2022年初中函数相关知识总结 .pdf

一、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与 y，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量， y 是 x 的函数。2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。（2）列表法把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。二、正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果bkxy（k，b 是常数， k0） ，那么 y 叫做 x 的一次函数。特别地， 当一次函数bkxy中的 b 为 0 时，kxy（k 为常数， k0） 。这时， y 叫做 x 的正比例函数。2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数bkxy的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数kxy的图像是经过原点（0，0）的直线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页k 的符号b 的符号函数图像图像特征k0 b0 y 0 x 图像经过一、二、三象限，y 随 x的增大而增大。b0 y 0 x 图像经过一、三、四象限，y 随 x的增大而增大。K0 y 0 x 图像经过一、二、四象限，y 随 x的增大而减小b0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k0 时， y 随 x 的增大而增大（2）当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。x 的取值范围是x0，y 的取值范围是y0；当 k0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而增大， 简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442） ；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆- 同左上加异右下减 ( 必须理解记忆 ) 说明函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：1212tanxxyykb为直线在 y轴上的截距 4、直线方程：4、两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()( t an112121xxxxxyybxbkxyy此公式有多种变形牢记点斜)(11xxkxyy斜截直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb( k0) 截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1byax牢记口诀 -两点斜截距- 两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为，1l：11yk xb2l：22yk xb若12/ll，则有1212/llkk且12bb。若12121llkk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页6、点 P（x0，y0）到直线 y=kx+b( 即： kx-y+b=0) 的距离 : 1)1(2002200kbykxkbykxd7、抛物线cbxaxy2中， a b c,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置. 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . 口诀 - 同左异右（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 九，中考点击考点分析：内容要求1、函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点2、自变量与函数之间的变化关系及图像的识别，理解图像与变量的关系3、一次函数的概念和图像4、一次函数的增减性、象限分布情况，会作图5、反比例函数的概念、图像特征，以及在实际生活中的应用6、二次函数的概念和性质，在实际情景中理解二次函数的意义，会利用二次函数刻画实际问题中变量之间的关系并能解决实际生活问题命题预测：函数是数形结合的重要体现，是每年中考的必考内容，函数的概念主要用选择、填空的形式考查自变量的取值范围，及自变量与因变量的变化图像、平面直角坐标系等，一般占2%左右一次函数与一次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页方程有紧密地联系，是中考必考内容，一般以填空、选择、解答题及综合题的形式考查，占5%左右反比例函数的图像和性质的考查常以客观题形式出现，要关注反比例函数与实际问题的联系，突出应用价值， 36 分；二次函数是初中数学的一个十分重要的内容，是中考的热点，多以压轴题出现在试卷中要求：能通过对实际问题情景分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；会用描点法画二次函数图像，能丛图像上分析二次函数的性质；会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴，并能解决实际问题会求一元二次方程的近似值分析近年中考，尤其是课改实验区的试题，预计20XX 年除了继续考查自变量的取值范围及自变量与因变量之间的变化图像，一次函数的图像和性质，在实际问题中考查对反比例函数的概念及性质的理解同时将注重考查二次函数，特别是二次函数的在实际生活中应用十、初中数学助记口诀( 函数部分 ) 特殊点坐标特征: 坐标平面点 (x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和 (+,-),四个象限分前后；X 轴上 y 为 0,x 为 0 在 Y轴。对称点坐标 : 对称点坐标要记牢, 相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反 ,Y 轴对称 ,x 前面添负号； 原点对称最好记 , 横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律: 若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k 的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号, 上下平移在末稍, 同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀: 一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单, 经过原点一直线；两个系数 k 与 b, 作用之大莫小看， k 是斜率定夹角,b 与 Y轴来相见 ,k 为正来右上斜 ,x 增减 y 增减； k 为负来左下展,变化规律正相反；k 的绝对值越大, 线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀: 二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、 顶点和交点 ,它们确定图象现；开口、大小由 a 断,c 与 Y轴来相见 ,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要, 一般式配方它就现，横标即为对称轴, 纵标函数最值见。若求对称轴位置 , 符号反 , 一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀: 反比例函数有特点, 双曲线相背离的远;k 为正 , 图在一、三( 象) 限,k 为负 ,图在二、四( 象) 限; 图在一、 三函数减 , 两个分支分别减。图在二、 四正相反 , 两个分支分别添; 线越长越近轴 , 永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k 的正负是关键， 决定直线的象限， 负 k 经过二四限， x 增大 y 在减，上下平移k 不变，由引得到一次线，向上加b 向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k 落在一三限， x 增大 y 在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y 的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a 的正负开口判，c 的大小 y 轴看，的符号最简便，x 轴上数交点，a、b 同号轴左边抛物线平移a 不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。1 对称点坐标 : 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。关于x轴对称2yaxbxc关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页