2022年椭圆离心率求法总结 .pdf

. . 椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图， O为椭圆的中心，F 为焦点， A为顶点，准线L 交 OA于 B，P、Q在椭圆上，PD L 于 D ， QF AD于 F, 设椭圆的离心率为e，则 e=PFPD e=QF BFe=AO BO e= AFBA e=FOAO 评： AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，。 AO =a, OF =c, 有；AO =a, BO = a2 c有。题目 1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 、F2 ，以 F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？思路： A点在椭圆外，找a、b、c 的关系应借助椭圆，所以取AF2 的中点 B，连接 BF1 , 把已知条件放在椭圆内，构造F1BF2分析三角形的各边长及关系。解： F1F2=2c BF1=c BF2=3c c+3c=2a e= c a = 3-1 变形 1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 、F2 ，点 P在椭圆上，使OPF1 为正D B F OA P Q B A F2F1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2 , 则 OF2 =OF1 =OP , F1PF2 =90图形如上图，e=3-1 变形 2: 椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且 PF1 X轴， PF2 AB,求椭圆离心率？解： PF1= b2 aF2 F1=2c OB =b OA =a PF2 AB PF1 F2 F1= ba 又 b= a2-c2 a2=5c2 e=55点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a 与 c 的 方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目 2：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) ，A是左顶点， F 是右焦点， B是短轴的一个顶点，ABF=90 ，求 e? OP F1F2B A F2F1P O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 解： AO =a OF =c BF=a AB =a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0 两边同除以a2 e2+e-1=0 e=-1+5 2 e=-1-52( 舍去 ) 变形：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) ，e=-1+5 2, A 是左顶点， F 是右焦点， B是短轴的一个顶点，求 ABF ？点评： 此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案： 90引申：此类e=5-12的椭圆为优美椭圆。性质： 1、 ABF=90 2、假设下端点为B1 , 则 ABFB1 四点共圆。 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结： 焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示， 结合解斜三角形公式，列出有关e 的方程式。题目 3：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) ，过左焦点F1 且倾斜角为60的直线交椭圆与AB两点，若 F1A=2BF1, 求 e? 解：设 BF1=m 则 AF2=2a-am BF2=2a-m 在 AF1F2 及 BF1F2 中，由余弦定理得：a2 c2=m(2a-c) 2(a2-c2)=m(2a+c) 两式相除：2a-c 2a+c=12 e=23题目 4：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 （-c ，0） 、F2 (c,0)，P是以 F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，且PF1F2 =5PF2F1 , 求 e? 分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：F1F2sin F1PF2 = F1Psin F1F2P = PF2sin PF1F2 根据和比性质：F1F2sin F1PF2 = F1P+PF2 sinF1F2P+sin PF1F2 F B A O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 变形得：F1F2PF2+ F1P =sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = =2c 2a =e PF1F2 =75 PF2F1 =15e= sin90 sin75 +sin15 =63点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 变形 1：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0) 的两焦点为F1 （-c ，0） 、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且 F1PF2 =60，求 e 的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设 F1F2P= ，则 F2F1P=120- e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 = sin60 sin +sin(120 - ) = 1 2sin( +30)1212e0) F1F2 为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合） 设 PF1F2 =, PF2F1 =若13 tan 2 tan 2 12 , 求 e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解; 根据上题结论e=sin F1PF2 sin F1F2P +sin PF1F2 =sin( +)sin +sin =2sin + 2 cos + 2 2sin + 2 cos - 2 = cos 2cos 2 -sin 2 sin 2 cos 2cos 2 +sin 2 sin 2 =1- tan 2 tan 2 1- tan 2 tan 2 =e 131-e 1+e 1213eb 0) ，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与 a=(3,-1)共线，求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . e?法一：设A(x1,y1) ,B(x2,y2) b2x2+a2y2=a2b2 y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0 x1+x2=2a2ca2+b2 y1+y2=2a2ca2+b2-2c=-2b2ca2+b2OA +OB =(x1+x2,y1+y2)与（ 3，-1 ）共线，则- （x1+x2）=3(y1+y2) 既 a2=3b2 e=63 法二：设AB的中点 N，则 2ON=OA+OBx12a2+ y12 b2 =1 x22a2+ y22 b2 =1 - 得：y1-y2x1-x2 =- b2a2 x1 +x2 y1+y21=- b2a2 (-3) 既 a2=3b2 e=63 四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目 6：椭圆x2 a2 +y2 b2 =1(ab 0)的两焦点为F1 （-c ，0） 、F2 (c,0) ，满足MF1MF2 =0的点 M总在椭圆内部，则e 的取值范围？B(X2,Y2) A(X1,Y1) O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 分析：MF1MF2 =0 以 F1F2 为直径作圆，M在圆 O上，与椭圆没有交点。解： c2c2 0eb 0) 的两焦点为F1 （-c ，0） 、F2 (c,0)，P为右准线L 上一点， F1P的垂直平分线恰过F2 点，求 e 的取值范围？分析：思路1, 如图 F1P与 F2M 垂直，根据向量垂直，找a、b、c 的不等关系。思路 2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e 解法一： F1 （-c ，0） F2 (c,0) P(a2c ,y0 ) M(a2c -c 2 ,y0 2 ) 既( b22c , y0 2 ) 则PF1 =-( a2c +c, y0 ) MF 2 =-( b22c -c, y0 2 ) PF1MF 2 =0 F2M F1O M P F2F1O 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . ( a2c +c, y0 ) ( b22c -c, y0 2 )=0 ( a2c +c) ( b22c -c)+ y02 2 =0 a2-3c2 0 33e1 解法 2： F1F2=PF2=2c PF2a2c -c 则 2ca2c -c 3ca2c 3c2a2 则33eb0）的两顶点为A（a,0 ）B(0,b),若右焦点F 到直线AB的距离等于21AF，则椭圆的离心率是36。14. 椭圆12222byax（ab0）的四个顶点为A、B、C、D ，若四边形ABCD 的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是21515. 已知直线L 过椭圆12222byax（ab0）的顶点A（a,0 ） 、 B(0,b),如果坐标原点到直线 L 的距离为2a，则椭圆的离心率是3616. 在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1( ab0) 的焦距为2，以 O为圆心，a为半径作圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=22二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 例 2：已知1F、2F是双曲线12222byax（0,0 ba）的两焦点，以线段21FF为边作正三角形21FMF，若边1MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A. 324B. 13C. 213D. 13解： 如图，设1MF的中点为P，则P的横坐标为2c，由焦半径公式aexPFp1，即acacc2，得0222acac，解得31ace（31舍去），故选D 变式练习1：设双曲线12222byax（ba0）的半焦距为c，直线L过0,a，b,0两点. 已知原点到直线的距离为c43，则双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 332解： 由已知，直线L的方程为0abaybx，由点到直线的距离公式，得cbaab4322，又222bac, 234cab, 两边平方，得4222316caca，整理得01616324ee，得42e或342e，又ba0，2122222222ababaace，42e，2e，故选 A 变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为1F、2F，021120MFF，则双曲线的离心率为（）A 3 B 26 C 36 D 33解： 如图所示，不妨设bM, 0，0,1cF，0 ,2cF，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 2221bcMFMF，又cFF221，在21MFF中，由余弦定理，得212212221212cosMFMFFFMFMFMFF, 即22222222421bccbcbc，212222cbcb，222acb，212222aca，2223ca，232e，26e，故选 B 1已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是532以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M 、N 两点，椭圆的左焦点为F1，直线 MF1与圆相切，则椭圆的离心率是133 以椭圆的一个焦点F 为圆心作一个圆， 使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M 、N两点，如果 MF = MO ，则椭圆的离心率是134设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是215 已知 F1、 F2是椭圆的两个焦点， 过 F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、 B两点，若 ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是336 设12FF、分别是椭圆222210 xyabab的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122F FF P，则椭圆的离心率是22三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例 3：设椭圆的两个焦点分别为1F、2F， 过2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若21PFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_。解：12121222222221cccPFPFcacace四、根据圆锥曲线的统一定义求解例4：设椭圆12222byax（0,0 ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是. 解：如图所示，AB是过1F且垂直于x轴的弦，1lAD于D，AD为1F到准线1l的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 距离，根据椭圆的第二定义，21211ADABADAFe变式练习： 在给定椭圆中， 过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A 2 B 22 C 21 D 42解：221222ADAFe五、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2(0,)22已知21FF 、是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且9021PFF，椭圆离心率e 的取值范围为1 ,223已知21FF 、是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且6021PFF，椭圆离心率e 的取值范围为1 ,214设椭圆12222byax（ab0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q ，使 F1QF2=120o，椭圆离心率e 的取值范围为136e5在ABC中，ABBC，7cos18B若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e386设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是313，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 配套练习1. 设双曲线12222byax（0,0 ba）的离心率为3，且它的一条准线与抛物线xy42的准线重合，则此双曲线的方程为（）A. 1241222yxB. 1964822yxC. 132322yxD. 16322yx2已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，则椭圆的离心率等于（）A31B33C21D233已知双曲线12222byax的一条渐近线方程为xy34，则双曲线的离心率为（）A 35 B 34 C 45 D 234在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A 2 B 22 C 21 D 425在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为（）A 22 B 2 C 2 D 226如图，1F和2F分别是双曲线12222byax（0,0 ba）的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1OF为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A 3 B 5 C 25 D 137. 设1F、2F分别是椭圆12222byax（0ba）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 标为c3（c为半焦距）的点，且PFFF221，则椭圆的离心率是（）A 213 B 21 C 215 D 228设1F、2F分别是双曲线12222byax的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使02190AFF，且213AFAF，则双曲线离心率为（）A 25 B 210 C 215 D 59已知双曲线12222byax（0,0 ba）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为060的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A 2, 1 B 2, 1 C , 2 D ,210椭圆12222byax（0ba）的焦点为1F、2F，两条准线与x轴的交点分别为M、N，若212FFMN，则该椭圆离心率的取值范围是（）A21,0B22,0 C 1 ,21D1 ,22名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 答案： 1. 由3,ca21ac可得3,6,3.abc故选 D 2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2 倍，2ab，椭圆的离心率32cea，选 D。3. 双曲线焦点在x 轴, 由渐近线方程可得224345,333bceaa可得, 故选 A 4. 不妨设椭圆方程为22221xyab（a b0） ， 则有22221bacac且，据此求出e225. 不妨设双曲线方程为22221xyab（a0，b0） ，则有222122bacac且，据此解得e2，选 C 6. 解析：如图，1F和2F分别是双曲线)0,0(12222babrax的两个焦点，A和B是以O为圆心，以1FO为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且ABF2是等边三角形，连接 AF1，AF2F1=30 ，|AF1|=c ，|AF2|=3c，2(31)ac，双曲线的离心率为31，选 D。7.由已知P （cca3,2） ，所以222)3()(2cccac化简得220222aceca8. 设 F1，F2分别是双曲线22221xyab的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使 F1AF2=90o ，且 |AF1|=3|AF2|， 设 |AF2|=1， |AF1|=3， 双 曲线 中122|2aAFAF，22122|10cAFAF， 离心率102e，选 B。9. 双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F， 若过点 F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率ba，ba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - . . 3，离心率e2=22222cabaa 4， e 2，选 C 10. 椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若2|2aMNc，12|2F Fc，12MNF F，则22acc，该椭圆离心率e22，选D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -