2022年2022年计算机数值方法教案 .pdf

第 O 章绪论一、教学设计1教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、 意义、及其有关概念。 数值计算中应注意的一些问题。2重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、 相对误差限、 有效数字； 理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。4教学方法：介绍与讨论二、教学过程1。1 引论1课程简介：数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“ 数值分析 ” ，其包含的内容属于计算数学的一个部分。2历史沿革：数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。直到 20 世纪 40 年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢， 作用也比较有限。3计算方法的形成：20 世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学” 开始形成并迅速发展。4作用与意义：科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。5计算方法的任务：将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。例：!212nxxxenx，hxyhxyxy)()()(针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。例：解线性方程组，已有Cram 法则，但不可行。(几十万年 ) 误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。6 计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有： ) 利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下：实际问题构造数学模型设计数值计算方法程序设计上机求出结果回到实际问题。数学模型举例：例 1：鸡兔同笼： （共 10 只， 34 只脚）导致方程组；例 2：曲边梯形的面积。相应地， 本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方法；微分方程数值解等。7主要特点既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性。（要求先掌握基本数学知识，以及计算机的基本操作）8学习目的：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习一些常用的数值方法，掌握数值方法的基本理论，为进一步研究新算法奠定基础。初步掌握一种软件包：Mathematic,Matlab 等的使用方法。9参考书目：1袁蔚平等编 .计算方法与实习.南京：东南大学出版社,2000 年 7 月2李庆杨等编 .数值分析.武汉：华中工学院出版社,1982 年 1 月3葛福生编 .数值计算方法.南京：河海大学出版社,1996 年 4 月1。2 数值问题与数值算法1数值问题：指输入数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。例 ： 求 二 次 方 程02cbxax的 根 ， 可 算 作 一 个 数 值 问 题 ； 求 常 微 分 方 程0)0(, 32yxy的解，却不能称作数值问题，需离散化。2数值方法：求解数值问题的计算机上可执行的系列计算公式。例 1：Cram 法则， Gauss消去法例 2：求根公式aacbbx2422, 1acbdadSQRTbx4,2)(22, 13数值算法：指有步骤地完成解数值问题的过程，数值方法是它的前提和基础，它是数值方法的具体化。具备以下四个特性：目的性；确定性；可执行性；有穷性。(有别于常规的思维 ) 算法设计的目的：可靠性好、计算精度高；计算复杂性好；为程序设计作准备。4算法设计及其表达法表达方法：自然语言法和图示法。例：通过二次方程求根的例子，说明数值方法与数值算法的区别，并演示算法常用的表达方法之一：自然语言法（图示法不加介绍）。(首先要选择数值方法：公式法或迭代法) 主要步骤：（阅读课本后，要求自己解释）1输入数据cba,2若0a怎样？（若0b，bcx1，否则, ）3若0a，计算acbD42，)( DSQRTSD若0D怎样？（abxx221）若0D怎样？（aiSDbx22,1）若0D怎样？4输出21,xx2 误差2-1 误差的基本概念1误差来源及种类：模型误差（忽略次要因素）观测误差（测量工具的限制）截断误差（有限代替无限，如 Taylor 展开）舍入误差（计算机字长位数有限），主要讨论。2举例说明误差分析的重要性：计算), 2, 1 ,0(101ndxexeIxnn。递推公式（ A） ：11nnnII，632120559.00I；11nnnII，6321. 00I；递推公式（ B） ：nIInn/ )1(1，8123130.0325685520I计算),2, 1 , 0(101ndxexeIxnn。递推公式（ A） ：11nnnII，632120559.00I；11nnnII，6321. 00I；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 递推公式（ B） ：nIInn/ )1(1，8123130.0325685520I1010110101maxmindxxeeIdxxeenxxnnxx，或1111nInen，故7619050.04761904I8627210.0175180620， 取中值即得8123130.0325685520I计算结果见表n In(A) In(A) In(B) In0 0.632120559 0.6321 0.632120559 0.6321205588 1 0.367879441 0.3679 0.367879441 0.3678794412 2 0.264241118 0.2642 0.264241118 0.2642411177 3 0.207276646 0.2074 0.207276647 0.207276647 4 0.170893416 0.1704 0.170893412 0.1708934119 5 0.14553292 0.1480 0.14553294 0.1455329406 6 0.12680248 0.1120 0.1268023566 0.1268023566 7 0.11238264 0.2160 0.112383504 0.1123835041 8 0.10093888 -0.7280 0.1009319674 0.1009319674 9 0.09155008 7.552 0.091612293 0.091612293 10 0.0844991999 -74.52 0.0838770701 0.08387707014 11 0.0705088012 820.7 0.0773522289 0.07735222896 12 0.153894386 -9848 0.0717732536 0.07177325389 13 -1.00062702 12802 0.0669477026 0.06694770317 14 0.0627321641 0.0627321639 15 0.0590175384 0.05901754088 16 0.0557193850 0.0557193459 17 0.0527704553 0.0527711191 18 0.0501318045 0.05011985496 19 0.0474957147 0.0477227558 20 0.0325685581 0.0455448841 计算结果见表，差之毫厘，失之千里，试分析其中原因（误差被放大或缩小）。3定义 3.1设*x为准确值，x为*x的一个近似值，称xxe*为近似值x的绝对误差，简称误差。（绝对）误差限：xxe*，或*xx例：51000,215yx4定义3.2近似值x的误差与准确值*x之比*xxxxeer，称为近似值x的相对误差。（相对）误差限r：rrxxxe*。但实际中常以下式计算：xxxxeer*，相应地xr*。例：51000,215yx；例：已知82281718.2e，其近似值为28718.2*e，求*e的绝对误差限和相对误差限*r。考察常用的四舍五入(为什么要四舍五入？) 所引起的误差，不超过某一位数字的半个单位（个位为 1，十位为10，, ）5定义 3.3如果*x的误差绝对值不超过某一位数字的半个单位，若该位数字到*x的第一位非零数字共有n位，则称用*x近似x时具有n位有效数字，简称*x有n位有效数字。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例：5161. 3, 6141. 3*分别具有 6,5 位有效数字。如何描述有效数字？（一般情况下在计算机中数往往规格化，故有必要考察规格化数。）6定义3.4如果nkaaax21*.010（其中01a）是x的近似值，且满足不等式nkxx105 .0*，则称*x有n位有效数字。例：设1000 x，它的两个近似值9.999*1x和1 .1000*2x分别有 3,4 位有效数字。一般地，有效数字位数多，相对误差小，但上例例外。下面讨论相对误差与有效数字的关系。7定理 3.1设nkaaax21*.010（其中01a）是x的近似值，（1）如果*x有n位有 效数字，则*x的 相对误差限为11*1021nraE； （ 2）若*x的 相对误差限为11*10)1(21nraE，则*x至少有n位有效数字。例：设（ 1）98.1,986.1*11xx， （2）01. 1,014.1*22xx，分别求*2*1, xx的有效数字位数与相对误差限。 （用此例说明定理3.1 的不唯一）例：要使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（4 位， 4.472）（用定理 3.1 的（ 1）来解，但并不能保证最好的结果：例：2501 ，2,3,4 位有效数字都可以使相对误差小于0.1%）例：已知*x作为x的近似值有n位有效数字，问*/1 x作为x/1的近似值有几位有效数字？3-2 数值运算的误差估计（不加证明）1（可先讲一元的） 设给定多元函数),(21nxxxfA， 且设*2*1,nxxx为nxxx,21的近似值，以),(*2*1*nxxxfA作为A的近似值，其误差分析可利用Taylor 展开，其绝对误差niiinniiiinnnxExxxfxxxxxfxxxfxxxfAAAE1*11*121*2*1*)(),()(),(),(),()(绝对误差限为：)(),()(*1*1*iniinxxxxfA相对误差为：niiriinniiinrxEAxxxxfAxExxxfAAEAE1*11*1*)(),()(),()()(或：niiriinniiinrxEAxxxxfAxExxxfAAEAE1*11*1*)(),()(),()()(相对误差限为：)(),()(),()()(*1*11*1*irniiinniiinrxAxxxxfAxxxxfAAA或)(),()(),()()(*1*11*1*irnirinniiinrxAxxxxfAxxxxfAAA2基本运算的误差（1）xyyxf),(，)()()(yxExyExyE，)()()(yExExyErrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - （2）yxyxf/),(，)()(1)/(2yEyxxEyyxE，)()()/(yExEyxErrr（3）yxyxf),(，)()()(yExEyxE，)()()(yEyxyxEyxxyxErrr（4）xxf)(，)(21)(xExErr，（5）nxxf)(，)()(xnExErnr例：见书本P28，T10，应用以上理论作分析。3浮点数运算的误差设121. 010ttnaaaax，而机器字长为t，则在机器中tnaaax21*. 010不同阶的数在运算时，需对阶，这也会导致误差。例：在只有四位字长的机器上作下列运算，结果如何？1000+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+0.1+ (11 项)(Matlab: digits(4);x=vpa(0.1),1000+x+x .) 0.1+0.1+0.1+0.1+1000 （以下略）记为tnaaaxfl21. 010)(，其绝对误差和相对误差分别为110,10ttnE(相对误差只与机器字长有关) 四则运算的误差在一定条件下有以下误差估计：)1)()(2, 1yxyxfl，)1)()(3yxyxfl，)1)()(4yxyxfl，110ti连加和连加的误差例：例：0.368 467 6 + 1070.632 754 4 + 0.493 200 1 + 0.480 010 0 = 1070.632 754 4 对于加法，先参加运算的数，在计算和中引起的误差也较大，故应先让绝对值小的数参加运算；对于乘法，误差与数参加运算的次序无关。3-3 数值方法的稳定性与算法设计原则1数值稳定：对于一个数值方法，若其计算结果受计算过程舍入误差影响较小，则称此数值方法是数值稳定的；否则称它是不稳定的。如：前例中方法（A）和（ B） 。 （可作分析）引例： Hilbert 矩阵作为系数的方程组。求线性方程组的计算解604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx（1）精确解为：1321xxx；（2）取 3位有效数字，用Gauss消去法求解，其解：491.1,488.0,09. 1321xxx；Matlab:A= ,b= ,x=Ab; 若中间结果也取3 位有效数字，则解的过程如下，解为：57.1,408.0, 1. 1321xxx1 0.5 0.333 1.83 0.5 0.333 0.25 1.08 0.333 0.25 0.2 0.783 1 0.5 0.333 1.83 0 0.083 0.0835 0.165 0 0.0835 0.0891 0.174 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1 0 -0.17 0.836 0 0.083 0.0835 0.165 0 0 0.0051 0.00801 1 0 0 1.1 0 0.083 0 0.0339 0 0 0.0051 0.00801 1 0 0 1.1 0 1 0 0.408 0 0 1 1.57 （3）同样取 3 位有效数字，用Gauss消去法求解方程组622452413231321321xxxxxxxx得到计算解为6, 1, 9321xxx，即为精确解。2 -1 3 1 4 2 5 4 2 0 2 6 2 -1 3 1 0 4 -1 2 0 1 -1 5 2 0 2.75 1.5 0 4 -1 2 0 0 -0.75 4.5 2 0 0 18 0 4 0 -4 0 0 -0.75 4.5 1 0 0 9 0 1 0 -1 0 0 1 -6 数值问题的计算解的精度，不但与数值方法的稳定性有关，还与数值问题的性态好坏有关。引出概念2病态问题：如果问题的输入数据的微小误差，引起输出结果的很大误差，（即输出对输入的扰动很敏感）则称这种问题为病态问题或坏条件问题（ill-posed ） ；否则称为良态问题。3四则运算中的稳定性问题（1）防止大数吃小数由于计算机中数的位数有限（假设 7位） ，两数相加需对阶，于是会发生大数吃小数的现象。例： 0.368 467 6 + 1070.632 754 4 + 0.493 200 1 + 0.480 010 0 = 107 0.632 754 4 方法：将小数放在前面相加。0.368 467 6 + 0.493 200 1 + 0.480 010 0 + 1070.632 754 4 = 1.34167770000000 + 1070.632 754 4 = 107 0.632 754 5 （2）要避免两个相近数相减（可用此原则优化一元二次方程的求根公式，见同济 P6：例 5）例：52.532,65.532yx都有五位有效数字，但13.0yx却只有两位有效数字。方法：改变计算公式。例：2sin2cos12xx，计算)2cos1(1007A。取9994.02cos0，直接计算得结果为3106，但若取0175.01sin0，37201013. 610)1(sin2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例：当21, xx很接近时，2121lglglgxxxx例：当x很大时，xxxx111例：010)(92xx，其中1,109，试在 8 位字长的机器上求解此一元二次方程。（3）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法，或大数作乘数例：22100001.02121xxxx，在只有 5 位字长的机器上，若（0.5 105）消去式中的1x ，则解得12x，代入式后得01x，与真实解相差甚远。（4）注意简化计算步骤，减少运算次数例：求255x的值，直接需254 次乘法，128643216842255xxxxxxxxx只需 14 次。例：计算0111)(axaxaxaxPnnnnn的值，直接计算需2)1(nn次乘法和n次加法，而采用秦九韶算法(五六百年后，Horner) 01)(0, 1 ,2,2,1,sxPnnkaxssasnkkknn只要n次乘法和n次加法。例：利用秦九韶算法计算多项式16432)(23467xxxxxxxp在2x处的值1 -2 0 -3 4 -1 6 -1 2 2 0 0 -6 -4 10 -8 1 0 0 -3 -2 -5 -4 -9 9)2(p作业： P27： 2，7，8，10，11 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -