2022年高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法 .pdf
学习必备欢迎下载高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法高考要求充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q之间的关系本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系重难点归纳(1)要理解“充分条件” “必要条件” 的概念当 “若 p 则 q”形式的命题为真时，就记作 pq，称 p 是 q 的充分条件， 同时称 q 是 p 的必要条件， 因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假(2)要理解 “充要条件” 的概念，对于符号“”要熟悉它的各种同义词语“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“，反之也真”等(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质(4)从集合观点看，若AB，则 A 是 B 的充分条件，B 是 A 的必要条件；若A=B ，则 A、B 互为充要条件(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立 (即条件的必要性) 典型题例示范讲解例 1 已知 p|131x|2,q:x22x+1m20(m0), 若?p 是 ?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围命题意图本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性知识依托本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了错解分析对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难技巧与方法利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决解由题意知命题若 ?p 是?q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 是 q 的充分不必要条件p:|131x|2 231x12131x32x10 q:x22x+1 m2 0 x (1m) x(1+m) 0 * p 是 q 的充分不必要条件，不等式 |131x|2 的解集是x22x+1 m20(m0) 解集的子集又 m0 不等式 *的解集为1mx1+m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载9110121mmmm， m9，实数 m 的取值范围是9，+)例 2 已知数列 an 的前 n 项 Sn=pn+q(p 0,p1),求数列 an 是等比数列的充要条件命题意图本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性知识依托以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定错解分析因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明技巧与方法由 an=)2() 1(11nSSnSnn关系式去寻找an 与 an+1 的比值， 但同时要注意充分性的证明解 a1=S1=p+q 当 n2 时， an=SnSn1=pn 1(p1) p0,p1,)1()1(1ppppnn=p 若an 为等比数列，则nnaaaa112=p qppp) 1(=p, p0， p1=p+q， q=1 这是 an 为等比数列的必要条件下面证明q= 1 是 an 为等比数列的充分条件当 q=1 时， Sn=pn 1(p0,p1)，a1=S1=p1 当 n2 时， an=SnSn1=pn pn1=pn1(p1) an=(p1)pn 1 (p0,p1) 211)1()1(nnnnppppaa=p 为常数q=1 时，数列 an 为等比数列即数列an 是等比数列的充要条件为q=1 例 3 已知关于 x 的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根 、 ，证明 |2 且|2 是 2|a|4+b 且|b|0 即有024024baba4+b2a(4+b) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载又|b| 44+b02|a|4+b (2)必要性由 2|a|4+bf(2)0 且 f(x)的图象是开口向上的抛物线方程 f(x)=0 的两根 ，同在 (2，2）内或无实根 ，是方程 f(x)=0 的实根， ，同在 (2，2）内，即 |2 且|2 例 4 写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假. （1）若 x、y 都是奇数，则x+y 是偶数；（2）若 xy=0，则 x=0 或 y=0；（3）若一个数是质数，则这个数是奇数. 解：（ 1）命题的否定：x、y 都是奇数，则x+y 不是偶数，为假命题. 原命题的否命题：若x、 y 不都是奇数，则x+y 不是偶数，是假命题. （2）命题的否定：xy=0 则 x0 且 y0，为假命题 . 原命题的否命题：若xy0，则 x0 且 y0，是真命题 . （3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题. 原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题. 例 5 有 A、B、C 三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条. A 盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，B 盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，C 盒子上的纸条写的是“苹果不在A 盒内” . 如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？解：若苹果在A 盒内，则 A、B 两个盒子上的纸条写的为真，不合题意. 若苹果在 B 盒内，则 A、B 两个盒子上的纸条写的为假，C 盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B 盒内 . 同样，若苹果在C 盒内，则B、C 两盒子上的纸条写的为真，不合题意. 综上，苹果在B 盒内 . 学生巩固练习1 函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( ) Aab=0 Ba+b=0 Ca=b Da2+b2=0 2 “ a=1”是函数y=cos2axsin2ax 的最小正周期为“”的 ( ) A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既非充分条件也不是必要条件3 a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a 1)y=a7 平行且不重合的_ 4 命题 A 两曲线 F(x,y)=0 和 G(x,y)=0 相交于点P(x0,y0),命题 B 曲线 F(x,y)+ G(x,y)=0( 为常数 )过点 P(x0,y0),则 A 是 B 的_条件5 设， 是方程 x2ax+b=0 的两个实根，试分析a2 且 b1 是两根 、 均大于 1 的什么条件？6 已知数列 an 、 bn 满足 bn=nnaaan321221,求证数列 an 成等差数列的充要条件是数列bn 也是等差数列7 已知抛物线Cy=x2+mx 1 和点 A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C 与线段 AB 有两个不同交点的充要条件8 p:2m0,0n2,b=1, qp (2)为证明 pq,可以举出反例取=4,=21,它满足a=+=4+212,b=421=21,但q 不成立综上讨论可知a2,b1 是1,1 的必要但不充分条件6 证明必要性设an 成等差数列，公差为d,an 成等差数列1212(1 2)1 22 3(1) 1 231nnaanaandnnbnnn12(1)3and从而 bn+1bn=a1+n32da1(n1) 32d=32d故bn 是等差数列，公差为32d 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载充分性 : 设bn 是等差数列，公差为d,则 bn=(n 1)dbn(1+2+ +n)=a1+2a2+nan bn 1(1+2+n 1)=a1+2a2+(n1)an 得nan=2) 1(2)1(nnbnnnbn1111111113(1) (2) (1)22222nnnnnnnabbbndbndbnd从而得 an+1an=23d为常数，故an 是等差数列综上所述，数列an 成等差数列的充要条件是数列bn 也是等差数列7 解 必要性由已知得，线段AB 的方程为 y=x+3(0 x3) 由于抛物线C 和线段 AB 有两个不同的交点，所以方程组)30(312xxymxxy* 有两个不同的实数解消元得 x2(m+1)x+4=0(0 x3) 设 f(x)=x2 (m+1)x+4, 则有2(1)440(0)40(3)93(1)401032mffmm1033m充分性当 3x310时，x1=2)1(1216)1(122mmmm0 3216)1310(1310216) 1(1222mmx方程 x2(m+1)x+4=0 有两个不等的实根x1,x2,且 0 x1x23,方程组 *有两组不同的实数解因此，抛物线y=x2+mx1 和线段 AB 有两个不同交点的充要条件是3m3108 解 若关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根，设为x1,x2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载则 0 x11,0 x21,有 0 x1+x2 2 且 0 x1x21, 根据韦达定理10202121nmnxxmxx得有 2m0;0n1 即有 qp 反之，取m=21491,02131,21,312xxn0 方程 x2+mx+n=0 无实根，所以pq 综上所述， p 是 q 的必要不充分条件课前后备注1.已知 p 是 r 的充分不必要条件，s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，那么p 是 q 成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：依题意有pr，rs，sq， prsq.但由于 rp， qp. 答案： A 2. “cos2=23”是“ =k+125， kZ”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D. 既不充分又不必要条件解析： cos2=232=2k65=k 125. 答案： A 3.在 ABC 中，“ A B”是“ cosAcosB”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：在 ABC 中， ABcosAcosB（余弦函数单调性）. 答案： C 4.命题 A：两曲线F（x，y） 0 和 G（x，y）=0 相交于点P（x0，y0），命题B：曲线 F（x，y）+G（x，y） 0（为常数）过点P（x0，y0），则 A 是 B 的_条件 . 答案：充分不必要5.函数 f（x）=x22ax3 在区间 1，2上存在反函数的充分必要条件是A.a（， 1B.a 2，+）C. 1， 2D.a（， 1 2，+）解析： f（x）=x22ax3 的对称轴为x=a， y=f （x）在 1，2上存在反函数的充要条件为 1， 2（， a或 1，2a，+），即a2 或 a1. 答案： D 6.已知数列 an 的前 n 项和 Sn=pn+q（p0 且 p1），求数列 an 成等比数列的充要条件. 分析：先根据前n 项和公式，导出使an 为等比数列的必要条件，再证明其充分条件. 解：当 n=1 时， a1=S1=p+q；当 n2 时， an=SnSn1=（p1） pn1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载由于 p 0，p1，当 n2 时，an 是等比数列 .要使 an（nN* ）是等比数列， 则12aa=p，即（ p1） p=p（p+q）， q=1，即 an 是等比数列的必要条件是p0 且 p1 且 q=1. 再证充分性：当 p0 且 p1 且 q=1 时， Sn=pn1，an=（p1） pn1，1nnaa=p（n 2），an 是等比数列 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
