2022年初三数学中考第二轮专题复习之开放性综合题 .pdf

学习必备欢迎下载初三数学中考第二轮复习之开放性综合题一、知识网络梳理开放型试题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热点考题。这类题目要求学生通过观察、分析、比较、概括，总结出题设反映出的某种规律，进而利用这个规律解决相关问题这类试题主要考查学生的逻辑判断能力和归纳推理能力。题型条件开放与探索条件开放探索题的明确特征是缺少确定的条件，问题所需补充的条件不是得出结论的必要条件，所需补充的条件不能由结论推出题型结论开放与探索给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性， 或者相应的结论的“ 存在性 ” 需要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力题型解题方法的开放与探索策略开放性问题，一般指解题方法不惟一或解题途径不明确的问题，这类问题要求解题者不墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。二、知识运用举例（一）条件开放例 1.已知（x1，y1），(x2，y2)为反比例函数xky图象上的点，当x1x20 时，y1y2，则 k 的一个值可为 _（只需写出符号条件的一个k 的值）解：答案不唯一，只要符合k0 即可，如k 1，或 k 2例 2.如图，已知，在ABC 和 DCB 中， ACDB，若不增加任何字母与辅助线，要使ABC DCB，则还需增加一个条件是_图 1 解：答案不惟一.如： ABDC； ACB DBC； A DRtD B C A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载例 3 已知点()P xy，位于第二象限，并且4yx，xy，为整数，写出一个符合上述条件的点P的坐标：答：( 1 3)，( 1 2)，( 11)，( 21)，( 2 2)，( 31)，六个中任意写出一个即可例 4 如图，四边形ABCD 是矩形， O 是它的中心，E、F 是对角线 AC 上的点（1）如果 _ ，则 DECBFA（请你填上能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论分析： 这是一道探索条件、补充条件的开放型试题，解决这类问题的方法是假设结论成立，逐步探索其成立的条件解：（ 1）AE CF（OEOF；DEAC；BFAC；DE BF 等等）（2）四边形ABCD 是矩形， AB CD，ABCD， DCE BAF又 AECF， ACAEACCF， AFCE， DECBAF说明： 考查了矩形的性质及三角形全等的判定例 5 已知： MAN30，O 为边 AN 上一点，以O 为圆心， 2 为半径作 O，交 AN 于D，E 两点，设ADx（1）如图（ 1）当 x 取何值时， O 与 AM 相切；（2）如图（ 2）当 x 为何值时，O 与 AM 相交于 B，C 两点，且 BOC90图 3 【解答】（ 1）在图（ 1）中，当 O 与 AM 相切时，设切点为F连结 OF，则 OFAM，?在 RtAOF 中， MAN30，OF12OA 212（x2）， x2，当 x2 时， O 与 AM 相切（2）?在图（ 2）中，过点O 作 OHBC 于 H图 2 ABCDEFO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页学习必备欢迎下载当 BOC90时， BOC 是等腰直角三角形，BC222222OBOC22，OHBC， BHCH， OH12BC2在 RtAHO 中， A30，OH12OA，212（x2）， x222当 x222 时， O 与 AM 相交于 B，C 两点，且 BOC90【点评】解答这类问题往往是把结论反过来当条件用，本例利用了圆的切线性质和垂径定理，构造特殊直角三角形，使问题得以求解（二）结论开放例 1 如图，在 ABC 中， AB AC，ADBC，D 为垂足由以上两个条件可得 _(写出一个结论 ) 解： 1 2 或 BDDC 或 ABD ACD 等图 4 例 2：已知一次函数图像经过P（1，2），写出满足条件的一个一次函数的解析式：（只要满足条件的答案均可）解析： 该题是一道结论开放的试题，其实只要掌握平面内，经过一点的直线有无数条，就不难求出经过点P（1，2）的直线有： y=2x 或 y=3x1 或 y=3+x 或 y=x+1例 3 已知矩形 ABCD 和点 P， 当点 P 在边 BC 上任一位置 （?如图所示）时，易证得结论：PA2 PC2 PB2PD2，请你探究： 当 P?点分别在图、 ?图中的位置时，PA2、 PB2、PC2和 PD2又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论， ?