式，222coscoscos2(1)；如三棱锥中：侧棱长相等侧棱与底面所成角相等顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直两对对棱垂直顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等侧面与底面所成相等且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心如正四面体和正方体中：5求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积转换法、比例性质转换法等注意： 补形： 三棱锥三棱柱平行六面体分割： 三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是6多面体是由假设干个多边形围成的几何体棱柱和棱锥是特殊的多面体正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体a33a36a3212Va63a1arccos33arccos3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页第 17 页 共 18 页9球体积公式343VR，球外表积公式24SR，是两个关于球的几何度量公式它们都是球半径及的函数十、导数1导数的意义 ：曲线在该点处的切线的斜率几何意义、瞬时速度、边际成本成本为因变 量 、 产 量 为 自 变 量 的 函 数 的 导 数 1()nnxnx，( )0C C为 常 数 ，( )( )( )( )f xg xfxg x，( )( )Cf xCfx2多项式函数的导数与 函数的 单调性 ：在一个区间上( )0fx个别点取等号( )f x在此区间上为增函数在一个区间上( )0fx个别点取等号( )f x在此区间上为减函数3导数与极值、导数与最值：1函数( )f x在0 x处有0()0fx且“ 左正右负 ”( )f x在0 x处取极大值；函数( )f x在0 x处有0()0fx且“ 左负右正 ”( )f x在0 x处取极小值注意：在0 x处有0()0fx是函数( )f x在0 x处取极值的必要非充分条件求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值 特别是给出函数极大小值的条件，一定要既考虑0()0fx，又要考虑验“ 左正右负” “ 左负右正 ” 的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记单调性与最值极值的研究要注意列表！2函数( )f x在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“ 最大值 ” ；函数( )f x在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“ 最小值 ” ；注意：利用导数求最值的步骤： 先 找定义域再求出导数为0 及导数不存在的的点，然后 比较定义域的端点值和导数为0 的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页第 18 页 共 18 页就为最小值 4应用导数求曲线的切线方程，要 以“ 切点坐标 ” 为桥梁 ，注意题目中是“ 处” 还是 “ 过” ，对“ 二次抛物线 ” 过抛物线上一点的切线抛物线上该点 处 的切线，但 对“ 三次曲线 ” 过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点5注意应用函数的导数，考察函数单调性、最值极值，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题十一、概率、统计、算法略14123Oxy( )fx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页