2022年高中数学圆锥曲线解题技巧总结 .pdf

1 FAPHBQ解圆锥曲线问题的常用方法大全1、定义法 1椭圆有两种定义。第一定义中，r1+r2=2a。第二定义中，r1=ed1r2=ed2。 2 双曲线有两种定义。 第一定义中，arr221， 当 r1r2时，注意 r2的最小值为c-a： 第二定义中， r1=ed1，r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。 3抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要无视判别式的作用。3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 中点为 M(x0,y0)，将点 A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： 1)0(12222babyax与直线相交于A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)，则有02020kbyax。 2)0,0(12222babyax与直线 l 相交于 A、B，设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有02020kbyax 3y2=2px p0与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p. 【典型例题 】例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P到点 A(3,42)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为 _ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1) 与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为。分析：1A 在抛物线外，如图，连PF，则PFPH，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，距离和最小。 2B 在抛物线内，如图，作QR l 交于 R，则当 B、Q、R 三点共线时，距离和最小。解： 1 2，2连 PF，当 A、P、F 三点共线时，PFAPPHAP最小， 此时 AF 的方程为)1(13024xy即y=22(x-1), 代入 y2=4x 得 P(2,22)， 注：另一交点为(2,21)，它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页2 xy0ABCMD5FFPHy0 xA 2 1 ,41过 Q 作 QRl 交于 R，当 B、Q、R 三点共线时，QRBQQFBQ最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入 y2=4x 得 x=41， Q(1 ,41) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。例 2、 F 是椭圆13422yx的右焦点， A(1,1) 为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。 1PFPA的最小值为 2PFPA2的最小值为分析： PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径FP或准线作出来考虑问题。解： 14-5设另一焦点为F，则F(-1,0)连 AF,PF542)(22FAaPAFPaFPaPAPFPA当 P是FA 的延长线与椭圆的交点时, PFPA取得最小值为4-5。 23 作出右准线l，作 PHl 交于 H，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=21，PHPFPHPF2,21即PHPAPFPA2当 A、P、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142Axca例 3、 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切 ,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程。分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点这三点共线如图中的A、M、C 共线， B、D、M 共线。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”如图中的MDMC 。解：如图，MDMC，26MBMADBMBMAAC即8MBMA *精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页3 点 M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1， b2=15 轨迹方程为1151622yx点评：得到方程* 后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出4) 1()1(2222yxyx，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！例 4、 ABC 中， B(-5,0),C(5,0), 且 sinC-sinB=53sinA,求点 A 的轨迹方程。分析： 由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2RR 为外接圆半径 ，可转化为边长的关系。解： sinC-sinB=53sinA 2RsinC-2RsinB=532RsinA BCACAB53即6ACAB*点 A 的轨迹为双曲线的右支去掉顶点 2a=6，2c=10 a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为116922yxx3点评： 要注意利用定义直接解题，这里由* 式直接用定义说明了轨迹双曲线右支例 5、 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在y=x2上移动， AB 中点为 M，求点 M 到 x 轴的最短距离。分析： 1可直接利用抛物线设点，如设A(x1,x12)， B(x2，X22)，又设 AB 中点为 M(x0y0)用弦长公式及中点公式得出y0关于 x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。 2M 到 x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。解法一： 设 A(x1，x12)， B(x2，x22)，AB 中点 M(x0，y0) 则0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即 (x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4 xy0MABA1A2M1M2B1B2xyF1F20ABCD2020041944xxy，1149)14(4944202020200 xxxxy,5192450y当 4x02+1=3 即220 x时，45)(min0y此时)45,22(M法二： 如图，32222ABBFAFBBAAMM232MM， 即23411MM，451MM， 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值。 M 到 x 轴的最短距离为45点评： 解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x1，x2，从而形成y0关于 x0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到 x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F，而且点M 的坐标也不能直接得出。例 6、 已知椭圆)52( 1122mmymx过其左焦点且斜率为1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设 f(m)=CDAB,1求 f(m),2求 f(m)的最值。分析： 此题初看很复杂，对f(m) 的结构不知如何运算，因A、 B 来源于“不同系统” ，A 在准线上， B 在椭圆上，同样C 在椭圆上， D 在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到x 轴上，立即可得防)()(22)(2)()(CDABCDABXxxxxxxxmf)()(2DACBxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页5 )(2CBXx此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。解： 1椭圆1122mymx中， a2=m，b2=m-1， c2=1，左焦点F1(-1,0) 则 BC:y=x+1, 代入椭圆方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得 (m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 设 B(x1,y1),C(x2,y2),则 x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxCDABmfCACDAB 2)1211 (2121122)(mmmmf当 m=5 时，9210)(minmf当 m=2 时，324)(maxmf点评： 此题因最终需求CBxx，而 BC 斜率已知为1，故可也用 “点差法” 设 BC 中点为 M(x0,y0),通过将 B、C 坐标代入作差，得0100kmymx，将y0=x0+1，k=1 代入得01100mxmx，120mmx，可见122mmxxCB当然， 解此题的关键在于对CDABmf)(的认识， 通过线段在x 轴的“投影”发现CBxxmf)(是解此题的要点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页6 【同步练习 】1、已知：F1，F2是双曲线12222byax的左、 右焦点， 过 F1作直线交双曲线左支于点A、 B，假设mAB，ABF2的周长为A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、假设点P 到点 F(4,0)的距离比它到直线x+5=0 的距离小1，则 P 点的轨迹方程是A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、 y2=32x 3、已知 ABC 的三边 AB、BC、AC 的长依次成等差数列，且ACAB，点 B、C 的坐标分别为 (-1，0)，(1，0)，则顶点 A 的轨迹方程是A、13422yxB、)0(13422xyxC、)0(13422xyxD、)00(13422yxyx且4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是A、)1(49)21(22xyxB、)1(49)21(22xyxC、)1(49)21(22xyxD、)1(49)21(22xyx5、已知双曲线116922yx上一点 M 的横坐标为4，则点 M 到左焦点的距离是6、抛物线y=2x2截一组斜率为2 的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是7、已知抛物线y2=2x 的弦 AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦 AB 中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4 的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的交点个数只有一个，则k= 10、设点 P 是椭圆192522yx上的动点， F1，F2是椭圆的两个焦点，求sin F1PF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，假设直线l 与此椭圆相交于A、B 两点，且 AB 中点 M 为(-2，1)，34AB，求直线l 的方程和椭圆方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页7 12、已知直线 l 和双曲线)0,0(12222babyax及其渐近线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证：CDAB。【参考答案 】1、C aBFBFaAFAF2,21212，,24,42222maABBFAFaABBFAF选 C 2、C 点 P到 F 与到 x+4=0 等距离， P点轨迹为抛物线p=8 开口向右，则方程为y2=16x，选 C 3、D 22ACAB，且ACAB点 A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A、B、C 三点不共线，即y0，故选 D。4、A 设中心为 (x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4 得4)2() 12(122yx，49)21(22yx又 ca,2)1(22yx (x-1)2+y221) 7、y2=x+2(x2) 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，AB 中点 M(x ，y)，则2)(),(2,2,2212121212221222121yyxxyyxxyyxyxy20 xykkMPAB，222yxy，即 y2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P，即 y22x，即 x+22 8、4 22, 8,4222ccba，令22x代入方程得8-y2=4 y2=4，y=2，弦长为4 9、12或y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=0 0012k得 4k2+8(1-k2)=0，k=2 1-k2=0 得 k=1 10、解： a2=25，b2=9，c2=16 设 F1、F2为左、右焦点，则F1(-4，0)F2(4，0) 设212211,PFFrPFrPF则221222121)2(cos22crrrrrr2-得 2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos=212212224rrbrrbr1+r2212rr，r1r2的最大值为a2 1+cos的最小值为222ab，即 1+cos2518cos257，257arccos0则当2时， sin取值得最大值1，即 sinF1PF2的最大值为1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页9 11、设椭圆方程为)0(12222babyax由题意： C、2C、cca2成等差数列，22224caccacc即， a2=2(a2-b2),a2=2b2椭圆方程为122222bybx，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 则12221221bybx12222222bybx -得022222122221byybxx0222kbybxmm即022k k=1 直线 AB 方程为 y-1=x+2 即 y=x+3 ， 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 3x2+12x+18-2b2=0，342)218(121231112221bxxAB解得 b2=12，椭圆方程为1122422yx，直线 l 方程为 x-y+3=0 12、证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，AD 中点为 M(x0，y0)直线 l 的斜率为k，则11222222221221byaxbyax-得0222020kbyax设),(),(),(002211yxMBCyxCyxB中点为，则002212221222112211byaxbyax -得02221021kbyax由、知M、M均在直线022:22kbyaxl上，而 M、M又在直线l 上 ，假设 l 过原点，则B、 C 重合于原点，命题成立假设 l 与 x 轴垂直，则由对称性知命题成立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页10 假设 l 不过原点且与x 轴不垂直，则M 与M重合CDAB椭圆与双曲线的对偶性质总结椭圆1.点 P处的切线PT 平分 PF1F2在点 P处的 外角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角， 则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页11 5.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.椭圆22221xyab(a b0)的左右焦点分别为F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyabab 0的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M xy). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于M、N 两点，则MFNF. 10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13.假设000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 双曲线1.点 P 处的切线PT 平分 PF1F2在点 P 处的 内角 . 2.PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角， 则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .内切： P 在右支；外切：P 在左支5.假设000(,)Pxy在双曲线22221xyaba0,b 0上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6.假设000(,)Pxy在双曲线22221xyaba0,b 0外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7.双曲线22221xyab a0,bo的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页12 8.双曲线22221xyab a0,bo的焦半径公式：(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则MFNF. 10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MF NF. 11.AB是双曲线22221xyab a 0,b 0的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.假 设000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab a 0,b 0 内 ， 则 被Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab. 13.假 设000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab a 0,b 0 内 ， 则 过Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab. 椭圆与双曲线的经典结论椭圆1.椭圆22221xyababo的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y常数 . 3.假设P 为椭圆22221xyab a b 0上异于长轴端点的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页13 4.设椭圆22221xyabab0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5.假设椭圆22221xyabab0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P 到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为 椭 圆22221xyab a b 0 上 任 一 点 ,F1,F2为 二 焦 点 ， A为 椭 圆 内 一 定 点 ， 则2112| |2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立. 7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8.已知椭圆22221xyab a b 0 ， O 为坐标原点，P、 Q 为椭圆上两动点，且OPOQ. 122221111|OPOQab;2|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;3OPQS的最小值是2222a bab. 9.过椭圆22221xyab ab0的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知椭圆22221xyab ab 0,A、B、是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11.设 P 点是椭圆22221xyab ab0上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12.设A 、 B 是 椭 圆22221xyaba b 0 的 长 轴 两 端 点， P 是椭 圆 上 的 一 点 ，PAB, PBA,BPA， c、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 ， 则 有 (1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知椭圆22221xyab ab 0的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页14 14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.椭圆焦三角形中, 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率 ). 注 : 在椭圆焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 17.椭圆焦三角形中, 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.椭圆焦三角形中, 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线1.双曲线22221xyaba0,b0的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)Aa，与y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2.过双曲线22221xyaba0,bo上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb xka y常数 . 3.假设P 为双曲线22221xyab a0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca或tant22cacoca. 4.设双曲线22221xyaba 0,b0的两个焦点为F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 5.假设双曲线22221xyaba 0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 1 e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6.P 为双曲线22221xyab a 0,b 0上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21| 2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立. 7.双 曲 线22221xyab a 0,b 0 与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是22222A aB bC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页15 8.已知双曲线22221xyabba 0 ，O 为坐标原点， P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ. 122221111|OPOQab; 2|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;3OPQS的最小值是2222a bba. 9.过双曲线22221xyaba 0,b0的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN. 10.已知双曲线22221xyaba0,b0,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11.设 P点是双曲线22221xyaba 0,b0 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 12.设 A、B 是双曲线22221xyaba0,b0的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co. (2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13.已知双曲线22221xyaba0,b0的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B 两点 ,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC 经过线段EF 的中点 . 14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16.双曲线焦三角形中, 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). ( 注: 在双曲线焦三角形中, 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中, 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中, 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页