并利用图证明你的结论答：对图的探究结论为_图 5 对图的探究结论为_21DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载证明：如图2结论均是： PA2PC2PB2PD2证明：如图过点P 作 MNAD 交 AD 于点 M，交 BC 于点 NADBC，MNAD， MN BC在 RtAMP 中， PA2PM2MA2在 RtBNP 中， PB2PN2BN2在 RtDMP 中， PD2DM2PM2在 RtCNP 中， PC2PN2NC2PA2 PC2PM2MA2PN2NC2PB2PD2PM2DM2BN2PN2MN AD，MNNC，DC BC四边形 MNCD 是矩形MD NC同理AMBNPM2MA2PN2NC2PM2DM2BN2 PN2即 PA2PC2PB2PD2【评析】 本题也是一道结论开放题，通过阅读题目已知条件及要求，不难探究出正确结论，但是说明理由时，有一定的难度正确作出辅助线，创造使用勾股的条件，是解决问题的关键（三）综合开放例 1 如图， ABC 中， ABAC，过点 A 作 GE BC，角平分线BD、CF 相交于点H，它们的延长线分别交GE于点 E、G.试在图中找出3 对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明解： BCF CBD . BHF CHD . BDACFA. (注意答案不唯一) 图 7 证明 BCF CBDABAC. ABC ACB. BD、CF 是角平分线 . BCF21ACB， CBD21ABCA D H F E G B C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载 BCF CBD. 又 BCCB. BCF CBD例 2 已知抛物线1)(2mxy与x轴的交点为A、B（B 在 A 的右边），与y轴的交点为C（1）写出1m时与抛物线有关的三个正确结论；（2）当点 B 在原点的右边， 点 C 在原点的下方时，是否存在 BOC 为等腰三角形的情形?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；图 8 （3）请你提出一个对任意的m值都能成立的正确命题（说明：根据提出问题的水平层次，得分有差异）解：当 m1 时，抛物线解析式为y) 1(2x1，可从对称轴、顶点坐标、开口方向、最值、增减性等多方面去写出许多正确结论，任写三个就可；（2）存在 m2；（ 3）是结论开放题，答案有许多，如：抛物线y)(2mx1 与 x 轴总有交点，顶点纵坐标为 1 或函数最大值为1 等例 3 如图 9，直线ACBD，连结AB，直线ACBD，及线段AB把平面分成、 、 四个部分， 规定：线上各点不属于任何部分当动点P落在某个部分时， 连结PAPB，构成PAC，APB，PBD三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角）（1）当动点P落在第部分时，求证：APBPACPBD；（2）当动点P落在第部分时，APBPACPBD是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P在第部分时，全面探究PAC，APB，PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论选择其中一种结论加以证明ABCDABCDPABCD图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载解：（ 1）解法一：如图91 延长 BP 交直线 AC 于点 E ACBD ， PEA PBD APB PAE PEA ，APB PAC PBD 解法二：如图92 过点 P 作 FPAC ，PAC APF . ACBD ，FPBD . FPB PBD . APB APF FPB PAC PBD 解法三：如图93， ACBD ，CAB ABD 180即PAC PAB PBA PBD 180又 APB PBA PAB 180， APB PAC PBD . （2）不成立 . （3）(a)当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是PBDPACAPB (b)当动点 P 在射线 BA 上，结论是PBD PAC APB 或PAC PBD APB 或 APB 0，PAC PBD（任写一个即可）(c) 当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是PAC APB PBD 选择 (a) 证明：如图 94，连接 PA，连接 PB 交 AC 于 M ACBD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载PMC PBD 又PMC PAM APM ，PBD PAC APB 选择 (b) 证明：如图95 点 P 在射线 BA 上，APB 0 ACBD ，PBD PAC PBD PAC APB 或 PAC PBD APB或APB 0，PAC PBD. 