2022年2022年可逆矩阵的求法 .pdf

高等代数小论文1 学院： 数计学院班级： 10 级 1 班姓名： 任莎莎（ 1008020127） 彭莎（ 1008020143）可逆矩阵的求法摘 要：我们在书本上学习了用初等变换法和伴随矩阵法求逆矩阵，下面我们将再介绍 3 种求逆矩阵的方法：（1）二阶矩阵的公式求逆法（2）利用解线性方程组求逆矩阵（ 3）分块法求逆矩阵。目录：1、矩阵的引入（2）2、矩阵的定义（2）3、可逆矩阵的定义（2）4、可逆矩阵的性质（3）5、可逆矩阵的求法（3）（1）伴随矩阵法（3）（2）二阶矩阵的公式求逆法（4）（3）初等变换法（4）（4）利用解线性方程组求逆矩阵（5）（5）分块法求逆矩阵（5）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 高等代数小论文2 一、矩阵的引入在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的转轴 （反时针方向转轴），那么平面直角坐标变换的公式应为1111cossin,sincos.xxyyxy（1）其中为x轴与1x轴的夹角。显然新旧坐标之间的关系，完全可以通过公式中系数所排成的 22 数表c o ss i ns i nc o s（2）表示出来。通常，数表（ 2）称为坐标变换（ 1）的矩阵。在空间的情形，保持原点不动的仿射坐标系的变换公式有1 111 211 32 112 212 313 113 213 31xaxayazyaxayazzaxayaz（3）同样，数表111213212223313233aaaaaaaaa（4）称为坐标变换（ 3）的矩阵。二、矩阵的定义由数域 F 上的sn个数ija（1,2, ;1,2,is jn）排成的s行（横的）n列（纵的）数表1111nsnsaaaa称为数域 F 上的一个sn行列矩阵，简称sn矩阵。三、可逆矩阵的定义对于n阶矩阵 A，若存在n阶矩阵 B，使得 AB=BA=I ，则称 A 为可逆矩阵（或非奇异矩阵），或 A 可逆。称 B 为 A 的逆矩阵。四、可逆矩阵的性质1）若 A 可逆，则 A 的逆矩阵1A也可逆，并且11()A=A。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 高等代数小论文3 2）若 A,B 均可逆，则 AB 也可逆，并且111ABBA。3）若 A 可逆，则TA也可逆，且11()()TTAA。4）若 A 可逆，则11AA。5）若 A 可逆，则111()kAkA。6）若 A 可逆，则11()AAA。五、可逆矩阵的求法（1）伴随矩阵的求法：定义 ： 设ijA是 矩阵1 111nnnnaaAaa中 元 素ija的代 数 余 子式 ，矩 阵1111nnnnAAAAA称为 A 的伴随矩阵。由行列式依行（列） 展开公式可得000000AAAAA AA IA。若 A 可逆，则0A，于是11()()AAAAIAA，所以11AAA。例 1 设123221343A，判定 A 是否可逆，若可逆，求1A。解：因为20A，所以 A 可逆，又111213212,3,2,6,AAAA226,A233132332,4,5,2AAAA，所以1264113652222AAA= 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 高等代数小论文4 13235322111。（2）二阶矩阵的公式求逆法：设abAcd（其中0,0adbcA即），则11dbAAdbAcacaAAA，这个公式的推到思想是从1AAI这个重要结论出发，构造一个矩阵B，去左乘A 使其等于单位矩阵 A， 即若 AB=I 那么1AB。 这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵。（3）初等变换法：这是一种最常用的方法， 为了看出如何用初等变换法求逆矩阵，先证一个引理：可逆矩阵的行简化阶梯形矩阵一定是单位矩阵，换句话说， 可逆矩阵可以经过 一 系 列 初 等 变 换 化 成 单 位 矩 阵 ， 即1(,),A IIA初 等 行 变 换，1AIIA初 等 列 变 换。例2 求012114210A的逆矩阵。解：因为1,231(2)012100114010(, )114010012100210001210001A I32 (3 ) , 12(1)23(1) , 13(1)114010102110012100012100038021002321名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 高等代数小论文5 13()210021110021101042101042100232131001122所以121142131122A。（4） 利用解线性方程组求逆矩阵若n阶矩阵 A 可逆，则1AAI， 于是1A的第j列是线性方程组的jAX的解，1, 2,jn因此我们可以去解线性方程组AX，其中12(,)Tnbbb，然后把所得的解的公共式中12,nbbb分别用 1，0，0；0，1，0；0，0,1 代替，便可求的1A的第 1,2， n 列。这种方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵稍微简单些。（5） 分块求逆法当一个可逆矩阵的级数较大时， 即使用初等变换法求它的逆矩仍然计算量较大，如果把该矩阵分块， 再对分块矩阵求逆矩阵则可减少计算量，用分块求逆法解题的具体步骤为：根据所给矩阵 A 的特点分块为11122122AAAAA 选 择 适 当 的 分 块 求 逆 公 式 ： 设12,sA BAAA均 可 逆 ； 则111111111111100,0000ssAAAACAAAC BBBBBAA，11111111111110000,0000ACAAABC ABBBBCBBC ABAA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 高等代数小论文6 11111ssAAAA，1111100CABBAAC B。例3设 4 阶方阵5200210000120011试求1A。解：设111220521212,0211125AAAA则 A=是 分 块 矩 阵 ， 易 得 A1121200122500331200113333110033AA故。【参考文献】1初等变换的关系与可逆矩阵的分解张新发2高等代数题解精粹钱吉林3高等代数（第二版）徐德余4高等代数习题解杨子胥名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -