2022年含参不等式恒成立问题的求解策略教学案 .pdf
学习必备欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略教（学）案教学目标：知识与技能：理解不等式恒成立问题成立的充要条件，并掌握解决此类问题的基本技能过程与方法：培养分析、解决问题的能力，体验函数思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想教学重点：重点：理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌握不等式恒成立问题的基本技能教学难点：难点：利用转化思想，通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题教学过程：一、设置情境，感受生活用不等式的知识怎样概括表达？可以归结为什么类型的问题？二、了解高考，把握热点简单的生活问题，概括为“不等式恒成立”的数学问题，它不但在近几年高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大题为主。三、感悟高考明确考向若对任意x0，xx23x1a 恒成立，则a 的取值范围是_,51三、回归课本提炼方法例 1 已知函数31( )43f xxax=在区间0,3上的导数( )0fx，则实数a的取值范围是,13归纳总结，概括方法从例 1 可以看出，解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法：（ 1）转化为求原函数的最值( )0f x恒成立min( )0f x，( )0fx恒成立max( )0f x变式 1 不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A(, 14,)B(, 25,)C1,2D(,12,)变 式2 设1122nnS， 对 于n*N， 总 有nS43m成 立 ， 整 数m的 最 大 值为7,变式 3 设函数( )lnf xxax，当0a恒有 f(x) 1，求实数a的取值范围, 1设计意图： 越是高考最后的阶段越需要回过头来研读课本，近几年来恒成立问题的试题主要是基本初等函数的组合为主，在课本中都有原型。所以引用课本例题进行改编和变式，从简单的函数入手掌握解题方法，然后进行巩固、辨析、加深。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载三、化隐为显突出重围例 2 设函数( )(0)kxf xxek，若函数( )f x在区间( 1,1)内单调递增，求k的取值范围 .从例 2 可以看出，解决恒成立的不等式问题，还可以考虑如下方法：（ 2）变量分离法（转化为求新函数最值）( )( )f xg a（a为参数）恒成立min( )( )f xg a( )( )f xg a（a为参数）恒成立max( )( )f xg a变式 4 若命题“2, 2390 xRxa x”为假命题，则实数a的取值范围为。设计意图： 学生在解决恒成立问题时首先是被题目中隐性恒成立问题所迷惑，不知道是关于恒成立问题；其次，当发现是恒成立的问题后又无法选取正确的、简便的方法去解决问题。四、变形求解提升思维例 3 设函数 f(x)x(ex1)ax2，若当 x0 时， f(x)0，求 a 的取值范围变式 5 设函数( )xxf xee，若对任意的0 x都有( )f xax成立，求实数a的取值范围设计意图： 学生在解决恒成立问题时首先想到的是直接用常规方法解决，当直接解法无法解决问题时，就要考虑变形求解。五、增加参数体会深度例 4已知432( )216lnf xxaxxxb，其中,a bR.若对 对任意 2,2a，4( )f xx在(0,1x上恒成立，求实数b的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载分析思路：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数本题的实质还是通过函数求最值解决解：4( )f xx恒成立又(0,1x即23216lnxxbax恒成立由 2,2a得2min3216ln( )2xxbax又( 0 , 1x23216ln2xxbx即32min( 2216ln)bxxx设32( )2216lng xxxx，则216( )64gxxxx，(0,1x( )0g x，所以32( )2216lng xxxx在(0,1x递减min( )(1)0g xg所以 实数b的取值范围是0b设计意图：通过变式，逐步增加思考难度，例4 是有关双参数的恒成立问题，再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用函数思想求解的重要性变式6 已知函数0 xbxaxxf，其中Rba,. 若对于任意的2,21a，不等式10 xf在1 ,41上恒成立，求b的取值范围 . 方法 1：化归最值，10)(10)(maxxhxh；方法 2：变量分离，)(10 xxab或xbxa)10(2；方法 3：变更主元，0101)(bxaxa，2,21a六、课堂小结通过今天这堂复习课，我们领略了解决恒成立问题的多种常见求解方法，事实上， 这些方法都不是孤立的，在具体的解题实践中，往往需要综合考虑，灵活运用，才能使问题得以顺利解决但是，不管哪一种解法，都渗透了数学最本质的思想，即通过化归到函数求其最值来处理七、课堂练习问题 1已知函数f(x)=3x2-(2a+6)x+a+3。(1) 对任意的Rx时，f(x)的值域是),0，求 a 的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载(2) 对任意的Rx时，都有0)(xf恒成立，求a 的取值范围。(3) 对任意的 1,4x时，都有0)(xf恒成立，求a 的取值范围。(4) 若存在1,4x，使0)(xf恒成立，求a 的取值范围。(5) 对任意的 1,4a时，都有0)(xf恒成立，求x 的取值范围。【设计意图】（1）这是一个恰成立问题。f(x)的值域是),0，是指对定义域内所有x 值， f(x)必须取遍),0的所有值，因此必须令f(x)的最小值等于0，即033)(2minaaxf，解得a=0 或 a=-3。涉及了二次函数配方求最小值问题。（2）这是一个恒成立问题。0)(xf恒成立，是指对定义域内的所有x 的值， f(x)恒取非负实数，这里 f(x)不一定要等于0， 比如允许5)(xf， 而 f(x)可以不取)5 ,0的值，即 f(x)的最小值大于或等于0。因为这里的定义域是R，所以可利用.0)3(34)62(2aa解得03a。（3）与（ 2）的区别在于定义域的改变。虽然同样是恒成立问题，但是处理问题的方法有所不同。本题的解法是分离参数， 1)21(41)21(23)21(12232xxxxxa，转化为求最大值问题。（4）这是一个能成立问题。是指 1, 4x时，只要有x 满足0)(xf即可，不一定要保证所有的x 都满足0)(xf。本题的解法是分离参数，1)21(41)21(23)21(12232xxxxxa，转化为求最小值问题。（5）关于 x 的不等式转化为关于字母a 的函数式 （主元转变），令 g(a)=3x2-(2a+6)x+a+3 借助函数 g(a)的几何背景，充分运用 1,4a的条件，即0) 1(0)4(gg。问题 2 问题 1 中的 5 个小题很相似，能说说它们之间的区别和联系？ （复习逻辑用语？）【设计意图】体会问题1 中 5 个小题之间的区别和联系，体会处理各种相似问题 的方法。问题 3 你还能改变问题1 中的条件，提出新问题吗？【设计意图】学生不但应有解决问题的能力，还应有提出问题的能力通过此问题，试图培养学生提出问题的能力，进一步进行变式、开放，发散思维只提问题，但不解决，留作课后思考题。（但不知学生是否能提出问题 ）意图难以琢磨。问题 4 回顾问题1 的解题过程，说说你有哪些收获？【设计意图】作为高三数学复习，不能停留在“会做”、获得结果这个层面上必须在如何分析条件、理解题意、寻找思路上下工夫，教会学生正确地逻辑地思考问题高考数学的复习，不仅要体现“量”，更需要体现“质” ，这样才能举一反三注意引导学生回顾、反思，积累经验最后归结为：1.构造函数，利用函数的图像与性质分析求解。2.正确区分恒成立、能成立、恰成立问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载3. 处理三类问题的常用方法。（这里把握不好，感觉提升的不够）思考题：已知关于 x的方程 x2-ax-2=0 的两根为 x1， x2， 试问：是否存在实数m， 使得不等式|1212xxlmm对任意实数 1 ,1a及 1 , 1l恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由。八、课后反思巩固1已知函数f（ x）xaxx22，x 1，)若对任意x 1，)，f（x） 0 恒成立，实数a 的取值范围是.2设函数329( )62f xxxxa对于任意实数x，( )fxm恒成立，m的最大值是；3. 函数2( )ln21f xxxmx在(0,)上单调递增，则实数m的取值范围为。4. 设函数2( )1fxx，对任意2,3x，24( )(1)4()xfm f xf xf mm恒成立，则实数m的取值范围是 . 5. 设函数2( )(4)8ln(4)fxxx， 若当14,4xee时，不等式|( ) |f xm，求实数m的取值范围。答案： m 1e2 + 8 6.已知函数322( )(1)52f xxkkxx，22( )1g xk xkx，其中kR.（I）设函数( )( )( )p xfxg x若( )p x在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；答案：5, 2k7已知函数1( )ln(1),01xf xaxxx，其中0a若( )f x的最小值为1，求 a 的取值范围。答案：2,).8.已知函数32( )1f xxaxx，aR设函数( )f x在区间2133，内是减函数， 求a的取值范围9.已知函数)0()(acxbaxxf的图象在点)1(,1 (f处的切线方程为.1xy (I)用 a 表示出 b,c;(II)若, 1ln)(在xxf上恒成立 , 求 a 的取值范围 ;答案：1,)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载10设函数)(xf=21xexax.若当 x0 时)(xf0，求 a 的取值范围 . 答案：1(,2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
