2022年高等数学讲义---一元函数微分学 .pdf

24 第二章一元函数微分学 2.1 导数与微分甲内容要点一、导数与微分概念1、导数的定义设函数)(xfy在点0 x的某领域内有定义，自变量x在0 x处有增量x，相应地函数增量)()(00 xfxxfy。如果极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在，则称此极限值为函数)(xf在0 x处的导数也称微商，记作0()fx，或0 xxy，0 xxdxdy，0)(xxdxxdf等，并称函数)(xfy在点0 x处可导。如果上面的极限不存在，则称函数)(xfy在点0 x处不可导。导数 定义的另一等价形式，令xxx0，0 xxx，则0000( )()()limxxf xf xfxxx我们也引进单侧导数概念。右导数：0000000( )()()()()limlimxxxfxf xf xxf xfxxxx左导数：0000000( )()()()()limlimxxxf xf xf xxf xfxxxx则有)(xf在点0 x处可导)(xf在点0 x处左、右导数皆存在且相等。2导数的几何意义与物理意义如果函数)(xfy在点0 x处导数0()fx存在，则在几何上0()fx表示曲线)(xfy在点)(,00 xfx处的切线的斜率。切线方程：000()()()yf xfxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页25 法线方程：00001()() ()0)()yf xxxfxfx设物体作直线运动时路程S与时间 t的函数关系为)(tfS， 如果0( )ft存在， 则0( )ft表示物体在时刻0t时的瞬时速度。3函数的可导性与连续性之间的关系如果函数)(xfy在点0 x处可导，则)(xf在点0 x处一定连续，反之不然，即函数)(xfy在点0 x处连续， 却不一定在点0 x处可导。 例如，|)(xxfy，在00 x处连续，却不可导。4微分的定义设函数)(xfy在点0 x处有增量x时， 如果函数的增量)()(00 xfxxfy有下面的表达式0()()yA xxox0 x其中)(0 xA为x为无关，()ox是0 x时比x高阶的无穷小， 则称)(xf在0 x处可微，并把y中的主要线性部分xxA)(0称为)(xf在0 x处的微分，记以0 xxdy或0)(xxxdf。我们定义自变量的微分dx就是x。5微分的几何意义)()(00 xfxxfy是曲线)(xfy在点0 x处相应于自变量增量x的纵坐标)(0 xf的增量，微分0 xxdy是曲线)(xfy在点)(,(000 xfxM处切线的纵坐标相应的增量见图 。6可微与可导的关系)(xf在0 x处可微)(xf在0 x处可导。且000()()xxdyA xxfxdx一般地，)(xfy则( )dyfx dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页26 所以导数( )dyfxdx也称为微商，就是微分之商的含义。7高阶导数的概念如果函数)(xfy的导数( )yfx在点0 x处仍是可导的， 则把( )yfx在点0 x处的导数称为)(xfy在点0 x处的二阶导数，记以0 xxy，或0()fx，或022xxdxyd等，也称)(xf在点0 x处二阶可导。如果)(xfy的1n阶导数的导数存在，称为)(xfy的n阶导数，记以)(ny，)()(xyn，nndxyd等，这时也称)(xfy是n阶可导。二、导数与微分计算1导数与微分表略2导数与微分的运算法则1四则运算求导和微分公式2反函数求导公式3复合函数求导和微分公式4隐函数求导法则5对数求导法6用参数表示函数的求导公式乙典型例题一、用导数定义求导数例设)()()(xgaxxf，其中)(xg在ax处连续，求( )fa解：( )( )() ( )0( )limlim( )xaxaf xf axa g xfag axaxa二、分段函数在分段点处的可导性例 1 设函数1,1,)(2xbaxxxxf试确定a、b的值，使)(xf在点1x处可导。解：可导一定连续，)(xf在1x处也是连续的。由1lim)(lim)01(211xxffxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页27 babaxxffxx)(lim)(lim)01 (11要使)(xf在点1x处连续，必须有1ba或ab1又2111( )(1)1(1)limlimlim(1)211xxxf xfxfxxx111( )(1)1(1)(1)limlimlim111xxxfxfaxba xfaxxx要使)(xf在点1x处可导，必须(1)(1)ff，即a2. 故当1211,2aba时，)(xf在点1x处可导 . 例 2 设1lim)()1()1(2xnxnnebaxexxf，问a和b为何值时，)(xf可导，且求( )fx解：1x时，)1(limxnne，1x时，0lim)1(xnne，xbax，xba，xxxf1,1,211,)(2由1x处连续性，1lim)(lim211xxfxx，121)1 (baf，可知1ba再由1x处可导性，21(1)(1)lim1xxffx存在1()(1)(1)lim1xaxbffx存在且(1)(1)ff根据洛必达法则12(1)lim21xxf1(1)lim1xafa，2a于是11ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页28 ,1, 12,1, 1,1,)(2xxxxxxf2 ,1,( )2,1,xxfxx三、运用各种运算法则求导数或微分例 1 设)(xf可微，)()(lnxfexfy，求dy解：)(ln)(ln)()(xdfedexfdyxfxf()()1( )(ln)(ln)fxfxfx efx dxfx edxx( )1( )(ln)(ln)fxefx fxfx dxx例 2 设xxxy)0(x，求dxdy解：xxyxlnln对x求导，得11() lnxxyxxxyx再令xxy1，xxylnln1，对x求导，111ln1yxy，()(ln1)xxxxx于是xxxxxxxxxdxdy1ln)1(ln0 x例 3 设)(xyy由方程xyyx所确定，求dxdy解：两边取对数，得yxxylnln，对x求导，lnlnyxyxyyxy(ln)lnxyyxyyx，22nlnyxyyyxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页29 例 4 设tuttuduueyuduex20)1ln(sin22求dydx解：)21ln(2sinsin22224tetettedtdydtdxdydxttt四、求切线方程和法线方程例 1 已知两曲线)(xfy与2arctan0 xtyedt在点 0，0处的切线相同，写出此切线方程，并求2lim()nnfn。解：由已知条件可知0)0(f，2(arctan )02(0)11xxefx故所求切线方程为xy2()(0)2lim( )lim 22(0)22nnffnnffnn例 2 已知曲线的极坐标方程cos1r，求曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程。解：曲线的参数方程为cossinsinsin)cos1(coscoscos)cos1(2yx1sincos2sinsincoscos62266ddxddydxdy故切线方程)4323(14321xy即045343yx法线方程1333()2424yx即041341yx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页30 例3 设)(xf为 周 期 是5的 连 续 函 数 ， 在0 x邻 域 内 ， 恒 有(1sin )3 (1sin)8( )fxfxxx。其中0)(lim0 xxx，)(xf在1x处可导，求曲线)(xfy在点)6(,6 f处的切线方程。解：由题设可知)1()6(ff，(6)(1)ff，故切线方程为(1)(1)(6)yffx所以关键是求出)1 (f和(1)f由)(xf连续性)1 (2)sin1 (3)sin1(lim0fxfxfx由所给条件可知0) 1(2 f，0)1(f再由条件可知8)sin)(sin8(limsin)sin1(3)sin1 (lim00 xxxxxxfxfxx令8)1(3)1(lim,sin0ttftftxt，又0)1(f 上式左边 =)()1()1 (lim3)1()1 (lim00tftftftftt=(1)3(1)4(1)fff则4(1)8f(1)2f所求切线方程为)6(20 xy即0122yx五、高阶导数1求二阶导数例 1 设)ln(22axxy，求 y解：22221()yxxaxxa2222221)1(1axaxxaxx3222322)(2)(21 axxxaxy例 2 设2ln(1)xarctan tyt求22dxyd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页31 解：ttttdtdxdtdydxdy21112222222()()2/2(1)11dydyddd ydxdxdxtdxdxdtdtt例 3 设)(xyy由方程122yx所确定，求 y解：022yyx，yxy2221xyyxyyyyy22331yxyy2求n阶导数2n，正整数先求出,yy，总结出规律性，然后写出)(ny，最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式1xeyxney)(2) 1, 0(aaayxnxnaay)(ln)(3xysin)2sin()(nxyn4xycos)2cos()(nxyn5xylnnnnxny)!1()1(1)(两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式)()()()(0)()()(xvxuCxvxunkknkknn其中)!( !knknCkn，)()()0(xuxu，)()()0(xvxv假设)(xu和)(xv都是n阶可导精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页32 例 1 设kxyk正整数，求)(nyn正整数解：knknxnkkkynkn,0,) 1() 1()(例 2 设xxyn1，求)(nyn正整数解：)1(1111) 1(21xxxxxxynnn1)(1)()1(!)1(nnnxnxy例 3 设2132yxx，求)(nyn正整数解：11)1()2(1121)2)(1(1xxxxxxy22(2)(1) yxx33( 1)( 2)(2)(1) yxx( )(1)(1)( 1)!(2)(1)nnnnynxx例 4 设xxy44cossin，求)(nyn正整数解：22)22cos1()22cos1(xxyxx4cos4143)2cos22(412)24cos(4)24cos(4411)(nxnxynnn例 5 设xexy23，求)(nyn正整数解：用莱布尼兹公式)(2)(30)()()(knxknkknnexCy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页33 )3(2)2(2) 1(22)(23)(66)2)(1()(62)1()(3)(nxnxnxnxennnexnnenxex)2)(1()1(612822323nnnxnnnxxexn 2.2 微分中值定理本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理泰勒公式。注：数学三不考泰勒定理，数学四不考泰勒定理 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。甲内容要点一、罗尔定理设函数)(xf满足1在闭区间 ba,上连续；2在开区间ba,内可导；3)()(bfaf则存在),(ba，使得( )0f几何意义：条件1说明曲线)(xfy在)(,(afaA和)(,(bfbB之间是连续曲线；包括点 A 和点 B。条件 2说明曲线)(xfy在BA,之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线 不包括点A和点B。条件 3说明曲线)(xfy在端点A和B处纵坐标相等。结论说明曲线)(xfy在点A和点B之间 不包括点A和点B至少有一点， 它的切线平行于x轴。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页34 二、拉格朗日中值定理设函数)(xf满足1在闭区间 ba,上连续；2在开区间ba,内可导则存在),(ba，使得( )( )( )f bf afba或写成( )( )( )()()f bf afbaab有时也写成000()()()(01)f xxf xfxxx这里0 x相当a或b都可以，x可正可负。几何意义： 条件1 说明曲线)(xfy在点)(,(afaA和点)(,(bfbB之间 包括点A和点B是连续曲线：条件 2说明曲线)(xfy不包括点A和点B是光滑曲线。结论说明：曲线)(xfy在A，B之间 不包括点A和点B，至少有点，它的切线与割线AB是平行的。推论 1 假设( )f x在( ,)a b内可导，且( )0fx，则( )f x在( , )a b内为常数。推论2 假设)(xf和)(xg在ba,内可导，且( )( )fxg x，则在,ba内Cxgxf)()(，其中C为一个常数。注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当)()(bfaf特殊情形，就是罗尔定理三、柯西中值定理设函数)(xf和)(xg满足： 1在闭区间 a，b上皆连续； 2在开区间a，b内皆可导；且( )0g x，则存在),(ba使得( )( )( )()( )( )( )f bf afabg bg ag注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形xxg)(时，柯西中值定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页35 理就是拉格朗日中值定理几何意义：考虑曲线的参数方程,)()(battfytgx点)(),(afagA，点)(),(bfbgB曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线_AB. 值得注意： 在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四、泰勒定理泰勒公式数学一和数学二定理 1带皮亚诺余项的n阶泰勒公式设)(xf在0 x处有n阶导数，则有公式)()(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200 000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn0 xx其中00( )() ()nnR xo xxxx称为皮亚诺余项。0)()(lim00nnxxxxxR前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如)1ln(,cos,sin,xxxex和ax)1(为实常数 等的n阶泰勒公式都要熟记。定理 2 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式设( )f x在包含0 x的区间( ,)a b内有1n阶导数，在 , a b上有n阶连续导数，则对,bax，有公式)()(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200 000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR， 在0 x与x之间称为拉格朗日余项。上面展开式称为以0 x为中心的n阶泰勒公式。00 x时，也称为麦克劳林公式。如果0)(limxRnn，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页36 乙典型例题一、用罗尔定理的有关方法例 1 设)(xf在0，3上连续，在 0，3内可导，且3)2()1 ()0(fff，1)3(f. 试证：必存在)3,0(，使( )0f证：)(xf在0，3上连续，)(xf在0，2上连续，且有最大值M和最小值m.于是Mfm)0(；Mfm) 1(；Mfm)2(，故Mfffm)2()1 ()0(31. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点0, 2c使得1)2()1()0(31)(fffcf，因此)3()(fcf，且)(xf在c，3上连续， c，3内可导，由罗尔定理得出必存在)3,0()3,(c使得( )0f。例 2 设)(xf在0，1上连续， 0，1内可导，且132)0()(3fdxxf求证：存在)1 , 0(使0)(f证：由积分中值定理可知，存在2,13c，使得132)321)()(cfdxxf得到132)0()(3)(fdxxfcf对)(xf在0，c上用罗尔定理， 三个条件都满足故存在)1,0(),0(c，使( )0f例 3 设)(xf在0,1上连续， (0，1)内可导，对任意1k，有kxdxxfxekf101)()1(，求证存在)1,0(使1( )(1) ( )ff证：由积分中值定理可知存在10,ck使得)01)()(1101kcfcedxxfxeckx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页37 令)()(1xfxexFx，可知)1()1 (fF这样1110(1)(1)( )( )( )xckFfkxef x dxcef cF c，对)(xF在 1,c上用罗尔定理三个条件都满足存在)1,0() 1,(c，使( )0F而111( )( )( )( )xxxF xef xxef xxefx11( )( )(1)( )0Feff又01e，则1( )(1)( )ff在例 3 的条件和结论中可以看出不可能对)(xf用罗尔定理，否则结论只是( )0f，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数)(xF，它与)(xf有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从( )0F就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的)(xF是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些选择。模型： 设)(xf在,ba上连续， ba,内可导，0)()(bfaf则以下各结论皆成立。1存在),(1ba使11()()0flfl为实常数2存在),(2ba使1222()()0kfkfk为非零常数3存在),(3ba使333()() ()0fgf)(xg为连续函数证： 1令)()(xfexFlx，在,ba上用罗尔定理( )( )( )lxlxFxle f xe fx 存在),(1ba使011111fefleFll消去因子1le，即证 . 2令( )( )kxF xe f x，在,ba上用罗尔定理1( )( )( )kkkxxFxkxef xe fx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页38 存在),(2ba使2212222()()()0kkkFkefef消去因子ke2，即证。3令)()()(xfexFxG，其中( )( )Gxg x( )( )( )( )( )( )G xG xFxg x ef xefx由3()0F清去因子)(3Ge，即证。例 4 设)(xf在1,0上连续，在 0，1内可导，0)1()0(ff，1)21(f，试证：1存在) 1,21(，使)(f。2对任意实数，存在), 0(，使得( )( )1ff证 明：1 令xxfx)()(，显然 它在0, 1 上连续，又021)21(,01)1(，根据介值定理，存在)1,21(使0)(即)(f2令)()()(xxfexexFxx，它在,0上满足罗尔定理的条件，故存在),0(，使( )0F，即01ffe从而( )( )1ff注：在例42的证明中，相当于模型中1的情形，其中l取为，)(xf取为xxfx)()(模型：设)(xf，)(xg在,ba上皆连续， ba, 内皆可导， 且0)(af，0)(bg，则存在),(ba，使( ) ( )( )( )0fgfg证：令)()()(xgxfxF，则0)()(bFaF，显然)(xF在ba,上满足罗尔定理的条件，则存在),(ba，使( )0F，即证 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页39 例 5 设)(xf在0, 1上连续，0, 1内可导，0)0(f，k为正整数。求证：存在)1,0(使得( )( )( )fkff证：令kxxg) 1()(，1,0 ba，则0)0(f，0) 1(g，用模型，存在)1,0(使得1( )(1)(1)( )0kkfkf故( )(1)( )0fkf则( )( )( )fkff例 6 设)(),(xgxf在),(ba内可导， 且( ) ( )( )( )fx g xf x g x，求证)(xf在),(ba内任意两个零点之间至少有一个)(xg的零点证：反证法：设bxxa21，0)(1xf，0)(2xf而在)(2,1xx内0)(xg，则令)()()(xgxfxF在,21xx上用罗尔定理12121212()()()()0,()0,()0()()f xf xf xfxF xF xg xg x 不妨假设0)(,0)(21xgxg否则结论已经成立则存在),(21xx使( )0F，得出( )( )( )( )0fgfg与假设条件矛盾。所以在),(21xx内)(xg至少有一个零点例 7 设)(),(xgxf在ba,二阶可导，且( )0gx，又0)()()()(bgagbfaf求证： 1在ba,内0)(xg；2存在),(ba，使( )( )( )( )ffgg证： 1用反证法， 如果存在),(bac使0)(cg，则对)(xg分别在 ca,和 bc,上用罗尔定理，存在),(1cax使1()0g x，存在),(2bcx使2()0g x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页40 再对( )gx在21, xx上用罗尔定理存在),(213xxx使3()0gx与假设条件( )0gx矛盾。所以在),(ba内0)(xg2由结论可知即( ) ( )( )( )0fgfg，因此令)()( )( )()(xfxgxfxgxF， 可以验证)(xF在ba,上连续，在),(ba内可导，0)()(bFaF满足罗尔定理的三个条件故存在),(ba，使( )0F于是( ) ( )( )( )0fgfg成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例 1 设)(xf在),(内可导，且lim( )xfxe，)1()(lim)(limxfxfcxcxxxx求c的值解：由条件易见，0ccccxxxxxeeexcxccxcx2)1()1(lim)(lim由拉格朗日中值定理，有( )(1)( )(1)( )f xf xfxxf其中介于)1(x与x之间，那么)(lim)1()(limxxxfxf( )fe于是eec2，12c，则21c例 2 设)(xf是周期为 1 的连续函数， 在 0，1内可导，且0)1 (f， 又设0M是)(xf在1，2上的最大值，证明：存在)2, 1(，使得( )2fM。证： 由周期性可知0)2()1()0(fff， 不妨假定)2, 1(0 x而0)(0Mxf，对)(xf分别在 1, 0 x和0 x, 2上用拉格朗日中值定理，存在), 1(01x，使得010()(1)()1f xffx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页41 存在)2,(02x，使得020(2)()()2ff xfx如果)23,1 (0 x，则用式，得010()()21f xfMx；如果03, 2)2x，则用式，得020()()22f xfMx；因此，必有)2, 1(，使得( )2fM例 3 设)(xf在0, 1上连续，0, 1 内可导，且0)0(f，1)1 (f，证明：存在)1,0(，使得1)(f存在,(0,1)，使( )( )1ff证：令1)()(xxfxg，则)(xg在 0, 1上连续，且01)0(g，01) 1(g，用介值定理推论存在)1,0(，使0)(g，即1)(f在 0, 和， 1 上对)(xf用拉格朗日中值定理，存在), 0(，使得( )(0)1( )0fff存在( ,1)，使(1)( )1(1)( )111fff( )( )1ff例 4 设函数)(xf在闭区间 ba, 上连续，在开区间ba,内可导，且( )0fx，假设极限axaxfax)2(lim存在，证明：1在),(ba内0)(xf；2在),(ba内存在，使)(2)(22fdxxfabba；3在),(ba内存在与 2中相异的点，使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页42 222( )()( )bafbaf x dxa证： 1因为axaxfax)2(lim存在，故0)2(limaxfax，由)(xf在ba, 上连续，从而0)(af. 又( )0fx知)(xf在),(ba内单调增加，故),(, 0)()(baxafxf2设)()()(,)(2bxadttfxgxxFxa，则( )( )0g xf x，故)(xF，)(xg满足柯西中值定理的条件，于是在),(ba内存在点，使222( )( )()( )( )( )( )( )xbaxaaaF bF abaxg bg af t dtf t dtf t dt，即)(2)(22fdxxfabba3因)()(0)()(affff，在 ,a 上应用拉格朗日中值定理，知在( ,)a内存在一点，使( )( )()ffa，从而由 2的结论得222( )()( )babafaf x dx，即有222( )()( )bafbaf x dxa. 三、泰勒公式数学一和数学二例 1 设)(xf在-1 ，1 上具有三阶连续导数，且0)1(f，1) 1(f，(0)0f. 求证：)1, 1(，使3)(f. 证：麦克劳林公式32! 3! 2000 xfxfxffxf其中 1,1x，介于 0 与x之间。(0)0f2311(0)10( 1)(0)( 1)()( 1)( 10)2!6ffff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页43 2322(0)11(1)(0)1() 1(01)2!6ffff后式减前式，得12()()6ff( )fx在21,上连续，设其最大值为M，最小值为m. 则121()()2mffM再由介值定理，)1, 1(,21使121( )()()32fff例2设函数)(xf在闭区间 ba,上具有二阶导数，且( )( )0fafb，试证：在),(ba内至少存在一点，使2( )( )|( )| 4()f bf afba成立。分析：因所欲证的是不等式，故需估计( )f，由于一阶泰勒公式200001( )()()()( )()2f xf xfxxxfxx， 其中在xx ,0之间含 有( )f， 因 此 应 该 从 此 入 手 . 再 由( )( )0fafb知 ， 应 在,2,2,bbabaa两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的( )fx项，同时又能出现2)(ab项. 证：在2,baa与,2bba上分别用泰勒公式，便有2111()( )( )()()() ,222!22ababbaabff afaafa. 2221()( )( )()()() ,222!22ababbaabff bfbbfb. 两式相减，得|)( )( |)(81|)()(|212ffabafbf|)( |)( (|21)(41212ffab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页44 |)( |,)( max|)(41212ffab. 所以至少存在一点),(ba，使得2( )( )|( ) | 4 |()f bf afba 2.3 导数的应用甲内容要点一、判断函数的单调性二、函数的极值1、定义设函数baxf,在内有定义，0 x是ba,内的某一点，则如果点0 x存在一个邻域， 使得对此邻域内的任一点0 xxx，总有0 xfxf，则称0 xf为函数xf的一个极大值，称0 x为函数xf的一个极大值点；如果点0 x存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点0 xxx，总有0 xfxf，则称0 xf为函数xf的一个极小值，称0 x为函数xf的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2、必要条件可导情形设函数xf在0 x处可导，且0 x为xf的一个极值点，则00fx我们称满足00fx的0 x为xf的驻点， 可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。3、第一充分条件设xf在0 x处连续，在00 xx内可导，0fx不存在，或0fx0 01如果在00,xx内的任一点x 处，有0fx，而在00,xx内的任一点x处，有0fx，则0 xf为极大值，0 x为极大值点；02如果在00,xx内的任一点x 处，有0fx，而在00,xx内的任一点x处，有0fx，则0 xf为极小值，0 x为极小值点；03如果在00,xx内与00,xx内的任一点x 处，fx的符号相同，那么0 xf不是极值，0 x不是极值点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页45 4、第二充分条件设函数xf在0 x处有二阶导数，且00 xf，00fx，则当00fx，0 xf为极大值，0 x为极大值点当00fx，0 xf为极小值，0 x为极小值点三、函数的最大值和最小值1求函数)(xf在,ba上的最大值和最小值的方法。首先，求出)(xf在),(ba内所有驻点，和不可导点kxx.,1。其次计算)(),(),(.,),(1bfafxfxfk最后，比较)(),(),(.,),(1bfafxfxfk，其中最大者就是)(xf在,ba上的最大值M；其中最小者就是)(xf在,ba上的最小值m。2最大小值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大小值。四、凹凸性与拐点1凹凸的定义设)(xf在 区 间 上 连 续 ， 假 设 对 任 意 不 同 的 两 点21, xx， 恒 有)()(21)2(2121xfxfxxf)()(21)2(2121xfxfxxf ，则称)(xf在上是凸凹的2曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。五、渐近线及其求法六、函数作图七、曲率乙典型例题一、证明不等式例 1求证：当0 x时，22) 1x(lnx) 1(x证：令22) 1x(lnx) 1x()x(f精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页46 只需证明0 x时，0)x(f易知0)1 (f，1( )2 ln2fxxxxx，0) 1(f，由于f (x)的符号不易判断，故进一步考虑21f (x)2lnx1x，f (1)20再考虑232(x1)f (x)x于是，当1x0时，( )0fx；当x1时，( )0fx由此可见，(1)2f是( )fx的最小值。由于( )20fx，这样0 x时，( )fx单调增加又因为(1)0f，所以10 x时，( )0fx；x1时，( )0fx。再由0)1 (f，可知10 x时，0)(xf；x1时，0)(xf，这样证明了0 x时，0)(xf。证二：令11ln)(xxxxf自己思考证三：令)1(ln)1()(xxxxf自己思考例 2 设0ab，求证：ababab)(2ln证：令)(),(2)(ln(ln)(axaxaxaxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页47 则1( )()(lnln)2fxxaxax0122xaxxxaxf)(ax于是可知( )fx在ax时单调增加，又( )0fa，ax时( )0fx，这样)(xf单调增加。因此，0ab时0)()(afbf，得证。例 3 设2ebae，证明)(4lnln222abeab证一：对函数xxf2ln)(在,ba上用拉格朗日中值定理)(ln2lnln22ababba再来证明tttln)(在et时单调减少)(0ln1)( 2etttt从而)()(2e，即2222lnlneee故)(4lnln222abeab证二：设xexxg224ln)(，则24ln2)( exxxg2ln12)( xxxg当ex时，( )0gx，故( )g x单调减少22244( )()0g xg eee因此2exe时，由( )0g x可知)(xg单调增加题设2ebae，于是)()(agbg故aeabeb22224ln4ln，即)(4lnln222abeab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页48 二、有关函数的极值例 1、设函数)(xf在),(内连续，其导函数的图形如下图，则)(xf有 A一个极小值点和两个极大值点B两个极小值点和一个极大值点C两个极小值点和两个极大值点D三个极小值点和一个极大值点例 2 设)(xf的导数在ax处连续，又( )lim1xafxxa，则 Aax是)(xf的极小值点Bax是)(xf的极大值点C)(,(afa是曲线)(xfy的拐点Dax不是极值点，)(,(afa也不是曲线)(xfy的拐点例 3 设)(xfy有二阶导数，满足2( )3 ( )1xxfxx fxe求证：0()0fx时，)(0 xf为极小值证： 100 x情形。00000000,101()00,10 xxxxeefxxxe故)(0 xf为极小值200 x情形这时方程条件用0 x代入不行，无法得出上面的公式( )fx存在( )fx连续，0( )(0)0 xlin fxf000( )(0)( )( )(0)limlimlim01xxxfxffxfxfxx用洛必达法则20011lim3( ) limxxxxeefxxx再用洛必达法则011lim0 xxe)0(f是极小值三、最大小值的应用题略精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页