2022年基本不等式及其应用导学案一轮复习高中数学 .pdf

7.3基本不等式及其应用1.基本不等式abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号 . 2.几个重要的不等式(1)a2 b22ab(a，bR). (2)baab2(a，b 同号 ). (3)abab22 (a，b R). (4)a2 b22ab22 (a，b R). 3.算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题已知 x0， y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， x y有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大) 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 yx1x的最小值是2. () (2)ab(ab2)2成立的条件是ab0. () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页(3)函数 f(x)cos x4cos x，x(0，2)的最小值等于4. () (4)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件 . () (5)若 a0，则 a31a2的最小值为2a. () (6)a2 b2c2abbcca(a，b，cR). () 2.当 x1 时，关于函数f(x)x1x 1，下列叙述正确的是() A.函数 f(x)有最小值 2 B.函数 f(x)有最大值2 C.函数 f(x)有最小值3 D.函数 f(x)有最大值3 答案C 3.若 a，bR，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是() A.a2b22abB.ab2 abC.1a1b2abD.baab2 答案D 解析a2b22ab(ab)20，A 错误 . 对于 B、C，当 a0，b0，baab2 baab2. 4.设 x，y R， a1， b1，若 axby3，ab23，则1x1y的最大值为() A.2 B.32C.1 D.12答案C 解析由 axby3，得：xloga3，ylogb3，由 a1，b1 知 x0，y0，1x1ylog3alog3blog3ab log3ab221，当且仅当ab3时“”成立，则1x1y的最大值为1. 5.(2013天津)设 ab 2，b0，则当 a_时，12|a|a|b取得最小值 . 答案2 解析由于 ab2，所以12|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|b， 由于 b0，|a|0，所以b4|a|a|b2 b4|a|a|b1， 因此当 a0 时，12|a|a|b的最小值是14154； 当 a0 时，12|a|a|b的最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页小值是14 134.故12|a|a|b的最小值为34，此时b4|a|a|b，a0，y0，且 2xy1，则1x1y的最小值为 _；(2)当 x0 时，则 f(x)2xx2 1的最大值为 _. 思维启迪利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第 (1)问把1x1y中的 “1”代换为 “2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式 . 答案(1)32 2(2)1 解析(1)x0，y0，且 2x y1，1x1y2xyx2xyy3yx2xy322.当且仅当yx2xy时，取等号 . (2)x0，f(x)2xx212x1x221，当且仅当x1x，即 x 1 时取等号 . 思维升华(1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式. (1)已知正实数x，y 满足 xy1，则 (xyy) (yx x)的最小值为 _. (2)已知 x，yR，且满足x3y41，则 xy 的最大值为 _. 答案(1)4(2)3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页解析(1)依题意知， (xyy)(yxx)1y2xx2y122 y2xx2y4，当且仅当xy1时取等号，故 (xyy) (yxx)的最小值为4. (2)x0， y0 且 1x3y42xy12， xy3.当且仅当x3y4时取等号 . 题型二不等式与函数的综合问题例 2(1)已知 f(x)32x(k1)3x2，当 xR 时， f(x)恒为正值，则k 的取值范围是() A.(， 1) B.(， 2 21) C.(1,221) D.( 2 21,221) (2)已知函数 f(x)x2ax11x1(aR)，若对于任意x N*，f(x) 3 恒成立，则a 的取值范围是_. 思维启迪对不等式恒成立问题可首先考虑分离题中的常数，然后通过求最值得参数范围. 答案(1)B(2)83， ) 解析(1)由 f(x)0 得 32x(k1) 3x20，解得 k13x23x，而 3x23x22(当且仅当3x23x，即 xlog32时，等号成立 )，k122，即 kg(3)，g(x)min173.(x8x)383，a83，故 a 的取值范围是83， ). 思维升华(1)af(x)恒成立 ? a(f(x)max，af(x)恒成立 ? a0 恒成立，故a0. 当 0a212，即 1a0 时，应有 f(a2)a24a221 1a24 0恒成立，故 1a0. 综上， a52，故选 C. 方法二当 x(0，12)时，不等式x2ax10 恒成立转化为a(x1x)恒成立 . 又 (x)x1x在(0，12)上是减函数， (x)min (12)52，(x1x)max52，a52. 题型三基本不等式的实际应用例 3某单位决定投资3 200 元建一仓库 (长方体状 )，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？思维启迪把铁栅长、砖墙长设为未知数，由投资3 200 元列等式，利用基本不等式即可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页求解 . 解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S xy，依题设，得40 x245y20 xy3 200，由基本不等式得3 200240 x 90y20 xy120 xy20 xy120 S20S，则S6 S1600，即(S 10)(S16)0，故 0S 10，从而 0q0，则提价多的方案是_. 答案(1)B(2)乙解析(1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y800 xx82 800 xx820. 当且仅当800 xx8(x0)，即 x80 时 “”成立，故选B. (2)设原价为 1，则提价后的价格为方案甲： (1p%)(1q%)，方案乙： (1p q2%)2，因为1p% 1q% 1p%21q%21pq2%，且 pq0，所以1p%1q% 1pq2%，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页即(1p%)(1q%)(1pq2%)2，所以提价多的方案是乙. 忽视基本不等式等号成立的条件致误典例： (10 分)(1)(2012 浙江 )若正数 x，y 满足 x3y 5xy，则 3x4y 的最小值是 () A.245B.285C.5 D.6 (2)函数 y12x3x(x0)的最小值为 _. 易错分析(1)对 x3y 运用基本不等式得xy的范围，再对3x4y 运用基本不等式，利用不等式的传递性得最值；(2)没有注意到x0 这个条件误用基本不等式得2x3x 2 6. 解析(1)由 x3y5xy 可得15y35x1，所以 3x4y(3x4y)(15y35x) 95453x5y12y5x1352 3x5y12y5x1351255，当且仅当x1，y12时取等号，故3x4y 的最小值是5. (2)x0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 失误与防范1.使用基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”三个条件缺一不可. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页A 组专项基础训练(时间： 40 分钟 ) 一、选择题1.已知 0 x1，则 x(3 3x)取得最大值时x 的值为() A.13B.12C.34D.23答案B 解析0 x0. x(33x)3x(1x)3x 1x2234. 当且仅当x1x，即 x12时取等号 . 2.若函数 f(x)x1x2(x2)在 xa 处取最小值，则a 等于() A.12 B.13 C.3 D.4 答案C 解析f(x)x1x2x21x22. x2，x20. f(x)x21x22 2 x2 1x224，当且仅当x21x2，即 x3 时， “”成立 . 又 f(x)在 xa 处取最小值 .a3. 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和 b(ab)，其全程的平均时速为v，则() A.avabB.vabC.abvab2D.vab2答案A 解析设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为sasb，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页从而 v2ssasb2abab. 0ab， ab2ab2b a，2ab1ab，即2ababab， av0，b0，且 ln(a b)0，则1a1b的最小值是() A.14B.1 C.4 D.8 答案C 解析由 a0，b0，ln(ab)0 得ab1a0b0. 故1a1ba bab1ab1a b2211224. 当且仅当ab12时上式取 “”.5.(2012福建)下列不等式一定成立的是() A.lg x214lg x(x0) B.sin x1sin x2(xk ， kZ) C.x212|x|(x R) D.1x211(xR) 答案C 解析应用基本不等式：x，yR，x y2xy(当且仅当xy 时取等号 )逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件. 当 x0 时， x2142 x12x，所以 lg x214lg x(x0)，故选项 A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页而当 xk ，kZ 时， sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当 x0 时，有1x211，故选项D 不正确 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页二、填空题6.设 x，y R，且 xy0，则 (x21y2)(1x24y2)的最小值为 _. 答案9 解析(x21y2)(1x24y2)51x2y24x2y25 21x2y2 4x2y29，当且仅当 x2y212时“ ”成立 . 7.已知函数f(x)xpx1(p 为常数，且p0)，若 f(x)在(1， )上的最小值为4，则实数p的值为 _. 答案94解析由题意得x10，f(x)x 1px1 12p 1，当且仅当xp1 时取等号，因为 f(x)在 (1， )上的最小值为4，所以 2 p1 4，解得 p94. 8.某公司一年需购买某种货物200 吨， 平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2 万元，一年的总存储费用数值(单位：万元 )恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_. 答案20 解析设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200 x次，则一年的总运费为200 x2400 x，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为400 x x2400 x x40，当且仅当400 xx，即 x20 时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20 吨. 三、解答题9.(1)已知 0 x0，y0，且 xy 1，求8x2y的最小值 . 解(1)y2x5x2x(25x)15 5x (25x). 0 x25， 5x0，5x(25x)(5x25x2)21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页y15，当且仅当5x25x，即 x15时， ymax15. (2)x0， y0，且 x y1，8x2y(8x2y)(xy) 108yx2xy102 8yx2xy18，当且仅当8yx2xy，即 x23，y13时等号成立，8x2y的最小值是18. 10.某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400 元 /米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80 元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价. 解(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x米. 总造价 f(x)400 (2x2162x)2482x80 162 1 296x1 296100 x12 960 1 296(x100 x)12 960 1 2962 x100 x 12 96038 880(元 )，当且仅当x100 x(x0)，即 x10 时取等号 . 当污水处理池的长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，总造价最低为38 880 元. (2)由限制条件知0 x1600，b0，若不等式m3ab3a1b0 恒成立，则m 的最大值为() A.4 B.16 C.9 D.3 答案B 解析因为 a0，b0，所以由m3ab3a1b0 恒成立得m(3a1b)(3ab)103ba3ab恒成立 . 因为3ba3ab2 3ba3ab6，当且仅当ab 时等号成立，所以103ba3ab16，所以 m16，即 m 的最大值为16，故选 B. 2.(2013山东)设正实数x，y，z满足 x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为() A.0 B.1 C.94D.3 答案B 解析由已知得zx23xy4y2(*) 则xyzxyx23xy4y21xy4yx3 1，当且仅当x2y 时取等号，把x2y 代入 (*) 式，得 z2y2，所以2x1y2z1y1y1y21y121 1. 3.定义“ * ”是一种运算， 对于任意的x，y，都满足 x*yaxyb(xy)，其中 a，b 为正实数，已知 1. 答案1 解析16ab)，ab23. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页当且仅当2a3b，即 a1 时等号成立，所以当 a 1 时， ab 取最大值23. 4.(1)若正实数x、y 满足 2xy6xy，求 xy 的最小值 . (2)求函数 yx27x10 x1(x1)的最小值 . 解(1)xy2xy6 2 2xy6，令 xyt2，可得 t2 2 2t60，注意到t0，解得 t3 2，故 xy 的最小值为18. (2)设 x 1t，则 xt1(t0)，yt127 t1 10tt4t52 t4t59. 当且仅当t4t，即 t2，且此时x1 时，取等号，ymin9. 5.经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以 30 天计 )，第 t 天(1t30，t N)的旅游人数 f(t)(万人 )近似地满足f(t)41t，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)120 |t20|. (1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元 )与时间 t(1 t30，tN)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值. 解(1)W(t)f(t)g(t) (41t)(120|t20|) 4014t100t，1t 20，559140t4t， 20t30.(2)当 t1,20 时， 4014t100t40124t100t441(t5 时取最小值 ). 当 t(20,30时，因为W(t)559140t4t 递减，所以 t30 时， W(t)有最小值W(30)44323，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页所以 t1,30 时， W(t)的最小值为441 万元 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页