2022年高中数学两角和与差的正弦余弦和正切公式 .pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识能否忆起 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C( )：cos( ) cos_ cos_ sin_ sin_ ；(2)C( )：cos( ) cos_ cos_ sin_ sin_ ；(3)S( )： sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ ；(4)S( )： sin( )sin_ cos_ cos_ sin_ ；(5)T( )： tan( )tan tan 1tan tan ；(6)T( )： tan( )tan tan 1tan tan . 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2：sin 2 2sin_ cos_ ；(2)C2：cos 2 cos2 sin2 2cos2 11 2sin2 ；(3)T2： tan 2 2tan 1tan2. 3常用的公式变形(1)tan tan tan( )(1?tan tan )；(2)cos2 1cos 22，sin2 1cos 22；(3)1 sin 2 (sin cos )2，1sin 2 (sin cos )2，sin cos 2sin 4. 小题能否全取 1(2011 福建高考 )若 tan 3，则sin 2cos2的值等于 () A2B3 C4 D6 解析： 选 Dsin 2cos22sin cos cos22tan 2 36. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2sin 68sin 67sin 23cos 68 的值为 () A22B.22C.32D1 解析： 选 B原式 sin 68 cos 23 cos 68 sin 23 sin(68 23 )sin 45 22. 3已知 sin 23，则 cos( 2 )等于 () A53B19C.19D.53解析： 选 Bcos( 2 ) cos 2 (12sin2 )2sin2 1249119. 4(教材习题改编)若 cos 45，是第三象限角，则sin 4_ 解析： 由已知条件sin 1 cos2 35，sin 422sin 22cos 7210. 答案： 72105若 tan 425，则 tan _. 解析： tan 4tan 11 tan 25，即 5tan 522tan . 则 7tan 3，故 tan 37. 答案： 371.两角和与差的三角函数公式的理解：(1)正弦公式概括为“ 正余，余正符号同”“ 符号同 ”指的是前面是两角和，则后面中间为 “” 号；前面是两角差，则后面中间为“”号(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 所得特别地，对于余弦：cos 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos2 sin2 2cos2 1 12sin2 ，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式 ”，在考题中常有体现2重视三角函数的“三变 ”：“三变 ”是指 “变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形三角函数公式的应用典题导入例 1(2011 广东高考 )已知函数 f(x)2sin13x6，xR. (1)求 f54的值；(2)设 ， 0，2，f 3 21013，f(3 2 )65，求 cos( )的值自主解答 (1) f(x)2sin13x6， f542sin51262sin42. (2) ， 0，2，f 3 21013，f(3 2 )65， 2sin 1013， 2sin 265. 即 sin 513，cos 35. cos 1213，sin 45. cos( )cos cos sin sin 121335513451665. 由题悟法两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用 、 的三角函数表示 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思的三角函数， 在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的以题试法1(1)已知 sin 35， 2，则cos 22sin 4_. (2)(2012济南模拟 )已知 为锐角， cos 55，则 tan42() A 3B17C43D 7 解析： (1)cos 22sin 4cos2 sin2222sin 22cos cos sin ， sin 35， 2， cos 45. 原式75. (2)依题意得， sin 2 55，故 tan 2，tan 2 221443，所以 tan4214314317. 答案： (1)75(2)B 三角函数公式的逆用与变形应用典题导入例 2(2013 德州一模 )已知函数 f(x)2cos2x23sin x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域；(2)若 为第二象限角，且f 313，求cos 21cos 2 sin 2的值自主解答 (1) f(x)2cos2x23sin x1cos x3sin x 12cos x3，周期T 2 ，f(x)的值域为 1,3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思(2) f 313， 12cos 13，即 cos 13. 为第二象限角， sin 223. cos 21cos 2 sin 2cos2 sin22cos2 2sin cos cos sin 2cos 13223231222. 由题悟法运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、 准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如 tan tan tan( ) (1 tan tan )和二倍角的余弦公式的多种变形等以题试法2(1)(2012赣州模拟 )已知 sin 6cos 4 35，则 sin 3的值为 () A.45B.35C.32D.35(2)若 34，则 (1tan )(1tan )的值是 _解析： (1)由条件得32sin 32cos 4 35，即12sin 32cos 45. sin 345. (2)1tan34 tan( )tan tan 1tan tan ， tan tan 1tan tan . 1tan tan tan tan 2，即(1tan )(1tan )2. 答案： (1)A(2)2 角 的 变 换精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思典题导入例 3(1)(2012温州模拟 )若sin cos sin cos 3， tan( )2，则 tan( 2 ) _. (2)(2012江苏高考 )设 为锐角，若cos 645，则 sin 2 12的值为 _自主解答 (1)由条件知sin cos sin cos tan 1tan 13，则 tan 2. 故 tan( 2 )tan ( ) tan tan 1tan tan 2 21 2 243. (2)因为 为锐角， cos 645，所以 sin 635，sin 2 62425，cos 2 6725，所以 sin 2 12sin 2 642425227252217250. 答案 (1)43(2)17250由题悟法1当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；2当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”3常见的配角技巧： 22； ( ) ； ( )； 12( )( )； 12( ) ( )；4 24； 44. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思以题试法3设 tan() 25，tan 414，则 tan 4() A.1318B.1322C.322D.16解析： 选 Ctan 4tan 4tan tan 41tan tan 4322. 典例 (2012 广东高考 )已知函数 f(x)2cos x 6(其中 0，x R)的最小正周期为10.(1)求 的值；(2)设 ， 0，2，f 5 5365，f 5 561617，求 cos( )尝试解题 (1) f(x)2cos x 6，0 的最小正周期T10 2， 15. (2)由(1)知 f(x) 2cos15x6，而 ， 0，2，f 5 5365，f 5 561617， 2cos155 53665，2cos155 5661617，即 cos 235，cos 817，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思于是 sin 35，cos 45， sin 1517， cos( )cos cos sin sin 458173515171385. 易错提醒 1.在解答本题时有两点容易失误：1 忽略角 ， 的范围，求解 cos ，sin 的值时出错；2 在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误.2.解决三角函数问题时，还有以下几点容易失误：1 对公式记忆不准确而使公式应用错误；2 三角公式不能灵活应用和变形应用；3 忽略角的范围或者角的范围判断错误.针对训练1在 ABC 中， sin(CA)1，sin B13，则 sin A 的值为 _解析： 由题意知， CA2，且 CA B，故 A4B2，则 sin Asin4B222cosB2sinB2，则 sin2A12(1sin B)13，又 sin A0，则 sin A33. 答案：332已知 sin(2 )35，sin 1213，且 2， 2，0 ，求 cos 2的值解： 2 ， 2 2.2 0， 0 2， 2 52，而 sin(2 )350， 2 2 52，cos(2 )45. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又2 0 且 sin 1213， cos 513， cos 2 cos(2 ) cos(2 )cos sin(2 )sin 4551335 12135665. 1 (2012 重庆高考 )设 tan ， tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan ( )的值为 () A 3B 1 C1 D3 解析： 选 A由题意可知tan tan 3，tan tan 2，tan( )tan tan 1tan tan 3. 2(2012 南昌二模 )已知 cos x633，则 cos xcos x3的值是 () A2 33B233C 1 D 1 解析： 选Ccos x cos x3 cos x12cos x32sin x32cos x32sin x332cos x12sin x 3cos x6 1. 3 (2012 乌鲁木齐诊断性测验)已知 满足 sin 12，那么 sin4sin4的值为() A.14B14C.12D12解析： 选 A依题意得， sin4 sin4 sin4 cos412sin2212cos 2 12(12sin2 )14. 4 已知函数f(x) x3 bx 的图象在点A(1， f(1)处的切线的斜率为4， 则函数 g(x)3sin 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2x bcos 2x 的最大值和最小正周期为() A1，B2，C.2，2D.3，2解析： 选 B由题意得f(x)3x2b，f(1)3b4，b1. 所以 g(x)3sin 2xbcos 2x3sin 2xcos 2x2sin 2x6，故函数的最大值为2，最小正周期为.5 (2012 东北三校联考)设 、 都是锐角， 且 cos 55， sin() 35， 则 cos () A.2 525B.255C.2525或255D.55或525解析： 选 A依题意得sin 1cos2 2 55，cos( ) 1 sin2 45. 又 、均为锐角，因此0 cos( )，注意到455545，所以 cos( )45. cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 4555352 552 525. 6已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2 () A53B59C.59D.53解析： 选 A将 sin cos 33两边平方，可得1sin 2 13，sin 2 23，所以 (sin cos )21sin 2 53.因为 是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以 sin cos 153，所以 cos 2 (sin cos ) (cos sin )53. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思7(2012 苏锡常镇调研 )满足 sin5sin xcos45cos x12的锐角 x _. 解析： 由已知可得cos45cos xsin45sin x12，即 cos45x 12，又 x 是锐角，所以45x3，即 x715. 答案：7158化简2tan 45 1tan245 sin cos cos2 sin2_. 解析： 原式 tan(90 2 ) 12sin 2cos 2sin 90 2cos 90 212sin 2cos 2cos 2sin 212sin 2cos 212. 答案：129(2013 烟台模拟 )已知角 ，的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合， ，(0， )，角 的终边与单位圆交点的横坐标是13，角 的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则 cos _. 解析： 依题设及三角函数的定义得：cos 13，sin( )45. 又 0 ，2 ，2 ，sin 2 23，cos( )35. cos cos( ) cos( )cos sin( )sin 35 1345223精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思38215. 答案：38 21510已知 0，2， tan 12，求 tan 2 和 sin 2 3的值解： tan 12， tan 2 2tan 1tan221211443，且sin cos 12，即 cos 2sin ，又 sin2 cos2 1， 5sin2 1，而 0，2， sin 55，cos 2 55. sin 2 2sin cos 2552 5545，cos 2 cos2 sin2 451535， sin 2 3 sin 2 cos3cos 2 sin34512353243310. 11已知： 0 2 ，cos 445. (1)求 sin 2 的值；(2)求 cos 4的值解： (1)法一： cos 4cos4cos sin 22cos 22sin 13， cos sin 23， 1sin 2 29， sin 2 79. 法二： sin 2 cos222cos2 4179. (2)02 ，4434 ，2 0，cos( )0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos 413，sin( )45，sin 4223，cos( )35. cos 4cos 4cos( )cos 43513452 2382315. 12(2012 衡阳模拟 ) 函数 f(x) cosx2sin x2，xR. (1)求 f(x)的最小正周期；(2)若 f( )2105， 0，2，求 tan 4的值解： (1)f(x)cos x2sin x2sinx2cosx22sinx24，故 f(x)的最小正周期T2124.(2)由 f( )2105，得 sin2cos22 105，则 sin2cos2221052，即 1sin 85，解得 sin 35，又 0，2，则 cos 1 sin2 192545，故 tan sin cos 34，所以 tan 4tan tan41tan tan4341134 7. 1若 tan lg(10a)，tan lg1a，且 4，则实数a 的值为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思A1 B.110C1 或110D 1 或 10 解析： 选 Ctan( )1?tan tan 1tan tan lg 10a lg1a1lg 10a lg1a1? lg2alg a0，所以 lg a0 或 lg a 1，即 a1 或110. 2化简 sin2 6sin2 6sin2的结果是 _解析： 原式1cos 2 321cos 2 32sin2112cos 2 3cos 2 3sin21cos 2 cos3sin2 1cos 221cos 2212. 答案：123已知 sin cos 3 55， 0，4，sin 435， 4，2. (1)求 sin 2 和 tan 2的值；(2)求 cos( 2 )的值解： (1)由题意得 (sin cos )295，即 1sin 2 95， sin 2 45. 又 2 0，2， cos 2 1sin22 35， tan 2 sin 2cos 243. (2) 4，2， 40，4，sin 435， cos 445，于是 sin 2 42sin 4cos 42425. 又 sin 2 4 cos 2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 cos 2 2425，又 2 2， sin 2 725，又 cos2 1cos 2245 0，4， cos 2 55，sin 55. cos( 2 ) cos cos 2 sin sin 22 5524255572511525. 1(2012 北京西城区期末)已知函数f(x)3sin2xsin xcos x，x2，. (1)求 f(x)的零点；(2)求 f(x)的最大值和最小值解： (1)令 f(x)0，得 sin x (3sin xcos x)0，所以 sin x0 或 tan x33. 由 sin x0，x2，得 x ；由 tan x33，x2，得 x56. 综上，函数f(x)的零点为56，.(2)f(x)32(1cos 2x)12sin 2xsin 2x332. 因为 x2， ，所以 2x323，53. 所以当 2x323，即 x2时， f(x)的最大值为3；当 2x332，即 x1112时， f(x)的最小值为 132. 2已知 0 2 ，且 cos 219，sin223，求 cos( )的值；解： 0 2 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思42 2，4 2. cos21sin22123253，sin 21cos2 21 1924 59. cos 2cos 22cos 2cos2 sin 2sin21953459237 527. cos( )2cos2 2124957291239729. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页