2022年2022年集合与函数的概念 .pdf

第一章集合与函数的概念龙港高中林长豪课题： 1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系、集合相等的含义；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：引入课题引例：（数学家和牧民的故事）牧民非常喜欢数学，但不知道集合是什么，于是他请教一位数学家 集合是不定义的概念，数学家很难回答牧民的问题有一天他来到牧场，看到牧民正把羊往羊圈里赶，等到牧民把全部羊赶入羊圈关好门数学家灵机一动，高兴地告诉牧民： “你看这就是集合！ ”：军训时当教官一声口令：“高一（ 4）班同学到操场集合”在这里， 集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P2-P3内容新课教学（一）集合的有关概念集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。一般地，研究对象统称为元素（element ） ，一些元素组成的总体叫集合（set） ，也简称集。思考 1：课本 P3 的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样元素与集合的关系；（1）如果 a 是集合 A 的元素，就说a 属于（ belong to）A，记作 aA （2）如果 a 不是集合 A 的元素，就说a不属于（ not belong to ）A，记作 aA（举例）常用数集及其记法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 非负整数集（或自然数集），记作 N 正整数集，记作N*或 N+；整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R （二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如： 1，2，3，4，5，x2， 3x+2，5y3-x， x2+y2，, ；例 1 （课本例1）思考 2， (课本 P4思考 )引入描述法说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如： x|x-32 ，(x,y)|y=x2+1 ，x|x 是直角三角形，, ；例 2 （课本例2）说明： （课本 P5最后一段）思考 3： （课本 P5思考）强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素(x,y)|y= x2+3x+2 与 y|y= x2+3x+2 不同。辨析：这里的 已包含“所有”的意思，所以不必写x|x 是全体整数 。下列写法 x|x 是实数集，R也是错误的。说明： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（三）课堂练习（课本P5 练习）归纳小结本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。作业布置书面作业：习题1.1，第 1- 4 题板书设计（略）课题 :1.1.2 集合间的基本关系教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系了解空集的含义课型：新授课教学目的：（ 1）理解集合之间的包含、相等关系的含义；（2）理解子集、真子集的概念；（3）能利用Venn 图表达集合间的关系；（4）理解空集的含义。教学重点：子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。教学难点：弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；教学过程：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 一、引入课题复习元素与集合的关系属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N； （2）Q； （3）-1.5 R 类比实数的大小关系，如52,B=x|x5 ，并表示A、B 的关系；课堂练习归纳小结，强化思想两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；作业布置书面作业：习题1.1 第 5 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 提高作业：已知集合，且满足，求实数的取值范围。设集合，试用 Venn 图表示它们之间的关系。板书设计（略）课题： 1.3 集合的基本运算（一）教学目的：（ 1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）能用 Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。课型：新授课教学重点：集合的交集与并集的概念；教学难点：集合的交集与并集“是什么”， “为什么”， “怎样做”；教学过程：引入课题我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？观察下列各个集合，你能说出集合C与集合 A、B 之间的关系吗？(1)A=1,2,3,4,5,B=2,5,8,9,C=2,5 (2) A=1,2,3,4,5,B=2,5,8,9,C=1,2,3,4,5,8,9 引入并集、交集概念。新课教学并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合， 称为集合 A与 B的并集 （Union）记作： A B 读作：“A 并 B”即：A B=x|xA，或 xB Venn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与 B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。例题（ P9-10 例 4、例 5）说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题：在上图中我们除了研究集合A 与 B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与 B的交集。交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与 B 的交集（intersection ） 。记作： A B 读作： “A 交 B”即：AB=x| A，且 xB 交集的 Venn 图表示名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与 B的公共元素组成的集合。例题（ P9-10 例 6、例 7）拓展：求下列各图中集合A 与 B的并集与交集说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集求集合的并、 交是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。集合基本运算的一些结论：（AB）A， （AB）B，A A=A， A=,AB=BA A（AB） ，B（AB） ，AA=A，A=A,AB=BA 若 AB=A，则 AB，反之也成立若 AB=B，则 AB，反之也成立若 x（ AB） ，则 xA 且 xB 若 x（ AB） ，则 xA，或 x B 三、课堂练习P11、13 四、作业布置：略课题： 1.3 集合的基本运算（二）教学目的：（1）理解全集以及在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用 Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。课型：新授课教学重点：集合的全集、补集的概念；教学难点：集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题。教学过程：引入课题问：我班全体同学有一部分参加了校运动会，在这个问题需关注的集合有几个？二、新课教学全集、补集全集： 一般地， 如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（ Universe） ，通常记作U。补集：对于全集U 的一个子集A，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集U 的补集（ complementary set ）,简称为集合A 的补集，记作： CUA 即： CUA=x|xU 且 xA 补集的 Venn 图表示说明：补集的概念必须要有全集的限制例题（ P12 例 8、例 9）例 10、设全集U=-1,1,a2-2a-3, A=1, |b|-3 若： CUA=5, 求 a, b 的值求集合的补集运算，运算结果仍然还是集合，在处理有关交集与并集、补集的问题时， 常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 数形结合的思想方法。补集的结论：（CUA） A=U， （CUA） A= 4元素个数问题：card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB) 例 8、 （1）开运动会时 ,高一某班共有28 名同学参加比赛,有 15 人参加游泳比赛,有 8 人参加田径比赛 ,有 14 人参加球类比赛,同时参加游泳和田径比赛的有3 人, 同时参加游泳和球类比赛的有3 人 ,没有人同时参加三项比赛,那么同时参加球类和田径比赛的有几人?只参加游泳一项比赛的有几人? 设 S=1, 2, 3, 4, 5 , A B=2 , (CSA) B=4，(CSA) (CSB)=1, 5 ，求集合A 和 B。课堂练习P11、4 作业布置；略课题： 1.2.1 函数的概念（一）教材分析： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想教学目的： （1） 通过丰富实例， 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，及函数的定义教学过程：引入课题复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（3） “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题备用实例：我国 2003 年 4 月份非典疫情统计：日期22 23 24 25 26 27 28 29 30 新增确诊病例数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 106 105 89 103 113 126 98 152 101 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系新课教学（一）函数的有关概念1函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB 为从集合A 到集合 B的一个函数（ function ） 记作：y=f(x)，xA其中， x 叫做自变量， x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain） ；与 x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域（range） 注意：“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ；函数符号“ y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1求函数定义域课本 P20 例 1 解： （略）说明：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式巩固练习：课本P22 第 1 题2判断两个函数是否为同一函数课本 P21 例 2 解： （略）说明：构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。巩固练习：课本 P22 第 2 题判断下列函数f（ x）与 g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x 1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （3）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = （三）课堂练习求下列函数的定义域（1）（2）（3）（4）归纳小结，强化思想从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目。作业布置课题： 1.2.1 函数的概念（二）教材分析： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想教学目的： （1） 通过丰富实例， 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；教学重点：区间的概念，求函数的定义域和值域教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；教学过程：复习函数的概念函数的三要素定义域、值域同一函数的判断依据新课教学1区间的概念在研究函数时 ,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设 a,bR ,且 ab.我们规定：满足不等式axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，表示为a,b；满足不等式axb 的实数 x 的集合叫做开区间，表示为（a,b） ；满足不等式axb 或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b) ,(a，b. （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）无穷区间；（3）区间的数轴表示举例让学生写区间（二）典型例题1求函数值域解： （略）说明：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式2例 2已知，则由此你能发现什么一般结论？解： （略）说明：（三）课堂练习P19、 T2 归纳小结，强化思想求函数常用的方法比如配方法，换元法所解决的类型，引入了区间的概念来表示集合。作业布置课题： 1.2.2 函数的表示法（一）教学目的：（ 1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念教学难点： 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象教学过程：引入课题复习：函数的概念；常用的函数表示法及各自的优点：（1）解析法；（2）图象法；（3）列表法新课教学（一）典型例题例 1某种笔记本的单价是5 元，买 x (x1，2，3，4，5)个笔记本需要y 元试用三种表示法表示函数y=f(x) 分析：注意本例的设问，此处“y=f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表解： （略）注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 是否是函数图象的依据；解析法：必须注明函数的定义域；图象法：是否连线；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征巩固练习：课本 P27 练习第 1 题例 2下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟98 87 91 92 88 95 张城90 76 88 75 86 80 赵磊68 65 73 72 75 82 班平均分882 783 854 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 803 757 826 请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析分析： 本例应引导学生分析题目要求，做学情分析， 具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解： （略）注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点；本例能否用解析法？为什么？巩固练习：课本 P27 练习第 2 题例 3画出函数y = | x | 解： （略）巩固练习：课本P27 练习第 3 题拓展练习：任意画一个函数y=f(x)的图象， 然后作出 y=|f(x)| 和 y=f (|x|) 的图象， 并尝试简要说明三者（图象）之间的关系课本 P27 练习第 3 题例 4某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5 公里以内（含5 公里），票价 2 元；（2） 5 公里以上，每增加5 公里，票价增加1 元（不足5 公里按 5 公里计算）如果某条线路的总里程为20 公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象分析： 本例是一个实际问题，有具体的实际意义该公共汽车招手就停，所以行车里程可以不取整数解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意，自变量x 的取值范围是（0,20由“招手即停”公共汽车票价制定的规则，可得到以下函数解析式：根据这个函数解析式，可画出函数图象，图略。注意：本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；本题可否用列表法表示函数，如果可以，应怎样列表？实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价（可以实地考查一下某公交车线路）说明：象上面两例中的函数，称为分段函数注意：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况归纳小结，强化思想理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 作业布置课题： 1.2.2 函数的表示法（二）教学目的：（ 1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念教学重点：映射的概念教学难点：映射的概念教学过程：引入课题复习初中已经遇到过的对应：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；5 函数的概念新课教学我们已经知道， 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping） （板书课题） 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以 2；什么叫做映射？一般地，设A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f： AB为从集合 A 到集合 B的一个映射（mapping） 记作“ f：AB”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的其中f 表示具体的对应法则，可以用汉字叙述（2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。例题分析：下列哪些对应是从集合A 到集合 B 的映射？（1）A=P | P 是数轴上的点 ，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A= P | P 是平面直角体系中的点， B=（x，y）| x R，y R，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A=三角形 ，B=x | x 是圆 ，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=x | x 是新华中学的班级，B=x | x 是新华中学的学生，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生思考：将（3）中的对应关系f 改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f： BA是从集合B 到集合 A 的映射吗？完成课本练习名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 作业布置补充习题课题： 1.3.1 函数的单调性教学目的：（ 1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性教学重点：函数的单调性及其几何意义教学难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性教学过程：引入课题观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：随 x 的增大， y 的值有什么变化？能否看出函数的最大、最小值？函数图象是否具有某种对称性？画出下列函数的图象，观察其变化规律：1f(x) = x 从左至右图象上升还是下降_? 在区间_ 上，随着 x 的增大， f(x)的值随着_ 2f(x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降_? 在区间_ 上，随着 x 的增大， f(x)的值随着_ 3f(x) = x2 在区间_ 上， f(x)的值随着 x 的增大而_ 在区间_ 上， f(x)的值随着 x 的增大而_ 新课教学（一）函数单调性定义1增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） 思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义（学生活动）注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2 时，总有f(x1)f(x2) 2函数的单调性定义如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间：3判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：任取 x1，x2D，且 x11 的解集课题： 1.3.1 函数的最大（小）值教学目的：（ 1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值教学过程：引入课题画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：说出 y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？（1）（2）（3）（4）新课教学（一）函数最大（小）值定义1最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的xI，都有 f(x)M；（2）存在 x0I，使得 f(x0) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（ Maximum Value） 思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（ Minimum Value ）的定义（学生活动）注意：函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0 I，使得 f(x0) = M；函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有 f(x)M（f(x)M） 2利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值利用图象求函数的最大（小）值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在 x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；（二）典型例题例 1 （教材 P36 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值解： （略）说明： 对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值巩固练习：如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y 试将 y 表示成 x 的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？例 2 （新题讲解）旅 馆 定 价一个星级旅馆有150 个标准房， 经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：房价（元）住房率（ %）160 55 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为160 元，并假设在各价位之间，房价与住房率之间存在线性关系设为旅馆一天的客房总收入，为与房价160 相比降低的房价， 因此当房价为元时， 住房率为，于是得=150 由于 1，可知 0 90因此问题转化为：当0 90 时，求的最大值的问题将的两边同除以一个常数0.75，得 1=25017600由于二次函数1 在 =25 时取得最大值，可知也在=25 时取得最大值，此时房价定位应是16025=135（元） ，相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）所以该客房定价应为135 元 （当然为了便于管理，定价140 元也是比较合理的）例 3 （教材 P37 例 4）求函数在区间2，6上的最大值和最小值解： （略）注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式巩固练习：（教材 P38 练习 4）归纳小结，强化思想函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 作 差 变 形 定 号 下结论作业布置书面作业：课本P45 习题 13（A 组）第 6、7、8 题提高作业：快艇和轮船分别从A 地和 C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，快艇和轮船的速度分别是45 km/h 和 15 km/h ，已知 AC=150km，经过多少时间后，快艇和轮船之间的距离最短？课题： 1.3.2 函数的奇偶性教学目的：（ 1）理解函数的奇偶性及其几何意义；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）学会判断函数的奇偶性教学重点：函数的奇偶性及其几何意义教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式教学过程：一、引入课题1实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸， 在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：以 y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案： （1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称；（2）若点（ x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等以 y 轴为折痕将纸对折，然后以x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案： （1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（ x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（x， f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数2观察思考（教材P39、 P40 观察思考）新课教学（一）函数的奇偶性定义象上面实践操作中的图象关于y 轴对称的函数即是偶函数，操作中的图象关于原点对称的函数即是奇函数1偶函数（ even function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数（学生活动） ：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义2奇函数（ odd function ）一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有 f(x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数注意：函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称（三）典型例题1判断函数的奇偶性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 例 1 （教材 P35 例 5）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）解： （略）总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定 f(x)与 f(x)的关系；作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数巩固练习：（教材 P41 例 5）例 2设 f(x)是 R上的偶函数 ,且当 x(0,+)时 f(x)=2x+1,求 f(x)在 (-,0)上的解析式 . 解： （略）说明： 函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数2利用函数的奇偶性补全函数的图象（教材 P41 思考题）规律：偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据巩固练习：（教材 P42 练习 1）3函数的奇偶性与单调性的关系（学生活动） 举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象， 根据图象判断奇函数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征例 3已知 f(x)是奇函数，在 (0， )上是增函数，证明：f(x)在(， 0)上也是增函数解： (由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤) 规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致归纳小结，强化思想本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法