选择 (c) 证明：如图 96，连接 PA，连接 PB 交 AC 于 F ACBD ，PFA PBD PAC APF PFA ，PAC APB PBD 例 4、（ 1）如图1，在梯形ABCD 中， ABCD，CD=a，AB=b ，E 为 AD ?边上的一点，EFAB，且 EF 交 BC 于点 F某学生在研究这一问题时，发现如下事实：当DEAE=1 时，有 EF=2ab；当DEAE=2 时，有 EF=23ab；当DEAE=3 时，有 EF=34ab当DEAE=k 时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明：（2）现有一块直角梯形田地（如图2 所示），其中ABCD，AD AB ，AB=310m ，CD=170m ，AD=70m 若要将这块地分成两块，均为直角梯形，且面积相等请你给出具体分割方案解题思路：（1）猜测当DEAE=k 时， EF=1akbk?可利用三角形相似和平行线等分线段成比例定理来完成证明；（2）利用第（ 1）题结论，应在AD 上找一合适点E，过 E 作EFAB 交 BC 于 F，?这样可将原梯形分割成上、下两块直角梯形，利用它们的面积相等，可确定 E 的位置精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载(1) (2) (3) 图 10 解：（ 1）猜想 EF=1akbk证明：如图3，过点 E 作 BC 的平行线交BC 于 G，交 CD 的延长线于H 点ABCD， DHE AGE ，DHAG=DEAE=k又 EF ABCD， CH=EF=GB ，DH=EF a，AG=b EFEFabEF=k，可得 EF=1akbk（2）在 AD 上取一点E，作 EFAB 交 BC 于点 F设DEAE=k，则 EF=17031070,11kkDEkk若 S梯形DCFE=S梯形ABFE，则 S梯形ABCD=S梯形DCFE梯形 ABCD 、DCFE 为直角梯形170310117031070702(170)2211kkkk化简得： 12k27k12=0，解得 k1=43，k2=34（舍去）DE=701kk=40（m）所以只需在AD 边上取点 E，使 DE=40m ，作 EFAB（或 EFDA ），?即可将梯形分成两个直角梯形，且它们的面积相等评析：此题是将阅读理解与探索猜想嫁接在一起的新型考题，要求学生通过观察进行分析和比较，从特殊到一般去发现规律，能概括地用数学符号表达出来，并会运用结论解题三、知识巩固训练精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载1、多项式 x2 px12 可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是（写出一个即可）2、请写出一个开口向上，对称轴为直线x2，且与 y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 _ 3、平移抛物线228yxx，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式_ 4、请给出一元二次方程28xx_0 的一个常数项，使这个方程有两个不相等的实数根5、如图， ABC 中， D、E 分别是 AC、 AB 上的点， BD 与 CE 交于点 O给出下列三个条件： EBO DCO； BEO CDO； BECD（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定 ABC 是等腰三角形 （用序号写出所有情形）；（2）选择第（ 1）小题中的一种情形，证明ABC 是等腰三角形6、 在正方形ABCD 中，点 P 是 CD 上一动点， 连结 PA，分别过点 B、D 作 BEPA、DF PA，垂足分别为E、F，如图（1）请探索BE、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系若点P 在 DC?的延长线上（如图），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在 CD?的延长线上呢（如图）？请分别直接写出结论；（2）请在（ 1）中的三个结论中选择一个加以证明7、在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位： cm）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载8、如图，已知A（ 1，0）， E（0，22），以点 A 为圆心，以AO?长为半径的圆交x轴于另一点B，过 B 作 BFAE 交 A 于点 F，直线 FE 交 x 轴于点 C（1）求证：直线FC 是 A 的切线；（2）求点 C 的坐标及直线FC 的解析式；（3）有一个半径与A 的半径相等，且圆心在x 轴上运动的P，若 P 与直线FC?相交于 M，N 两点，是否存在这样的点P，使 PMN 是直角三角形？若存在，求出点P 的坐标； ?若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页